安徽省池州一中2013届高三上学期第三次月考数学（理）试卷

安徽省池州一中2013届高三上学期第三次月考数

学（理）试卷

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项. ⒈ 已知M?{x|y?x2?1}，N?{y|y?x2?1}，则MA．? B．R C．M

2?⒉ 设a?30.5,b?log32,c?cos，则（ ）

3N?（ ）

D．N

A．c?b?a B．a?b?c C．c?a?b D．b?c?a

⒊ 设[x]为表示不超过x的最大整数,则函数y?lg[x]的定义域为 ( ) A．(0,??) B．[1,??) C． (1,??) D． (1,2)

⒋ 设a为实数，函数f(x)?x3?ax(x?R)在x?1处有极值，则曲线y?f(x)在原点处的切线方程为( )

A．y??2x B．y??3x C．y?3x D．y?4x ⒌ Direchlet函数定义为：D(t)???1t?Q ，关于函数D(t)的性质叙述不正确的是（ ） ．．．

?0t?e RQA．D(t)的值域为?0,1? B．D(t)为偶函数 C．D(t)不是周期函数 D．D(t)不是单调函数 ⒍ 命题“函数y?f(x)(x?M)是奇函数”的否定是（ ）

A．?x?M,f(?x)??f(x) B．?x?M, f(?x)??f(x) C．?x?M,f(?x)??f(x) D．?x?M，f(?x)??f(x)

??⒎ 把函数y?Asin(?x??)(??0,|?|?)的图象向左平移个单位得到y?f?x?的图象（如

23图），则??（ ） A．??6 B．

?? C. ? 63D.

? 3⒏ 已知向量a?6，b?3，a?b??12，则向量a在向量b方向上的 投影是（ ）

A．?4 B．4 C．?2 D．2

??1?x???8x<0⒐ 设函数f(x)=??，若f(a)＞1，则实数a的取值范围是（ ） ?3??x2+x?1x?0?A. B. C. D. （??，?2）（，1??）（??，?1）（0，??）（?2，1）（，1??）第 1 页 共 8 页

?3??3??3?⒑ 已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f???x??f??x?.当x??0,?时，

?2??2??2?f(x)?ln?x2?x?1?，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( )

A．3 B．5 C．7 D．9

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，计25分. ⒒ 已知函数f(x)???log4xx?3 x?0x?0，则f[f(1)]? . 16⒓ 一物体沿直线以v(t)?2t?3（t的单位：秒，v的单位：米/秒）的速度做变速直线运动，则该物体从时刻t?0到5秒运动的路程s为 米.

3??3??⒔ 已知???，?，tan???7????，则sin?＋cos?? .

4?22?⒕ 已知含有4个元素的集合A，从中任取3个元素相加，其和分别为2，0，4，3，则

A? . ⒖ 函数f(x)?b(a?0,b?0)的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”.下列命题正x?a确的是 .

①“囧函数”的值域为R； ②“囧函数”在(0,??)上单调递增； ③“囧函数”的图象关于y轴对称； ④“囧函数”有两个零点； ⑤“囧函数”的图象与直线y?kx?b(k?0)的图象至少有一个交点.

三、解答题：本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. ⒗（本小题满分12分）

已知向量m?2cosx,?3sin2x，n?(cosx,1)，设函数f(x)?m?n,x?R. （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

?π?（Ⅱ）若方程f(x)?k?0在区间?0,?上有实数根，求k的取值范围.

?2???

⒘（本小题满分12分）

x?1?2；命题q：实数x满足x2?2x?(1?m2)?0(m?0)，3若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

已知命题p:实数x满足?2?1?

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⒙（本小题满分13分）

已知f0(x)?x?ex，f1(x)?f0?(x)，f2(x)?f1?(x)，…，fn(x)?f(?n?1)(x)(n?N*). （Ⅰ）请写出的fn(x)表达式（不需证明）； （Ⅱ）求fn(x)的极小值yn?fn(xn)；

（Ⅲ）设gn(x)??x2?2(n?1)x?8n?8，gn(x)的最大值为a，fn(x)的最小值为b，试求a?b的最小值.

⒚（本小题满分12分）

已知?ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，设向量m?(a,b)，n?(sinB,sinA)，p?(b?2,a?2).

（Ⅰ）若m//n，求证：?ABC为等腰三角形；

?（Ⅱ）若m⊥p，边长c?2，?C?，求?ABC的面积.

3

⒛（本小题满分12分）

如图,在?ABC中,设AB?a,AC?b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为

P.

（Ⅰ）若AP=?a+?b,求?和?的值;

（Ⅱ）以AB,AC为邻边, AP为对角线,作平行四边形ANPM,

S求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比ANPM.

S?ABC

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21.（本小题满分14分）

已知函数f(x)在R上有定义，对任意实数a?0和任意实数x，都有f(ax)?af(x). （Ⅰ）证明f(0)?0； （Ⅱ）证明f(x)???kx?hxx?0x?0（其中k和h均为常数）；

1内的单调性. （0，??）?f(x) (x?0)，讨论g(x)在

f(x)（Ⅲ）当（Ⅱ）中k?0的时，设g(x)?

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池州一中2013届高三第三次月考(10月)

数学（理科）答案

一、选择题： 题号 答案

1 D

2 A

3 C

4 B

5 C

6 A

7 C

8 A

9 B

10 D

二、填空题

题号

答案

三、解答题

⒗（本小题满分12分）

11 12 13

1? 514 15

③⑤

1 910

?0,1,?1,3}

解：f(x)?m?n?2cosx?3sin2x?cos2x?3sin2x?1?2cos(2x?（Ⅰ）T?2?3)?1

2???， 2由2k??2x??3?2k???，解得??6?k??x??3?k?(k?z)，

即f(x)在每一个闭区间???????k?,?k??(k?z)上单调递减。

3?6????)的值域内取值即可. ?2??（Ⅱ）由f(x)?k?0，得k?f(x)，故k在y?f(x)(x??0, 0?x??2, ? ?3?2x??4??,33?1? ?1?cos(2x?)? ??1?y?2,即 k???1,2?3217．解：令A??x?2?1?

??x?1??2???x?2?x?10? 3?B?xx2?2x?(1?m2)?0 (m?0)??x1?m?x?1?m (m?0)?

∵ “若?p则?q”的逆否命题为 “若q则p”,又?p是?q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件，

???m?0?∴A? B ，故?1?m??2?m?9

?10?1?m?x?18．解：（Ⅰ）fn(x)?(x?n)e (n?N)

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（Ⅱ）fn?(x)?(x?n?1)?ex (n?N?)

令fn?(x)?0,x??n?1当x??n?1时,fn?(x)?0, 当x??n?1时,fn?(x)?0

∴fn(x)在(??,?n?1)上单调递减，在??n?1,???上单调递增。 故fn(x)极小值?fn(?n?1)??e?(n?1)；

222（Ⅲ）gn(x)??(x?n?1)?n?6n?9?n?6n?9 (当x??n?1时取最小值)

2?(n?1)?(n?1)?a?n2?6n?9，由（Ⅱ）知b??e，从而令h(n)?a?b?n?6n?9?e

h?(n)?2n?6?e?(n?1)在?1,???上为增函数，

且h?(n)?h(1)??4?e?2?0 而h?(3)??e?4?0 h?(4)?2?e?5? 0??x0?(3,4)，使得h?(x0)?0 则h(n)在?1,x0?上单调递减，

?4在?x0,???上单调递增，而h(3)?e， h(4)?1?e?5?h(3) ?(a?b)max?e?4

19.【解析】证明：（Ⅰ）∵m∥n，∴asinA?bsinB，即a?其中R是?ABC外接圆半径，a?b --------（5分）

ab， ?b?2R2R??ABC为等腰三角形 --------（6分）

uvuvmmp?n0,即a(b?2)?b(a?2)?0，?a?b?ab --------（8分） 解（Ⅱ）由题意可知⊥

由余弦定理可知， 4?a?b?ab?(a?b)?3ab

222即(ab)2?3ab?4?0 ?ab?4(舍去ab??1---------)（10分）

11?absinC??4?sin?3 ………………………（12分） 2231?u20．（1）解：∵Q为AP中点，∴QP?AP?a??b P为CR中点，

222?S?∴PR?CP?AP?AC??a?(u?1)b 同理：RQ?BR?1??1??11BQ?(AQ?AB) ?(a?b?a)?(?1)a?b 22222224??1??而QP?PR?RQ?0 ∴a?b??a?(??1)b?(?1)a?b?0

22224第 6 页 共 8 页

21?????????(?1)?0???2?722??即?

?????1???0???4???247?（2）SANPM?AN?AM?sinA SABC?1AB?AC?sinA 2∴

AN?AM?sinAANAMSANPM2416??2???2??? 1SABCABAC7749AB?AC?sinA2

21. 【解析】本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查

运用数学知识解决问题及推理的能力。

（Ⅰ）证明：对于任意的a>0，x?R，均有f(ax)?af(x) ①

在①中取a?2,x?0,即得f(0)?2f(0). ∴f?0??0 ②

（Ⅱ）证法一：当x?0时，由①得 f(x)?f(x?1)?xf(1)

取k?f(1)，则有 f(x)?kx ③

当x?0时，由①得 f(x)?f?( (1)?x)?(??1)??(xf)? 取h??f(?1)，则有f(x)?hx ④

综合②、③、④得f?x???证法二:

2令x?a时，∵a?0，∴x?0，则f(x)?x?f(x)

?kx,x?0;

?hx,x?0而x?0时，f(x)?kx(k?R)，则f(x)?kx

2而x?f(x)?x?kx?kx， ∴f(x)?x?f(x)，即f(x)?kx成立

222令x??a，∵a?0，∴x?0，则f(?x)??x?f(x) 而x?0时，f(x)?hx(h?R)，则f(?x)??hx??x?f(x) 即f(x)?hx成立。综上知f(x)??2222?kx x?0

?hx x?01?kx， kx（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，当x?0时，g(x)?1k2x2?1, x?0 从而g?(x)??2?k?2kxkx第 7 页 共 8 页

又因为k>0，由此可得

x 1(0,) k－ ↘ 1 k0 极小值2 1(,??) k+ ↗ g?(x) g(x) 所以g(x)在区间(0,)内单调递减，在区间（解法2：由（Ⅱ）中的③知，当x?0时，g(x)?设x1,x2?(0,??),且x1?x2 则

1k1,??）内单调递增。 k1?kx， kxg(x2)?g(x1)??111x1?x2?kx2?(?kx1)??k(x2?x1)kx2kx1kx1x2(x2?x1)2(kx1x2?1).kx1x21时, g(x2)?g(x1)； k

又因为k>0，所以 （i）当0?x1?x2?（ii）当0?1?x1?x2时,g(x2)?g?x1? k所以g(x)在区间(0,1)内单调递减, 在区间（1,??）内单调递增.

kk

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