八年级数学下学期竞赛试卷（含解析） 新人教版

2015-2016学年陕西省咸阳市旬邑县原底中学八年级（下）数学竞赛

试卷

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）． 1．若分式

的值为0，则x的值为（ ）

A．1或2 B．2 C．1 D．0

2．下列四个多项式，能因式分解的是（ ）

A．a2+b2 B．a2﹣a+2 C．a2+3b D．（x+y）2

﹣4

3．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）

A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（

A．50° B．45° C．40° D．25°

6．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（

A．4 B．5 C．6 D．7

7．不等式组

的解集在数轴上表示为（ ）

A． B．

C．

D．

8．下列说法正确的是（ ）

A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小 B．在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分 C．在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，纵坐标加2

）1

）

D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行 9．下列因式分解错误的是（ ） A．2a﹣2b=2（a﹣b） B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3）

222

C．a+4a﹣4=（a+2） D．﹣x﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）

10．对于正数x，规定f（x）=，例如f（3）=，计算

?f+f

A．999 B．999.5 C．1000 D．1000.5

二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）

32

11．因式分解：6xy﹣12xy+3xy=______．

12．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为______．

13．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞x+a的解集是______．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为______．

15．如果分式的值为0，那么x的值为______．

2

16．如图，在第1个△A1BC中，∠B=20°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，?按此做法继续下去，则第5个三角形中以A5为顶点的内角度数是______．

三、解答题（共72分）. 17．解方程：

．

18．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D点在∠BAC的平分线上．

19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）． （1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到 的△A2B2C2；

（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为______．

20．先化简：代入求值．

，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值

3

21．解不等式组，并写出它的所有正整数解．

22．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B． （1）求∠B的度数．

（2）如果AC=3cm，求AB的长度．

（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．

23．阅读与思考：

整式乘法与因式分解是方向相反的变形

22

由（x+p）（x+q）=x+（p+q）x+pq得，x+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式， 例如：将式子x2+3x+2分解因式．

分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．

2

解：x+3x+2=（x+1）（x+2）

请仿照上面的方法，解答下列问题

2

（1）分解因式：x+7x﹣18=______ 启发应用

（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；

（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 24．百脑汇商场中路路通商店有甲、乙两种手机内存卡，买2个甲内存卡和1个乙内存卡用了90元，买3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元． （1）求甲、乙两种内存卡每个各多少元？

（2）如果小亮准备购买甲．乙两种手机内存卡共10个，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？

（3）某天，路路通售货员不小心把当天上午卖的甲、乙种手机内存卡的销售量统计单丢失了，但老板记得每件甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元，请你帮助老板算算有几种销售方案？并直接写出销售方案．

4

2015-2016学年陕西省咸阳市旬邑县原底中学八年级（下）数学竞赛试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）． 1．若分式

的值为0，则x的值为（ ）

A．1或2 B．2 C．1 D．0 【考点】分式的值为零的条件． 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

【解答】解：由题意可得：x﹣2=0且x﹣1≠0， 解得：x=2． 故选：B．

2．下列四个多项式，能因式分解的是（ ）

22222

A．a+b B．a﹣a+2 C．a+3b D．（x+y）﹣4

【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．

【分析】利用分解因式的基本方法进行判断，进而得出答案． 【解答】解：A、a2+b2，无法分解因式，故此选项错误；

2

B、a﹣a+2，无法分解因式，故此选项错误；

2

C、a+3b，无法分解因式，故此选项错误；

2

D、（x+y）﹣4=（x+y﹣2）（x+y+2），故此选项正确； 故选：D．

3．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确． 故选D．

4．若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）

A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞

【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．

5

【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确； B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确； C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误； D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确； 故选：C．

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（ ）

A．50° B．45° C．40° D．25° 【考点】直角三角形的性质． 【分析】根据直角三角形的性质得出∠B=40°，再利用CD是AB边上的高和直角三角形的性质解答即可．

【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°， ∴∠B=40°，

∵CD是AB边上的高， ∴∠CDB=90°， ∴∠DCB=50°， 故选A．

6．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】角平分线的性质．

【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可． 【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴点D到AB的距离等于CD， ∵BC=10，BD=6，

∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4， ∴点D到AB的距离是4． 故选A． 7．不等式组

的解集在数轴上表示为（ ）

6

A．

D．

B．

C．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可

【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1， 由4﹣2x＞0，得x＜2，

不等式组的解集是1≤x＜2， 故选：D．

8．下列说法正确的是（ ）

A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小 B．在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分 C．在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，纵坐标加2 D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行 【考点】几何变换的类型．

【分析】分别利用图形的平移以及中心对称图形的性质和旋转的性质分别判断得出即可． 【解答】解：A、平移不改变图形的形状和大小，旋转也不改变图形的形状和大小，故此选项错误；

B、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分，此选项正确； C、在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，横坐标加2，故此选项错误；

D、在平移中，对应角相等，对应线段相等且平行，旋转则对应线段有可能不平行，故此选项错误． 故选：B．

9．下列因式分解错误的是（ ） A．2a﹣2b=2（a﹣b） B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3） C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2）

【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法；因式分解-十字相乘法等． 【分析】根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解． 【解答】解：A、2a﹣2b=2（a﹣b），正确； B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），正确； C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；

2

D、﹣x﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2），正确； 故选C．

10．对于正数x，规定f（x）=，例如f（3）=，计算

?f+f

7

A．999 B．999.5 C．1000 D．1000.5 【考点】分式的加减法．

【分析】通过计算f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，找出规律即可得出结论． 【解答】解：∵f（1）=∴原式=[f（=999+

=999.5． 故选B．

二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）

322

11．因式分解：6xy﹣12xy+3xy= 3xy（2x﹣4y+1） ． 【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】直接找出公因式3xy，进而提取公因式得出答案．

322

【解答】解：6xy﹣12xy+3xy=3xy（2x﹣4y+1）． 故答案为：3xy（2x2﹣4y+1）．

12．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为

．

=，f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，

）+f+f+f（2）]+f（1）

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴CD=AD，

∴AB=BD+AD=BD+CD， 设CD=x，则BD=4﹣x， 在Rt△BCD中，

CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2， 解得x=

．

．

故答案为：

13．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞x+a的解集是 x＜3 ．

8

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】根据观察图象，找出直线y1=kx+b在直线y1=kx+b与y2=x+a上方所对应的自变量的范围即可．

【解答】解：当x＜3时，kx+b＞x+a， 所以不等式kx+b＞x+a的解集为x＜3． 故答案为：x＜3 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为 60° ．

【考点】旋转的性质．

【分析】先利用互余得到∠A=60°，再根据旋转的性质得CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′=60°，从而得到旋转角的度数． 【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=60°，

∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上， ∴CA′=CA，∠ACA′等于旋转角， ∴△ACA′为等边三角形， ∴∠ACA′=60°， 即旋转角度为60°． 故答案为60°．

15．如果分式

的值为0，那么x的值为 2 ．

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4=0，且x+2≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x2﹣4=0，且x+2≠0， 解得：x=2， 故答案为：2．

9

16．如图，在第1个△A1BC中，∠B=20°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，?按此做法继续下去，则第5个三角形中以A5为顶点的内角度数是 5° ．

【考点】等腰三角形的性质． 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．

【解答】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB， ∴∠BA1C=

=80°，

∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1=∠BA1C=×80°； 同理可得，

∠EA3A2=（）2×80°，∠FA4A3=（）3×80°， ∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）∴第5个三角形中以A5为顶点的内角度数为：故答案为：5°．

三、解答题（共72分）. 17．解方程：

．

n﹣1

×80°．

=5°，

【考点】解分式方程．

【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得

2

（x+1）﹣4=（x+1）（x﹣1）， 整理得2x﹣2=0， 解得x=1．

检验：当x=1时，（x+1）（x﹣1）=0， 所以x=1是增根，应舍去． ∴原方程无解．

10

18．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D点在∠BAC的平分线上．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】首先根据已知条件易证Rt△BDE≌Rt△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上． 【解答】证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE=DF，

又∵CE⊥AB，BF⊥AC， ∴D在∠BAC的平分线上．

19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）． （1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到 的△A2B2C2；

（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为 （1，0） ．

11

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【分析】（1）首先将A、B、C三点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得A1、B1、C1三点，顺次连接这些点，即可得到所求作的三角形；

（2）找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可； （3）△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，连接对应点即可得出答案． 【解答】解：（1）将A，B，C，分别右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得出平移后的△A1B1C1；

（2）将△A1B1C1三顶点A1，B1，C1，绕原点旋转90°，即可得出△A2B2C2；

（3）∵△A′B′C′与△ABC是中心对称图形， 连接AA′，BB′CC′可得出交点：（1，0）， 故答案为：（1，0）．

20．先化简：

，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值

代入求值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解． 【解答】解：

=×，

=×

=﹣，

当a=0时，原式=1．

12

21．解不等式组

，并写出它的所有正整数解．

【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2， 解不等式x﹣5＜

，得：x＜3.5，

故不等式组的解集为：﹣2≤x＜3.5， 所以其正整数解有：1、2、3，

22．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B． （1）求∠B的度数．

（2）如果AC=3cm，求AB的长度．

（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．

【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】（1）先由角平分线的定义及已知条件得出∠CAE=∠EAB=∠B，再根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，那么∠B=30°；

（2）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=2AC=6cm；

（3）先由∠EAB=∠B，根据等角对等边得出EB=EA，又ED平分∠AEB，根据等腰三角形三线合一的性质得到ED⊥AB． 【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE=∠EAB， ∵∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠EAB=∠B．

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°， ∴∠B=30°；

（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm， ∴AB=2AC=6cm；

（3）猜想：ED⊥AB．理由如下： ∵∠EAB=∠B， ∴EB=EA，

13

∵ED平分∠AEB， ∴ED⊥AB．

23．阅读与思考：

整式乘法与因式分解是方向相反的变形 由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式， 例如：将式子x2+3x+2分解因式．

22

分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x+3x+2=x+（1+2）x+1×2．

2

解：x+3x+2=（x+1）（x+2）

请仿照上面的方法，解答下列问题 （1）分解因式：x2+7x﹣18= （x﹣2）（x+9） 启发应用

2

（2）利用因式分解法解方程：x﹣6x+8=0；

2

（3）填空：若x+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 7或﹣7或2或﹣2 ．

【考点】因式分解-十字相乘法等． 【分析】（1）原式利用题中的方法分解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可； （3）找出所求满足题意p的值即可． 【解答】解：（1）原式=（x﹣2）（x+9）； （2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0， 可得x﹣2=0或x﹣4=0， 解得：x=2或x=4；

（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2， 则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2． 故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．

24．百脑汇商场中路路通商店有甲、乙两种手机内存卡，买2个甲内存卡和1个乙内存卡用了90元，买3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元． （1）求甲、乙两种内存卡每个各多少元？

（2）如果小亮准备购买甲．乙两种手机内存卡共10个，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？

（3）某天，路路通售货员不小心把当天上午卖的甲、乙种手机内存卡的销售量统计单丢失了，但老板记得每件甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元，请你帮助老板算算有几种销售方案？并直接写出销售方案．

【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用． 【分析】（1）设甲内存卡每个x元，乙内存卡每个y元，依据“买2个甲内存卡和1个乙内存卡共用了90元，买了3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元”列出方程组并解答； （2）设小亮准备购买A甲内存卡a个，则购买乙内存卡（10﹣a）个，根据关系式列出一元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．

（3）设老板一上午卖了c个甲内存卡，d个乙内存卡，根据“甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元”列出方程组，并解答． 【解答】解：（1）设甲内存卡每个x元，乙内存卡每个y元，则

14

，

解得

．

答：甲内存卡每个20元，乙内存卡每个50元；

（2）设小亮准备购买A甲内存卡a个，则购买乙内存卡（10﹣a）个，则

，

解得5≤a≤6，

根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．

方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元； 方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元； ∵350＞320

∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．

答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．

（3）设老板一上午卖了c个甲内存卡，d个乙内存卡，则 10c+15d=100． 整理，得 2c+3d=20．

∵c、d都是正整数， ∴当c=10时，d=0； 当c=7时，d=2； 当c=4时，d=4； 当c=1时，d=6．

综上所述，共有4种销售方案：

方案一：卖了甲内存卡10个，乙内存卡0个； 方案二：卖了甲内存卡7个，乙内存卡2个； 方案三：卖了甲内存卡4个，乙内存卡4个； 方案四：卖了甲内存卡1个，乙内存卡6个．

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6nv6.html