电路分析1-7章

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《复变函数与积分变换》讲稿

华中科技大学数学系(第二版)

任课教师：黄志祥

参考教材：

1. 数学物理方法(第三版)，汪德新编，科学出版社，2007年4月.

2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军编，电子工业出版社，2006年7月. 3. 复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建林编，西北工业大学出版社,2001年1月.

第一章复数与复变函数

§1.1复数

1.1.1复数的概念 1. 数域的拓展－复数域

Cardano<1501-1576>于1545年提出一元三次方程的求根公式，即

qqpqqp3以证x3?px?q?0(p,q?R)?x?3??()2?()3?3??()?2().可

223223明方程有三个不同实根时，若用公式求解则不可能不涉及到负数开方的运算.1777年瑞士著名数学家及物理学家欧拉引入符号I为虚数单位，并规定

i??1. 2. 复数的概念

定义：形如x?iy的数称为复数（complex number），记为z?x?iy，其中实数x和

y分别称为复数z的实部(real part)及虚部(imaginary part)，记为

x?Re(z)y?,x?0时，z?iy称为纯虚数；当y?0时，z?xImz，特别地，当

为实数；x?y?0时，z?0称为复数0，它既是实数又是纯虚数. 3. 复数的集合表示

R} 定义：复数集全体复数构成的集合称为复数集，记为C，即C?{x?iy|x,y?4. 复数相等 z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则z1?z2?x1?x2,y1?y2.

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5. 复数共轭 z?x?iy的共轭复数为z?x?iy. 6. 复数的无序性 1.1.2复数的四则运算

1. 四则运算设z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则定义它们的四则运算如下. 加(减)法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2)，可以验证z1?z2?z1?z2. 乘法：z1z2?z1?z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1)，可以验证z1?z2?z1?z2. 除法：

z1z1z1x1?iy1x1x2?y1y2y1x2?x1y2()?. ，可以验证???i2222z2z2x2?iy2x2?y2x2?y2z22. 复数运算的性质不难证明，复数的运算也满足交换律，结合律和分配律.

k3. 复数的二项式定理 (z1?z2)??Cn(z1)n?k(z2)k,nk?0nn?1,2,?

4. 共轭复数的几个命题

zz?x2?y2?[Re(z)]2?[Im(z)]2.

Re(z)?11(z?z),Im(z)?(z?z). 22i

§1.2复数的表示

1.2.1复数的几何表示 1. 复平面的定义

任何一个复数与直角坐标平面上的点一一对应，x,y轴分别称为实轴与虚轴. 2. 复数的几何表示――直角坐标表示

在复平面内，复数z除了用点(x,y)表示外，还可以用从原点指向点P(x,y)的矢

????????量OP来表示复数，称为复数的几何表示，如图1.2.1所示.矢量OP表示复数

z?x?iy，从这种意义上我们把z?x?iy称为复数的直角坐标表示或复数的代数

表示.复数的加、减法运算与矢量间的加、减法运算是一致的.

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图1.2.1

3. 复数的模

????定义：矢量OP的长度r称为复数z的模，记为|z|，即|z|?r?x2?y2. ||z|,y|?|z|(1) 显然有 |x?z|?,|x|?|；y|

(2) 如果z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,，则：

|z1?z2|?(x1?x2)2?(y1?y2)2；

||z1|?|z2||?|z1?z2|?|z1|?|z2|.

(3) |z?z0|?R表示复数z对应的点都在以z0为圆心，半径为R的圆上. 1.2.2复数的三角表示方法 1. 复数的辐角

定义：辐角，辐角主值复数z?x?iy对应的点(x,y)的极坐标为r和?，当z?0时，复数z的矢量与x轴正向的夹角?称为z的辐角，记为Argz??. 显然，x?rcos?,y?rsin?;r?x2?y2.所以tan(Argz)?tan??y.需要指出的是x当z?0时，z有无穷多个辐角.若?0为一个辐角且????0??或0??0?2?，则称之为z的主辐角，记为argz，显然，Argz?argz?2k?(k?Z). 注意：当z=0时，辐角无意义.任何一个非零复数z?x?iy，有

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y?arctan,x?0,y?R1?x???,x?0,y?0?2? y?argz??arctan??,x?0,y?0x?y?arctan??,x?0,y?0?x????,x?0,y?0??22. 复数的三角表示

定义：z?r(cos??isin?)?|z|[cos(Argz)?isin(Argz)]，注意：三角表示不唯一. 1.2.3复数的指数表示

定义：复数的指数表示利用欧拉公式ei??cos??isin?，我们可以将任何非零复数z?x?iy?r(cos??isin?)表示为z?rei?.

例1. 写出z??4?i3的三角及指数表达式.

3解：|z|?(?4)2?(3)2?5;argz?arg??.因此三角表达式为

43i(arg??)33z?5[cos(arg??)?sin(arg??)]；指数表达式为：z?5e4.

441.2.4复数的复数球面表示无穷远点

首先，过复平面的原点O作一个球面与复平面相切，如图1.2.2所示，

图1.2.2

过O作复平面的垂线交球面于N点（北极点），作射线NP交球面于P'点，交复平面于P点，可知P’与P对应，所以以O为圆心的圆L上的点与复球面纬线L'上的点相对应，圆L内部的点与L'下方的点对应.圆L的半径???，L'趋向球顶缩成一点N，这样复平面的无限远点对应于球面上的一点N.球面点与复平面

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点一一对应.

1.2.5用复数的指数或三角表示进行运算 1. 乘除法

i?1i(?1??2)z1z2?(re)(r2ei?2)?rr?rr112e12[cos(?1??2)?isin(?1??2)]

z1r1i(?1??2)r1?e?[cos(?1??2)?isin(?1??2)]. z2r2r22. 乘方运算

zn?(rei?)n?rnein??rn[cos(n?)?isin(n?)]

注意：r?1时,(cos??isin?)n?[cos(n?)?isin(n?)]称为德摩佛(De Moivre)公式；取n?3，利用复数相等的定义，我们可以得到中学的3倍角公式

cos3??cos3??3cos?sin2?,sin3??3cos2?sin??sin3?.

3. 开方运算

定义了复数的乘方运算后，我们可以求其逆运算来得出方根的计算方法，即求满足w?z的根w，其中z为已知复数，称w为z的n次方根，记为nz?z，规定

n1nz?0,w?nz?0；当z?0时，有

w?z?nr[cos??isin?]?r[cos(n1n??2k?n)?isin(??2k?n)]，

容易验证，当k?0,1,2?,n?1时，得到w的n个不同值；当k取其它整数时，将重复出现上述n个值.因此，一个复数的n次方根只能取这n个不同的值，即

wk?z?nr[cos??isin?]?r[cos(n1n??2k?n)?isin(??2k?n)]1n(k?0,1,2?,n?1).注意：复数方根的几何意义

n个方根是以原点为中心，r为半径的圆的内接正

n边形的n个顶点.

例2. 用复数的三角表示计算(1?i3)3. 解：(1?i3)3?[2(cos??isin)]3?8(cos??isin?)??8. 33?例3. 解方程z4?2z3?4z?8?0.

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解：将方程因式分解得：(z?2)(z3?4)?0，所以有z??2及z3?4.所以原方程的根为 z??2

§1.3平面点集的一般概念

1基本概念

(1).邻域：以复数z0为圆心，任意小的正实数?为半径作一圆，则满足|z?z0|??的所有点集，称为z0的?邻域. (2).去心邻域 0?|z?z0|??

(3).内点：对于平面点集G，设z0?G，若z0及其邻域均属于G，则称z0为G的内点.

(4).开集：G的每个点都为内点.

(5).闭集：开集G的余集GC（补集）称为闭集.

(6).边界点及边界：若z0的任何邻域既有G的点又有GC的点，则称z0为G的边界点，所有边界点构成边界，记为?G.

(7).连通集：若连接G内任何两点的折线仍然属于G，则称G为连通集. (8).区域D：满足以下两个条件的点集： a.全由内点构成；

b.具有连通性.例如：|z|?10.

(9).闭区域D：D?D??D，例如：|z|?10.

(10).有界区域及无界区域：有界：区域G中每点z满足：|z|?M.否则为无界. (11).连续曲线：若x(t),y(t)为两个连续的实变函数，则方程组

x?x(t),y?y(t),(t?[a,b])代表一平面曲线，称为连续曲线.若令z(t)?x(?t)i，则y(tz?z(t),(t?[a,b])为平面曲线的复数表示.

及z?4[cos(130?2k?0?2k?)?isin()],k?0,1,2. 33例如，以坐标原点为中心，以a半径的圆周，其参数方程为

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x?acost,y?asint(t?[0,2?])，改写成复数形式为

又如，平面上连接两点(x1,y1)与(x2,y2)的直线段，z?acost?iasint(t?[0,2?])；

其参数方程可表示为x?x1?(x2?x1)t,y?y1?(y2?y1)t(t?[0,1]).其复数形式的参数方程可以表示为z?z1?(z2?z1)t(t?[0,1]).

(12).光滑曲线：如果x'(t),y'(t),(t?[a,b])都是连续的，且对于

?t,[x'(t)]2?[y'(t)]2?0. (13).逐段光滑曲线

?x(t?)iy(t)?(t[a,，b对于(14).简单曲线(Jordan曲线)：设曲线C:z(t)?t1,t2?[a,b]，当t1?t2时，有z(t1)?z(t2). (15). 简单闭曲线：简单曲线且z(a)?z(b).

(16).单连通区域D：如果在区域D中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部仍然属于D，则称D为单连通区域. (17). 复连通区域：非单连通区域

(18).边界的正方向：规定：当人沿边界线环行时，所围的区域始终在人的左手边，则前进的方向为正方向.实际中，对于有界单连通区域，逆时针方向为正向；而复连通区域单连通化后，外围逆时针为正向，内部顺时针为正向. 2.区域的判定

判定区域通常按以下次序进行：有、无界 ? 单、复连通 ? 开、闭区域. 例1.判定|z?1|?|z?2|?5代表的区域.

解：此不等式代表的区域是焦点在z?1及z??2上，长半轴为5/2的椭圆内部，为有界单连通闭区域.

§1.4复变函数

1.4.1复变函数的概念

定义：设复平面上任意点集G中有一点z?x?iy，有一个或多个复数w与之对应，则说在G上定义了一个复变函数，记为w?f(z).

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注：复变函数的几何意义将z平面上的一个点集G变到w平面上的一个点集G*的映射；w为z的像，z为w的原像.

如果令w?f(z)?u?iv并将z?x?iy代入，则有

w?f(z)?u(x,y)?iv(x,y)

这表明，复变函数的本质是两个实二元函数的有序组合，当然也可通过适当变换将一对二元时变函数变换成复变函数，在复平面上研究其性质.因此复变函数的许多性质是由实变函数性质的直接推广.

例1.设z?x?iy，w?f(z)?z2，则有 u?u(x,y)?(x2?y2),v?v(x,y)?i(2xy)，也即w?f(z)?z2?(x2?y2)?i(2xy).

例2.将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实变函数

u?2xy,v?化为一个复变函数. x2?y2x2?y2解：记z?x?iy，w?u?iv.则

w?u?iv?2xy?i.x2?y2x2?y2将x?Re(z)?11(z?z),y?Im(z)?(z?z)22i及

x2?y2?zz代入上式，经过整理得w?1.4.2复变函数的极限与连续性 1.复变函数的极限 (1).极限的定义.

31?(z?0). 2z2z???0，设w?f(z)在z0的某去心邻域内有定义，对于???0，使得0?|z?z0|??时，有|f(z)?w0|??，则称z?z0时f(z)的极限为w0，记作limf(z)?w0.

z?z0注：由定义可见，极限值是与z?z0的方式无关的.换句话说，当z以不同的方式趋近于z0时，如果f(z)的极限值不一样，则其极限不存在. (2).极限的性质. 若limf(z),limg(z)?，则

z?z0z?z0z?z0lim[f(z)?g(z)]?limf(z)?limg(z)

z?z0z?z0 第8页, 共78页

z?z0lim[f(z)?g(z)]?limf(z)?limg(z)

z?z0z?z0z?z0z?z0z?z0z?z0lim[f(z)/g(z)]?limf(z)/limg(z)(limg(z)?0)

关于含?的极限，有 limf(z)???limz?z0z?z01?0 f(z)1?0 f(1/z)z?0limf(z)???limz??z?0(?) limfz(?)a??z??1flim?a( )z.2.复变函数的连续

设w?f(z)在z0的邻域内有定义，对于???0，???0，使得0?|z?z0|??时，有|f(z)?f(z0)|??，则称f(z)在z0点连续.

注：w?f(z)是x,y的函数，因而w?u?iv也是x,y的函数，f(z)在z0?x0?iy0点连续?u?u(x,y),v?v(x,y)在(x0,y0)点连续. 3.求极限和判定连续性的重要定理定理

z?z0设z0?x0?iy0，w0?u0?iv0，

x?xy?y00f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则

limf(z)?w0?limu(x,y)?u0,limv(x,y)?v0.

x?xy?y00特别地，当u0?u(x0,y0),v0?v(x0,y0)时，w?f(z)在z0点连续. 4.连续性的基本定理

a.如果函数f(z),g(z)均在z0点连续，则其和、差、积、商(分母不为零)均在z0点连续.

b.如果h?h(z)在z0点连续，函数w?f(z)在h0?h(z0)处连续，则复合函数

w?f[h(z)]在z0点连续.

n推论：有理多项式w?Pn(z)?a0?a1z??anz在整个复平面是连续的；有理分式

w?Pn(z)在分母不为零的复平面上也是连续的. Pm(z)例3. 判定函数的连续性：

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?1zz?(?),z?0 f(z)??4zz?0,z?0?解：当z?0时，有理分式的分母不为零，因此函数是连续的.而当z?0时，取

y?kx(x?0)，则z?0?x?0，于是

1x?ikxx?ikx4klimf(z)有不同值.limf(z)?lim[(?)]?i.当k取不同的值时，2z?0z?0x?04x?ikxx?ikx1?k因此z?0时，函数极限不存在，也更谈不上在z?0点连续了.

第二章解析函数

§2.1 解析函数的概念

2.1.1复变函数的导数与微分

1. 概念

定义：导数设函数w?f(z)定义于某区域D，z0?D且z0??z?D，如果极限

f(z0??z)?f(z0)?w?lim极限存在且为A，则称f(z)在z0点可导，记为

?z?0?z?z?0?zlimA?f'(z0)或

dw，即 dzz?z0f(z0??z)?f(z0)dw?f'(z0)?lim.

?z?0dzz?z0?z注：a.若?w?f'(z0)?z?o(|?z|)(?z?0)，也称dw?df(z0)?f'(z0)?z为f(z)在

z0点的微分；

b.导数定义中的趋近方式?z?0是任意的；

c.如果w?f(z)在区域D中的每一点都可导，则称f(z)在区域D内可导，f'(z)为其导函数，简称导数；

d. f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点必连续；

e.复变函数导数的定义与实变函数定义在形式上相同，实变函数所有导数公式可

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以推广到复变函数中来.

2. 举例

例1. 用导数定义证明公式：(1).(zn)'?nzn?1;证明：(1)设f(z)?zn，故

f(z??z)?f(z)?(z??z)n?zn??z[nzn?1??zf'(z)?lim?z?011(2)()'??2(z?0).

zzn(n?1)n?2z???(?z)n?1]，所以 2f(z??z)?f(z)?nzn?1.

?z(2)略，作为习题.

例2. 讨论函数f(z)?z在复平面的可导性.

解：由定义 limf(z??z)?f(z)(x??x)?i(y??y)?(x?iy)?x?i?y?lim?lim ?z?0?z?0?z?z?x?i?y?z?0(1).设?z沿x轴方向?0，因而?y?0,?z??x，此时极限

limf(z??z)?f(z)?x?i?y?x?lim?lim?1. ?z?0?z?0?z?x?i?y?x?z?0(2.设?z沿y轴方向?0，因而?x?0,?z?i?y，此时极限

limf(z??z)?f(z)?x?i?y?i?y?lim?lim??1. ?z?0?x?i?y?z?0i?y?z?z?0因此，导数不存在，即原函数在复平面上处处不可导.

3. 求导法则 (1).四则运算

[f?g]'?f'?g';[f?g]'?f'?g?f?g';[f/g]'?f'?g?f?g'; 2g(2).复合函数 {f[g(z)]}'?f(w)'?g'(z),w?g(z); (3).反函数求导法则

若z??(w)是函数w?f(z)的反函数，且f'(z)?0，则

dz1??'(w)?. dwf'[?(w)] 第11页, 共78页

(4).常见函数的导数 (C)?'0e;z(?)ez'2.1.2解析函数的概念与求导法则

1．解析函数

;z(s?inz) '定义：解析函数奇点如果函数f(z)在z0点及其邻域内处处可导，那么称f(z)在z0点解析.如果f(z)在区域D内每一点都解析，那么称f(z)在D内解析，或称f(z)为D内的一个解析函数(全纯函数，正则函数).如果f(z)在z0点不解析，则称z0点为f(z)的一个奇点.

在某点解析?在该点可导?该点连续?该点极限?. 注：区域解析?区域可导；

解析函数在定义域内的四则远算仍然为解析函数.

例4. 研究函数w?1的解析性. zdw1??2 dzz解：因为w在复平面除去z?0外处处可导，且所以除去z?0外，函数w?1处处解析，z?0为其一个奇点. z2．函数解析的充分必要条件

我们已经讨论了复变函数的定义及求导法则，在实际中，经常遇到的并不是以z为自变量的显式函数表达式，而是f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的隐函数形式，下面讨论隐函数形式下的复变函数的求导法则和著名的C?R方程.

定理1：函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在z?x?iy处可导的充分必要条件是 (1)u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微；

(2) u(x,y)和v(x,y)满足柯西－黎曼(C?R)方程:

?u(x,y)?v(x,y)?u(x,y)?v(x,y)?,??. ?x?y?y?x证明：以后简单记为

?u(x,y)?u(x,y)?v(x,y)?v(x,y)?ux,?uy,?vy,?vx. ?x?y?y?x(1)(?)充分性. 由u(x,y),v(x,y)可微，可知u(x,y),v(x,y)的全微分存在，即

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?u(x,y)?ux?x?uy?y?o(?)?v(x,y)?vx?x?vy?y?o(?) 其中：??(?x)2?(?y)2，又

f(z??z)?f(z)?[u(x??x,y??y)?iv(x??x,y??y)]?[u(x,y)?iv(x,y)] ??u(x,y)?i?v(x,y)?ux?x?ivx?x?uy?y?ivy?y?o(?)

利用C?R方程可得(ux?ivx)i?y?(uy?ivy)?y，由此可得

f(z??z)?f(z)?(ux?ivx)i?z 所以 f'(z)?lim?z?0f(z??z)?f(z)?ux?ivx.即f(z)可导.

?z(2) (?)必要性. 若f(z)在z点可导，则有

f'(z)?lim?z?0f(z??z)?f(z)?a?ib

?z即f(z??z)?f(z)?(a?ib)?z?o(?)，将f(z)?u?iv,?z??x?i?y代入上式，得

[u(x??x,y??y)?iv(x??x,y??y)]?[u(x,y)?iv(x,y)]

?(a?ib)(?x?i?y)?o(?)根据复数相等的定义，知

?u?u(x??x,y??y)?u(x,y)?a?x?b?y?o(?)

?v?v(x??x,y??y)?v(x,y)?b?x?a?y?o(?)此即证明了二元函数u(x,y),v(x,y)的可微性.并且有a??u?v?u?v?,?b???. ?x?y?y?x注意：a.判定二元函数的可微性通常较为复杂，可以用u(x,y),v(x,y)有连续的偏导数来代替；

b. 满足C?R方程只是函数可导的必要条件而非充分条件； c.满足定理条件时：f'(z)?ux?ivx?vy?ivx?ux?iuy?vy?iuy. 例5. 设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，其中

?xy22?x2?y2,x?y?0u(x,y)?v(x,y)??，则f(z)在z?0点满足C?R方程，因为

?0,x2?y2?0? 第13页, 共78页

?u?v?u?v??0,???0;但是可以证明f(z)在z?0点不连续，更谈不上可导了. ?x?y?y?x定理2：函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域G内解析(G内可导)的充分必要条件是

(1)u(x,y)和v(x,y)在G内处处可微；

(2) u(x,y)和v(x,y)满足柯西－黎曼(C?R)方程:

推论：函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域G内有定义，如果在G四个偏导数

ux,uy,vx,vy存在且连续，并且满足C?R方程，则f(z)在G内解析. 例6. 讨论下列函数的可导性及解析性.

(1)f(z)?|z|2在z?0处；(2)f(z)?ez；(3)f(z)?zRez. 解：

(1) 由f(z)?|z|2?x2?y2，得u(x,y)?x2?y2,v(x,y)?0，所以

?u?u?v?v?2x,?2y,?0,?0. ?x?y?x?y即u,v在z?0处可微，且满足C?R方程，可见f(z)仅于z?0处可导，所以f(z)处处不解析.

(2) f(z)?ez?ex?iy?ex(cosy?isiny)，得u(x,y)?excosy,v(x,y)?exsiny.

ux?excosy,uy??exsiny,vx?exsiny,vx?excosy.

由于u,v的偏导数在整个复平面上存在且连续，又满足C?R方程，所以f(z)?ez处处解析.

(3) 略(作为作业) f(z)在z?0处可导，但在整个复平面都不解析.

§2.2 解析函数与调和函数的关系

2.2.1解析函数的共轭性

定义：解析函数的实部与虚部由C?R方程联系，称为解析函数的共轭性.

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注意：解析函数共轭性的几何意义：曲线u(x,y)?C1(等u线)与曲线v(x,y)?C2(等

?v?(uxex?uyey)?(vxex?vyey)?(uxvx?uyvy)?0. v线)相互正交: ?u?首先，可以利用解析函数的实部确定其虚部，或利用其虚部确定实部，准确到一个待定常数；若给出函数在某点的具体值，则可唯一确定常数.

其次，设f(z)在D内解析，已知其虚部v(x,y)，利用C?R方程可得：

du?uxdx?uydy?vydx?vxdy.

由于du为一个全微分，可以采用四种方法求出u(x,y)，分别称为全微分法、曲线积分法、不定积分法和求导法.

例1. 已知解析函数的虚部v(x,y)?2(x2?y2)?x，求解析函数f(z). 解：由题设易得

ux?vy??4y,uy??vx??(4x?1)

(1) 全微分法

du?uxdx?uydy??4ydx?(4x?1)dy?d(?4xy?y).

??4xy?y? C.易见 u(x,y)现在知道了u(x,y)及v(x,y)，怎样才能求得f(z)呢？从函数形式看

f(z)?f(x?iy)?f(x?iy)|x?z,y?0?[u(x,y)?iv(x,y)]|x?z,y?0?u(z,0)?iv(z,0). 由此得 f(z)?{[?4xy?y?C]?i[2(x2?y2)?x]}|x?z,y?0?i(2z2?z)?C. (2) 曲线积分法

u(x,y)??(x,y)(0,0)du(x,y)??(x,y)(0,0)(uxdx?uydy)?C??(x,y)(0,0)[?4ydx?(4x?1)dy]?C

积分分两段进行，即由(0,0)?(x,0)，再由(x,0)?(x,y).在(0,0)?(x,0)段，

y?0,dy?0;再由(x,0)?(x,y)段，dx?0.由此，得

u(x,y)???(4x?1)dy?C??4xy?y?C.以下同上，可以得到f(z).

0y(3) 不定积分法

u(x,y)??uxdx?g(y)???4ydx?g(y)??4xy?g(y)

第15页, 共78页

由此，uy??4x?g'(y)；又uy??vx??(4x?1)，所以

g'(y)??1，故g(y)??y?C.最后得u(x,y)??4xy?y?C.以下同，可以得到f(z).

(4) 求导法

由f'(z)?vy?ivx??4y?i(4x?1)?4iz?i.很容易找到一个函数的导数与f'(z)相同h(z)?i(2z2?z)，故f(z)?h(z)?C?i(2z2?z)?C. 2.2.2解析函数的调和性遵守二维拉普拉斯方程

?u??2u?uxx?uyy?0,?v??2v?vxx?vyy?0.

的函数u(x,y),v(x,y)称为调和函数.

解析函数的实部与虚部均为调和函数，这个性质称为解析函数的调和性. 证明：由f(z)在D内解析，将C?R方程ux?vy,uy??vx分别对x,y求偏导后相加，即得 ?2u?uxx?uyy?vyx?vxy?0. 同理，可以证明?2v?0.

§2.3 初等复变函数

2.3.1指数函数

1. 定义：对于复数z?x?iy，称w?ez?exp(z)?ex(cosy?isiny)为指数函数. 特别地，当x?0时，对于任意实数y有eiy?(cosy?isiny)，这个式子称为欧拉(Euler)公式. 当y?0时，对于任意实数x有ez?ex. 2. 性质

(1)ez?ex?iy?exeiy?|ez|?ex,Argez?y?2k?,k?0,?1,?2,?. (2)ez1?ez2?ez1?z2,ez1/ez2?ez1?z2.(3)limez不?.(4)解析性.

z??3.举例例1. 计算e?3?i?4的值.

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解： e?3?i?4?e?3(cos??22?isin)?e?3(?i). 4422?2?i1)3. 例2. 利用复数的指数表示计算(1?i21/2)i?(?/2k?2)i(??arctan1?2?i15ei(??arcta?n1/2arctan2)1/33解： ()3?()3?[e]?e,k?0,1,2. iarctan21?i25e2.3.2对数函数

1. 定义：指数函数的反函数，满足ew?z,z?0的复数w称为z的对数，记作

w?Lnz

2. 性质

(1)多值性：将z?|z|eiArgz代入w?Lnz，可得

w?Lnz?ln|z|?iArgz?ln|z|?i(argz?2k?).

这表明，w?Lnz是多值函数，其主值支为 w?lnz?ln|z|?iargz. 注：在实数域，当x?0时，lnx不存在；在复数域，复数也有对数.

Ln(1z2z)?L(n1)?zL(nz;2)L(zz1n/2?)L(n).z1?L(n)z2(Ln);z(2)运算性：

1nLn(z)?nL(n)z;nL(n?)zn

(3)解析性.w?Lnz在原点及负实轴不解析(argz?(??,?])，其它点均解析且

1(Lnz)'?..

z例3. 计算ln(?4)的值.

(4?)解： ln?ln?|i4|?ar?g(?4i)? ln2.3.3三角函数

eiz?e?izeiz?e?izsinz,cos(z)?,tan(z)?,? 1.定义：sin(z)?2i2cosz注意：在复数域，正弦函数、余弦函数的模可以大于1.实际上令z?iy,当y??ei?iy?e?i?iye?y?ey|?lim||??. 时，|sinz|,|cosz|均无界.例如 lim|sinz|?lim|y??y??y??2i2

第17页, 共78页

2.性质

单值性：sinz,cosz均为单值函数；

周期性：sinz,cosz均以2?为周期的周期函数；奇偶性：sinz为奇函数，cosz为偶函数；

cos(z1?z2)?cosz1?cosz2?sinz1?sinz2;三角公式：sin(z1?z2)?sinz1?cosz2?cosz1?sinz2;

sin2z?cos2z?1.解析性：全平面解析. 2.3.4双曲函数

ez?e?zez?e?zshzshz?,chz?,thz?,?

22chz注意：双曲函数与三角函数的关系为

shz??isin(iz),chz?cos(iz),thz??itan(iz).

2.3.5幂函数

复幂函数用下式定义 z??e?Lnz(??C,z?0)

当z?0且??R?时，规定z??0.很明显，由于Lnz是一个多值函数，所以幂函数是一个多值函数.下面讨论?取不同值时幂函数的取值. 1.??0,z??z0?e0?Lnz?1. 2．??n?Z,有

zn?en?Lnz?en?[ln|z|?i(argz?2k?)]?en?ln|z|?ein?argz?|z|nein?argz.上式表示此时zn为一个单值函数. 3.??1(n?1,2,?),则有 n1?Lnznz?e1n?|z|e1niargz?2k?n(k?0,1,2?,n?1).

ppppLnzln|z|?i(argz?2k?)pqqqq4.??，其中p,q互质且q?0,则z?e?eq?epln|z|qpp{cos[(argz?2k?)]?isin[(argz?2k?)]},qq第18页, 共78页

所以z是q函数. 当k?0,1,?,q?1时,z共有q个不同取值，5．?为无理数或复数时，z??e??lnz?ei2k??(k?0,?1,?2,?)，ei2k??都不会重复，因此z?是一个无穷多值函数. 例4. 计算下列函数值.

(1)i2i,(2)31?i (3)求(?i)i的主值支(对数函数取主值支时，幂函数也取主值支). 解：(1) ii2?ei2?Lni?ei2?[ln|i|?i(?/2?2k?)]?e?(4k?1)?,k?0,?1,?2,? (2) 31?i?e(1?i)Ln3?e(1?i)(ln3?i2k?)?3e?2k?(cosln3?isinln3). (3) PV..(?i)?eiiln(?i)pqpq?ei[ln1?i]2???e2.(4)12?e2k?i2,k?0,?1,?.

2.3.6反三角函数

定义：如果sinw?z，则称w为z的反正弦函数，记作

w?Arcsinz??iLn(iz?1?z2).

1z?i. 同样，有w?Arccosz??iLn(z?z2?1)及w?Arctanz?iLn2i?z

第三章复变函数的积分

§3.1 复积分的概念

3.1.1复变函数积分的定义

定义：(1)设L为复平面上由A到B的一条光滑曲线，w?f(z)在L上有定义； (2)将L任意分成n段，??k?[zk?1,zk](3)当n??，且max|?zk|?0时，若和式的极限limmax|?zk|?0?f(?)?zkk?1nk并且极限值与?zk,?k的选取方式无关，则称为f(z)?，

沿L从A到B的积分，记作注：积分存在的条件：

?f(z)dz?Lmax|?zk|?0lim?f(?)?z.

kkk?1na.积分曲线L是分段光滑的曲线；

b.被积函数f(z)是积分曲线上的连续函数；

第19页, 共78页

c.当L为封闭曲线时，那么沿L的积分记为??f(z)dz；沿逆时针方向积分可用

L?f(z)dz表示；沿顺时针方向积分可用??f(z)dz表示. ?3.1.2复变函数积分的计算

1．曲线L的方程y?f(x)(x?[a,b]),dy?f'(x)dx，有

?f(z)dz??(u?iv)(dx?idy)??(udx?vdy)?i?(vdx?udy)LLLL??(udx?vy'dx)?i?(vdx?uy'dx).aabb

2．化为参数积分计算

假设曲线L的参数方程为z(t)?x(t)?iy(t)(t?[a,b])，则有

?Lf(z)dz??f(z(t))z'(t)dt.

ab3.举例 (1)计算?Rezdz.

L(a).L取为由0?1?i的直线； (b).L取为由0?1?1?i的折线.

?x?t解：(a).直线L:y?x的参数方程为?t?[0,1]，则有：z?x?iy?(1?i)t及

y?t?dz?(1?i)dt，因此?Rezdz??t(1?i)dt?(1?i)?tdt?L0011(1?i). 2(b).由0?1的直线参数方程L1的参数方程为x?t,y?0(t?[0,1])，则

z?t,dz?dt，所以

1Rezdz?tdt?. ??02L11而由1?1?i的直线参数方程L2的参数方程为x?1,y?t(t?[0,1])，则

z?1?it,dz?idt，所以

L2?Rezdz??idt?i.

01 第20页, 共78页

故 ?Rezdz?LL?1Rezd?z?Rez?dz? .i22LL结论：对于函数Re(z)，积分?Rezdz与路径有关. (2)计算I??z2dz.

La. L为连接(1,1)?(2,4)两点的一段直线； b. L沿抛物线x?t,y?t2(t?[1,2]).

iy代入被积表达式，随后将y?3x?2代解：a.直线的方程为y?3x?2，将z?x?入，即有

I??z2dz??L212?i41?iz2dz??(2,4)(1,1)[(x2?y2)?i2xy](dx?idy)

??[(x2?(3x?2)2)?i2x(3x?2)]?[dx?id(3x?2)]??86/3?i6.b.将z?x?iy?t(1?it)及dz?(1?i2t)dt代入，即有

I??zdz??[t(1?it)]2?(1?i2t)dt??86/3?i6.

L122结论：此积分与路径无关. 3.1.3复积分的基本性质

(1). 若曲线L依次由n段线段l1,l2,?ln组成，则 (2).

?f(z)dz???f(z)dz.

Lk?1lknL??f(z)dz???f(z)dz.

L?(3). ?[f1(z)?f2(z)]dz??f1(z)dz??f2(z)dz.

LLL(4). ?k?f(z)dz?k??f(z)dz.

LL(5). |?f(z)dz|??|f(z)|?|dz|.

LL(6).若在曲线L上，max|f(z)|?M，曲线L的长度为s，则

|?f(z)dz|?Ms.

Lz3dz?0. 例(3).试证：lim?r?0|z|?r1?z2

第21页, 共78页

z3z32?r4dz|??||?|dz|?. 证明：不妨设r?1，有|?|z|?r1?z2|z|?r1?z21?r2z3dz?0. 所以lim?r?0|z|?r1?z2

§3.2 柯西积分定理及其应用

3.2.1柯西积分定理

定理1：柯西积分定理如果函数f(z)在单连通区域D内及其边界线L上解析(即

D解析)，那么函数f(z)沿边界L或D内任意闭曲线C的积分为零，即

??Lf(z)dz?0或??f(z)dz?0.

C证明：补充Green公式：在单连通区域??(Pdx?Qdy)???(S?Q?P?)dxdy. ?x?y由于f(z)在区域D内解析，故f'(z)存在，因而u,v的一阶偏导数存在且连续，故应用Green公式得

?? ?v?u?u?v????(?)dxdy?i??(?)dxdy.?x?y?x?ySSLf(z)dz???udx?vdy?i??udy?vdxLL又由C?R方程得??f(z)dz?0

L定理2：解析函数积分与路径无关如果函数f(z)在单连通区域D内处处解析，则积分?f(z)dz与连接起点及终点的路径无关.

L3.2.2不定积分

既然单连通区域中解析函数的积分与路径无关，设积分路径的起点为定点z0，终点为动点z，则变上限函数

F(z)??f(?)d?

z0z是单连通区域内的单值函数，现证明它为f(z)的原函数，即F'(z)?f(z). 定理3：若f(z)是单连通区域D内的解析函数，则F(z)??f(?)d?也是D内的

z0z 第22页, 共78页

dz解析函数，且F'(z)??f(?)d??f(z).

dzz01注意：f(z)的原函数并不唯一且有?f(?)d??F(z)|zz0?F(z1)?F(z0).

z1z03.2.3复连通区域的柯西定理

定理：若f(z)在闭复连通区域D解析，则f(z)沿所有外、内边界线(L?L0??Lk)k正方向积分之和为零，即

图3.1

??f(z)dz???f(z)dz????f(z)dz?0.

LL0kLk注意：这表明f(z)沿外边界线L0(逆时针方向)的积分等于沿各内边界线(逆时针)积分之和；在f(z)的解析区域中，积分回路连续变形时，其积分值不变，所谓“连续变形”是指：积分回路变形时不得跨越D以外的区域(如图3.2).

图3.2

3.2.4典型应用实例例1.

n试证明I???m,n为克罗(z?a)dz?2?i?n,?1.式中a点在积分回路L之内，?L?1,n?m内克符号，其中?m,n??

?0,n?m.

第23页, 共78页

n证明：(1)当n?0时，被积函数(z?a)n为解析函数，故I??(z?a)dz?0,n?0. ?L(2)当n??1，则a点为f(z)的奇点，积分回路可连续变形以a点为圆心的单位圆

L1，在单位圆L1上有z?a?ei?,dz?iei?d?，代入积分，可得

2?I???(z?a)dz?L?1?0iei?d??i2?,(n??1). i?e(3) 当n??1，则a点为f(z)的奇点，仿上可得

2?I???(z?a)dz?Ln?ie0i(n?1)?ei(n?1)?2?d??|0?0,(n??1).

n?1综合以上三式，得证. 例2. 试计算I???Ldzdz，其中积分回路分别如下所示：

(z2?4)2(1)l1:|z?i|?2;(2)l2:|z?i|?2;(3)l3:|z|?3.

解：首先，将被积函数分解为部分分式(利用通分可以凑出来)

1(z2?4)?(z2?4)1z2?4???(z2?4)28(z2?4)28(z2?4)8(z2?4)2

111111?(?)?[?].i32z?i2z?i216(z?i2)2(z?i2)2由上例可见，只需要考虑(z?i2)n中n??1的头两项，这样只需要考虑奇点?i2是否在积分回路内部即可，由此得

(1) I1???l1dz112i??dz?dz??. 22??(z?4)i32l1z?i2i3216dz112i??dz??dz????. ?(z2?4)2i32?z?i2i3216l2dz1112i??2i?dz?(?)dz??0. 22??(z?4)i32l3z?i2z?i2i32

§3.3柯西积分公式

(2) I2???l2 (3) I3???l33.3.1柯西积分公式

第24页, 共78页

1. 单连通区域的柯西公式

设f(z)在单连通区域D解析，a为D内一点，则 f(a)?式中L为D的边界线，见图3.3.

1f(z)dz. ?2?i?z?aL

图3.3

证明：由于f(z)在D内解析，所以在a点连续，则对???0,??(?)?0，使得当

|z?a|??时，有|f(z)?f(a)|??.作圆周Cr:|z?a|?r，由复连通区域柯西定理有

f(z)f(z)f(z)?f(a)f(a)f(z)?f(a)dz?dz?dz?dz?dz?2?if(a) ??????????z?az?az?az?az?aLCrCrCrCr由复数积分性质知道

|??Crf(z)?f(a)|f(z)?f(a)|?dz|??|dz|?ds?2??. ???z?a|z?a|rCrCr根据f(z)在a点连续性，可知?可任意小，令??0，即可证明.

注：(1)L可为解析区域D内的任意正向简单闭曲线,a为内部一点；(2)积分公式表明只要知道了它的边界上之值，其内部某点的值就完全确定了；(3)f(z)?1f(?)d?；(4)平均值公式设f(z)在|z?a|?R内解析，在?2?i???zL12?|z?a|?R上连续，则 f(a)??2?0f(a?Rei?)d?.

2. 复连通区域的柯西公式

设L为复连通区域D内的一条简单闭曲线，C1,C2,?,Cn是L内部的简单闭曲线，且C1,C2,?,Cn中的每一条都在其余的外部，以C1,C2,?,Cn为边界的区域全含于

第25页, 共78页

??D.如果f(z)在D内解析，??L??C1??C2并取正向，a?D，则 ???Cnf(a)?1f(z)1f(z)dz?dz???2?i?z?a2?iz?a?L??C??C????C?12n1f(z)f(z)f(z)f(z)?[?dz?dz?dz???dz].???????2?iL?z?az?az?az?aC?C?C?12n

3. 无界区域的柯西公式

设f(z)在积分回路L及L外解析，a点为L外一点，且 limf(z)?0

z??则f(a)?

12?if(z)dz. ??z?aL2高阶导数公式

1.设f(z)在区域D内解析，z为D内一点，则f(z)在D内可以求导任意多次，且

f(n)(z)?n!f(?)d?. n?1??2?iL(??z)注意：复变函数只要一阶导数存在，则其任意阶导数均存在，并且各阶导数连续. 2.举例

2z2?z?1例1. 试计算积分I??dz. 3?(z?1)|z|?3解：函数f(z)?2z2?z?1在L及其内部解析，z?1在L的内部，符合应用高阶导数公式的条件，分母(z?1)3意味着n?2，故

2?id22I?[2z?z?1]|z?1?4?i. 22!dz例2. 已知?(t,q)?e2tq?t,求证

n?n?(t,q)nq2d?q2|?(?1)ee. t?0nn?tdq2证明：(1)将高阶导数公式变形.高阶导数公式为

f(n)(t)?n!f(?)d? n?1?2?i?(??t)L 第26页, 共78页

现在?(t,q)依赖于t与q，故对t的导数应该改写为偏导数

??(t,q)n!?(t,q)n!e|?d??d? t?0nn?1n?1?????t2?iL(??t)2?iL?(2)作变换??q?z.注意到e2?q???e2(q?z)q?(q?z)?eq222222n2?q??2?z2，上式变为

22n?q?n?(t,q)n!eq?z(?1)neqn!e?znq2de|t?0?d(?z)?d??(?1)e. n?1n?1n????tn2?i?(q?z)2?i(z?q)dqLL3.3.3最大模原理

设f(z)在区域D内解析，则|f(z)|在D的边界L上取得最大值.

1[f(?)]n证明：首先写出[f(z)]的柯西公式，即 [f(z)]?d?. ??2?iL??znn令M?max|f(?)|,??min|??z|，所以

??L??LMns|f(z)|?，其中s为L的长度.上式两边开n次方，得到

2??n|f(z)|?M(s2??1ns2??)

1n令n???()?1，于是得到 |f(z)|?M.用更精确的方法可以证明，只有

当f(z)取常数时，上式中的等号才成立.

推论：在区域D内解析的函数，若其模在D的内点达到最大值，则此函数必为常函数.

例3. 计算积分I?|dz|. 2??|z?1||z|?2解：因为C:|z|?2，且沿正方向(逆时针方向)，所以辐角0???2?，则

z?2ei?(0???2?),dz?2ei??id??izd?.

于是|dz|?|izd?|?2d??2(dz).考虑到|z|?2,|z|2?4，故得到 iz 第27页, 共78页

dz)|dz|2dzizI?????|z?1|2|z???i|z?|z|?2|?2(z?1)(z?1)|?2z(z?1)(z?1)2(1dz2dz2dz14?(z?4)????2i?2i?2?i?.2?????i|z|?2(z?1)(|z|?z)i|z|?2(z?1)(4?z)(z?1)(1?4)3|z|?2

第四章解析函数的幂级数表示

§4.1 复数项级数

4.1.1概念

定义1：复数项无穷级数设有复数列{zn}，其中zn?xn?iyn(n?1,2?.)，则

?zn?1?n?z1?z2??zn??.

称为复数项无穷级数.其中前n项和Sn?z1?z2??zn为级数的部分和.

定义2：级数收敛如果部分和序列{Sn}的极限存在，且为S，则称无穷级数?znn?1??收敛，且收敛于S，即 S?limSn??zn.若部分和序列{Sn}发散，则称级数?znn??n?1n?1?发散.

注意：S?limSn?ReS?limReSn,ImS?limImSn.

n??n??n??4.1.2收敛的判定准则

定理1：设zn?xn?iyn(n?1,2?),S?x?iy，则级数?zn收敛等价于实部级数与

n?1?虚部级数?xk,?yk均收敛，且有 lim?zk?S?lim?xk?x,lim?yk?y.

k?1k?1k??k?1n??k?1n??k?1??knn定理2：级数?zn收敛的必要条件是limzn?0.

n?1n???11例1. 考察级数?(?in)的敛散性.

2n?1n? 第28页, 共78页

?11解：只需讨论级数的实部级数?(发散)及虚部级数?n(收敛)的敛散性，所以

n?1nn?12?原级数发散.

定义3.绝对收敛与条件收敛若级数?|zn|收敛，则称级数?zn绝对收敛；若级

n?1n?1??数?zn收敛而?|zn|不收敛，则原级数?zn条件收敛.

n?1n?1n?1???定理3：绝对收敛级数必为收敛级数，反之不成立. 例2. 证明|z|?1时，S(z)??zn?n?0n?1. 1?z证明：Sn??zk?1?z???zn，则zSn?z?z2???zn?1.易见Sn?zSn?1?zn?1.

k?01?zn?11?. 利用|z|?1时，limz?0，得到S(z)?limSn?limn??n??n??1?z1?zn

§4.2 复变函数项级数

4.2.1概念

定义1：复变函数项级数设有定义于D上的复变函数列{fn(z)}(n?1,2?)，称表达式?fn(z)?f0(z)?f1(z)???fn(z)??为复变函数项级数；该级数项的前n项

n?0?和Sn(z)??fk(z)?f0(z)?f1(z)???fn?1(z)为级数的部分和.

k?0n?1定义2：如果对于D内某点z0，级数?fn(z0)收敛，则称z0为?fn(z)的一个收

n?0n?0??敛点；若级数在区域D的每一点均收敛，则该级数在D内收敛；收敛点的集合为收敛域；若级数?fn(z0)发散，则称z0为?fn(z)的发散点，发散点的集合为

n?0n?0??发散域. 4.2.2幂级数

第29页, 共78页

n定义3：当fn(z)?Cn(z?z0)(n?0,1,2)?或fn(z)?Cn?zn(n?0,1,2?)时，得到函

?数项级数的特殊形式

?C(z?z)n0n?0n?C0?C1(z?z0)1??Cn(z?z0)n??称为幂级

数，其中z0,Cn(n?0,1,2?)均为复常数，z0为幂级数的中心.

定理1阿贝尔(Abel)定理:如果幂级数在z1(z1?z0)点收敛，则级数?Cn(z?z0)n在

n?0?圆域|z?z0|?|z1?z0|内绝对收敛且一致收敛(对级数每项求导有意义)；如果在点

z1(z1?z0)点发散，则当|z?z0|?|z1?z0|时，幂级数?Cn(z?z0)n必发散.

n?0?证明：关键在于找到一个收敛的正向级数?mn，且有|Cn(z?z0)n|?mn.因为函数

n?0?在z1(z1?z0)点收敛，所以limCn(z1?z0)n?0，因此?M?0，对?n有

n??|Cn(z1?z0)n|?M

这样，当|z?z0|?|z1?z0|时，

|Cn(z?z0)n|?|Cn(z1?z0)n|?|?(z?z0)n|?Mqn(z1?z0)(0?q?1).

而?Mqn为收敛的正项级数，由绝对收敛级数的比较判别法则及一致收敛定义

n?0可知，级数?Cn(z?z0)n在圆域|z?z0|?|z1?z0|内绝对收敛且一致收敛.

n?0?推论：定理表明

(1) 幂级数?Cn(z?z0)n在某点收敛，必在离中心z0更近的点收敛；

n?0??(2) 幂级数?Cn(z?z0)n在某点发散，必在离中心z0更远的点发散.

n?0因此，幂级数的收敛区域与发散区域是不会交替出现的，即必存在一个以z0为圆心的圆，在圆内绝对收敛(必在稍小的闭圆内一致收敛)，在圆外发散.这个圆称为

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幂级数的收敛圆，圆的半径R称为幂级数的收敛半径.半径R可以为零，表示除去z0点外，幂级数均发散；可以为无穷大，表示在全平面收敛. 4.2.3幂级数收敛圆与收敛半径

性质1：幂级数在收敛圆内解析，且可以逐项求导数任意多次. 性质2：幂级数可以沿收敛圆内任意曲线L逐项积分. 性质3:幂级数在公共收敛域内可以进行四则运算. 1.收敛半径R的计算方法 (1).比值法. R?lim|n??Cn| Cn?1(2). 根式法.R?lim|n??1| n|C|n

(3).奇点法. 幂级数中心z0到最近奇点的距离即为收敛圆的半径R(由性质1得). 2.举例

例1. 计算下列幂级数的收敛半径：

?(n!)2n(1)?nz；(2)?nlnnzn.

n?1n?0n?(n!)2nCn1n1nn|??lim(1?)?lim()?e?0?0. 解：(1) 用比值法：R?lim|2n??Cn??n??n?1[(n?1)!]nn?1(n?1)n?1(2)用根式法：

1ln(n???lnnn1lnnln(n)R?lim||?lim(n)n?lime?limenn??n|C|n??n??n??n1lnn)?limen???(lnn)2n?e0?1.

1例2. 将函数表示成

z?b?C(z?a)nn?0?n的幂级数形式，其中复数a?b.

解：将函数

1改写成 z?b111111 ???z?b(z?a)?(b?a)(b?a)z?a?1(a?b)1?z?ab?ab?a 第31页, 共78页

利用|z|?1时，?zn?n?0?1.可得 1?z当|(z?a)|?1时，(b?a)1z?az?a2z?an?1??()???()?? z?ab?ab?ab?a1?b?a从而有

11z?az?a2z?an??{1??()???()??}. z?b(a?b)b?ab?ab?a§4.3 解析函数的Taylor级数

4.3.1Taylor定理

我们知道收敛的幂级数的和函数一定是解析的，那么反过来呢？解析函数是否可以展开成幂级数？

定理：设f(z)在圆域|z?z0|?R内解析，则f(z)可以在圆内任意点展开为泰勒级

f(n)(z0). 数 f(z)??Cn(z?z0)，其中Cn?n!n?0?n证明：由于f(z)在CR:|z?z0|?R上不一定解析，现以z0为圆心，作一圆周 C?:|z?z0|??(??R).z在C?的内部，如图4.1所示.定理的证明分为以下三步：

图4.1

(1) 由柯西公式 f(z)??1f(?)d?.式中??C?,?|??z0|?|z?z0|. ??2?iC???z1.将被积函数展开成幂级数，得 1?z(2) 利用|z|?1时，?zn?n?0 第32页, 共78页

1111?????z(??z0)?(z?z0)(??z0)1?z?z0??z0?z?z0z?z02z?z0n(z?z0)n1??{1??()???()??}??.n?1(??z0)??z0??z0??z0(??z)n?00

?(z?z0)n1f(?)1d??f(?)d?. 代入柯西公式得到 f(z)??n?1???2?i???z2?i(??z)0C?C?n?0(3) 交换积分与求和的次序(一致收敛的性质)：

??(z?z0)n11f(?)nf(z)?f(?)d??(z?z)?{d?}. ??0n?1n?1????2?iC?n?0(??z0)2?iC?(??z0)n?0应用高阶导数公式f注意：

(n)?f(n)(z0)n!f(?)n得 (z0)?d?,f(z)?(z?z)?0. n?1??2?iL(??z0)n!n?0(1) 解析函数的Taylor展开式是唯一的；

(2) Taylor级数的收敛半径确定方法：利用奇点法则判定；

(3) Taylor定理与Abel定理指出了解析函数与Taylor级数的关系，这种关系在实变函数中是没有的，应当引起注意. 4.3.2将函数展开为Taylor级数的方法

f(n)(z0). 1. 直接计算系数Cn?n!例1. 试以z0?0为中心，将f(z)?ez展开为Taylor级数. 解：先求f(z)?ez的各阶导数f(n)(z)?ez，所以

f(n)(z0)ez01Cn??|z0?0?.

n!n!n!zz2zn因此，e?1???????.(z?C)

1!2!n!zz2n?1类似地，可以得到 sinz??(?1).(z?C)

(2n?1)!n?0?nz2ncosz??(?1).(z?C)

(2n)!n?0?n 第33页, 共78页

2. 换元法

例2.试分别以z0?0及z0?1为中心将f(z)?其收敛半径.

解：利用|z|?1时，级数?zn?n?0?z?1展开成Taylor级数，并指出z?11来展开f(z). 1?z(1) 以z0?0为中心，则

?z?1z?1?22f(z)???1??1?2?(?z)n,|z|?1.

z?1z?11?(?z)n?0f(z)的唯一奇点是z??1，到中心z0?0的距离为1，故R?1.

(2) 以z0?1为中心，则

z?1z?11z?1(z?1)?z?1nz?1nf(z)?????(?1)?(),||?1. ?z?1z?12?z?121?(?2n?022)2f(z)的唯一奇点是z??1，到中心z0?1的距离为2，故R?2.

3. 在收敛圆内逐项求导法(求积分法) 例3. 以z0?0为中心，Taylor展开f(z)?1. (1?z)2111]'?.解：由于[而以z0?0为中心的展开式为 21?z1?z(1?z)?1??zn (|z|?1)，所以 1?zn?0???1nn?1nf(z)??[z]'?nz?(n?1)z,(|z|?1). ???2(1?z)n?0n?1n?0例4. 取arctan0?0，试z0?0为中心，将f(z)?arctanz作Taylor展开. 解：由于arctanz??1dz，故展开后，逐项积分即得 221?z1?z0zzz??dz(?1)nz2n?12narctanz?????(?z)dz??. 21?z2n?1n?000n?0 第34页, 共78页

4．待定系数法

例5. 试z0?0为中心，将f(z)?e?11?z作Taylor展开.

解：假设f(z)可以展开为f(z)??Cnzn.现在寻找系数Cn满足的方程.为此，对

n?01111?zf(z)求导，可得 f'(z)?e?f(z).

(1?z)2(1?z)2即 (1?2z?z2)f'(z)?f(z)?0.

将f(z)??Cnz,f'(z)??Cnn?zn?1，代入上式，得

nn?0n?1???Cn?znn?1?n?1??2Cnn?z??2Cnn?znn?1n?1??n?1??Cnzn?0.

n?0?为得到Cn满足的方程，将各项化为z的n次幂，得到

C1?C0??{(n?1)?Cn?1?2nCn?(n?1)Cn?1?Cn}zn?0.

n?1?由zn的同次幂项系数之和为零，即得

C1?C0?f(0)?e,Cn?1? 1{(2n?1)?Cn?(n?1)?Cn?1},n?1,2,?.(n?1)13113因此，C2??3C1?e,C3??(5C2?C1)?e,?

22!33!所以 f(z)?e

11?z?e(1?z?32133z?z??). 2!3!§4.4罗朗(Laurent)级数及展开方法

上节是将圆域内的解析函数展开为幂级数，本节将环域内的解析函数展开为幂级数，称为罗朗级数.环域R1?|z?z0|?R2有两个极限情形:R1?0及R2??. 4.4.1 罗朗定理

定理设函数f(z)在环域R1?|z?z0|?R2内解析，则f(z)可在环内任意点z展开

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以上任何一条均可作为判定奇点是否为极点的标准，也可作为极点的定义. 例2. 求函数f(z)?1的孤立奇点，并判断类型及阶数. sinz解：奇点为z?n?(n?Z)，它们都是孤立奇点，并且

(sinz)'|z?n??cosz|z?n??(?1)k?0.

所以z?n?(n?Z)都是sinz的一级零点，从而都是f(z)?(3)本性奇点

定义6.本性奇点如果函数f(z)在其孤立奇点z0的去心领域的罗朗级数中的主要部分为无穷多项，则称点z0为f(z)的本性奇点. 定理5 本性奇点的判定定理

①f(z)在奇点z0的去心领域内的罗朗级数的主要部分为无穷多项； ②limf(z)不?(??).

z?z01的一阶极点. sinz以上任何一条均可作为判定奇点是否为本性奇点的标准，也可作为本性奇点的定义.

注：若函数f(z)具有f(z)?eg(z)的形式，我们还可以引入一个实用的简便判别法则，即若g(z)以z0为极点，则函数f(z)?eg(z)以z0为本性奇点. 例3. 判断z?0是函数f(z)?e的什么类型的奇点.

解：根据以上介绍的方法很容易得出z?0为函数f(z)?e的本性奇点.事实上，

1z?0为的极点.

z1z1z5.1.3 解析函数在无穷远点的性态

首先假设f(z)在无穷远点z??的去心领域R?|z|??内解析，称无穷远点为

1，且规定这个变换将扩充的z平面上的无穷远点z1z??映射成扩充t平面上的点t?0；将R?|z|??映射成0?|t|?.且

R1f(z)?f()??(t)

tf(z)的孤立奇点.作变换t? 第41页, 共78页

这样，我们就可以将对f(z)在R?|z|??内的研究，转化为在0?|t|?1内对函数R?(t)的研究. 首先，在0?|t|?1内，函数?(t)是解析的，因此t?0是?(t)的孤立奇点.若t?0是R?(t)的可去奇点、m阶极点、本性奇点，则z??是f(z)的可去奇点、m阶极点、本性奇点. 设在0?|t|?1，?(t)的罗朗级数展开式为 R?(t)???1令t?，则f(z)??Cnzn.

zn???n????t?Cn??n

??n(n?0,?1,?)，上式即为f(z)在R?|z|??内的罗朗级数展开式，其中，Cn?C展开式中正幂为f(z)在z??领域的主要部分.

定理6 函数f(z)的孤立奇点z??为可去奇点的充分必要条件是下列任何一个条件成立：

(1) f(z)在z??的罗朗级数展开式中无主要部分；

(2) limf(z)?b(??) ；( 3) f(z)在z??的某个去心领域内有界.

z??定理7函数f(z)的孤立奇点z??为m阶极点的充分必要条件是下列任何一个条件成立：

(1) f(z)在z??的罗朗级数展开式中主要部分有m项：

f(z)?C1z?C2z2???Cmzm.(Cm?0)；

(2) f(z)在z??的某去心领域内可以表示成

f(z)??(z)zm.(?(?)?0)

其中，?(z)在z??的某去心领域内解析. 注： z??为f(z)的极点?limf(z)??.

z??定理8 函数f(z)的孤立奇点z??为本性奇点的充分必要条件是下列任何一个

第42页, 共78页

条件成立:

(1) f(z)在z??的罗朗级数展开式中主要部分有无穷多项；(2) limf(z)不存在

z??也不等于?. 例如: z??是

z的可取去奇点；z??是4?z?3z3的三阶极点；z?2z??是ez的本性奇点.

§5.2留数

5.2.1 留数概念

定义1.有限远点留数若函数f(z)在z0的去心领域0?|z?z0|?R内解析，则在此领域内，f(z)可展开成罗朗级数

f(z)?n????C(z?z)n0??n???C?n(z?z0)?n???C?1(z?z0)?1?C0?C1(z?z0)1???Cn(z?z0)n??

在0?|z?z0|?R内任取一条绕z0的正向简单闭曲线L,对上式两边在L上积分，并利用积分公式

?2?i(n?1)1 dz??n??(n?1)(z?z0)?0L所以

z?f(z)d??L .?2?i1C定义此积分值除以2?i后得到的数称为f(z)在有限远点z0处的留数，也称为残数(Residue)，记为Resf(z0)或Res[f(z),z0]或Resf(z)|z?z0，即

Resf(z0)?1f(z)dz?C?1. ??2?iL注：留数定义为我们提供了两条计算留数的方法:一是将f(z)在0?|z?z0|?R内展开成罗朗级数，取其－1次幂项的系数C?1即可；二是计算

1z1?Lf(z)dz. 2?i?例1. 计算函数f(z)?ze在孤立奇点z?0处的留数. 解：由于在0?|z|?R内有

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ze?z?1?1z1z1?11?2z?z???Res[f(z),0]?1/2. 2!3!例2. 求Res[e,1]. z2?z解：此题若在0?|z?1|?R用罗朗级数解会很麻烦，因而可以利用计算积分的方法：

e1e1e1ezzRes[2,1]?dz?dz?2????z?z2?iLz?z2?iLz?1z1z1zz?11z?e.

定义2 无穷远点的留数设?为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在R?|z|??内解析，则定义函数f(z)在?处的留数为

Res[f(z),?]?12?i?f(z)dz. ?L其中，L:|z|???R，积分方向为顺时针方向(包含无穷远点的正方向). 若函数f(z)在z??的去心领域R?|z|??内的罗朗级数为

f(z)?n????Czn??n???C?nz?n???C?1z?1?C0?C1z1???Cnzn??

则Res[f(z),?]??C?1.

注意：无穷远点的留数与有限远点的留数有一个重大的区别：

当函数f(z)以?为解析点或可去奇点时，其留数Res[f(z),?]可以不为零.例如

f(z)?1以z??为可去奇点，但是留数Res[f(z),?]?1. z5.2.2 留数定理与留数和定理(处理多个奇点)

定理1 设函数在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,?,zn外处处解析，L为区域内包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，则

?f(z)dz?2?i?Res[f(z),z]. ?kLk?1n证明：在D内将孤立奇点zk(k?1,2,?,n)分别用互不包含且互不相交的围线Ck围

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绕起来，而围线L包围了所有奇点，如图5.1所示.应用复围线柯西积分定理得

?f(z)dz????f?Lk?1Cknz(dz) .k又根据留数定义有

?f(z)dz?2?i?Res[f(z),z].代入即得 ?Ck?f(z)dz?2?i?Res[f(z),z]. ?kLk?1n

图5.1

定理2 留数和定理

设函数在扩充的复平面上除了有限远点zk(k?1,2,?,n)以及z??以外处处解析，则

?Res[f(z),z]?Res[f(z),?]?0.

kk?1n证明：以原点为中心作一大圆L:|z|?R，使其内部包含全部点zk(k?1,2,?,n)，由留数定理有

n1f(z)dz??Res[f(z),zk]. ?2?i?k?1L根据无穷远点的留数定义有Res[f(z),?]?5.2.3 留数的计算方法 Ⅰ.有限远点的留数计算方法 (1). z0为f(z)的可去奇点

12?i?f(z)dz. 所以命题得证. ?L若z0为f(z)的可去奇点，则f(z)在0?|z?z0|?R内的罗朗级数展开式中不含负

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幂项，因而 Res[f(z),z0]?0. (2). z0为f(z)的一阶极点

①一般情形. 此时，f(z)在0?|z?z0|?R内的罗朗级数展开式为

f(z)?C?1(z?z0)?1?C0?C1(z?z0)1??

显然，C?1?lim[(z?z0)?f(z)]，从而

z?z0Res[f(z),z0]?lim[(z?z0)?f(z)].

z?z0②特殊情形. 若z0为f(z)?P(z)的一阶极点，且Q'(z0)?0，则 Q(z)Res[f(z),z0]?P(z0). Q'(z0)证明：由题知Q(z0)?0.

Res[f(z),z0]?lim[(z?z0)?f(z)]?lim[z?z0z?z0P(z0)P(z)]?.

Q(z)?Q(z0)Q'(z0)z?z01dm?1(3). z0为f(z)的m阶极点. Res[f(z),z0]?limm?1[(z?z0)m?f(z)].

(m?1)!z?z0dz(4). z0为f(z)的本性奇点. 此时，没有简单方法可以奏效，只能用罗朗级数展开法则或直接计算线积分. 5.2.4 应用举例

例3 分别计算以下函数的留数：

zez1,i]. a. Res[2,1],b. Res[z?1(1?z2)3zez解:a.容易知道z?1是2的一阶极点，所以

z?1zezzezzezeRes[2,1]?lim[(z?1)?2]?lim?.

z?1z?1z?1z?1z?12 第46页, 共78页

b.因为

11，所以z?i为其三阶极点，所以 ?2333(1?z)(z?i)(z?i)11d13Res[,i]?lim[(z?i)?](1?z2)3(3?1)!z?idz2(z?i)3(z?i)3

1i3?lim[(?3)(?4)(z?i)?5]??.2z?i16例4.计算下列积分:

25z?2dz b. 2??z(z?1)|z|?2zsinzdz. z3??(1?e)|z|?1解:a.被积函数f(z)?z?1，则

5z?2在圆周|z|?2的内部有一阶极点z?0及二阶极点2z(z?1)5z?2]??2,2z?0z(z?1)

d5z?22Res[f(z),1]?lim[(z?1)2?]?lim2?2.2z?1dzz?1zz(z?1)Res[f(z),0]?lim[(z?0)?所以，由留数定理得

5z?2dz?2?i(?2?2)?0. 2??z(z?1)|z|?2b. 被积函数f(z)?zsinz在圆周|z|?1的内部有孤立奇点z?0，直接计算较复z3(1?e)杂.采用罗朗级数展开式方法求留数.

z3z2z(z???)(1???)zsinzz23!3!???3?. 2z3zz(1?e)z(1???)3?(z???)32!2!z2(1???)3!而在z?0解析，故可以展开为z的幂级数：1?C1z??，于是在z?0z(1???)32!的去心领域内有

zsinz11???{1?Cz??}???C1??. 1(1?ez)3zzzsinzzsinz,0]??1.所以dz??2?i. z3??(1?ez)3(1?e)|z|?1由此，即得Res[ 第47页, 共78页

Ⅱ.无穷远点的留数

(1)利用无穷远点的留数定义或留数和定理

ez例5.求函数f(z)?2在点z??处的留数.

z?1ez解：函数f(z)?2以z?1,z??1为其一阶极点，而z??为本性奇点，又

z?1ee?1Res[f(z),1]?,Res[f(z),?1]??.

22e?1e?. 所以 Res[f(z),?]??Res[f(z),1]?Res[f(z),?1]?22(2)利用下述定理求无穷远处的留数(特殊情形) 定理3 若limf(z)?0,则 Res[f(z),?]??lim[z?f(z)].

z??z??证明：根据条件可设f(z)在z??处的去心领域内的罗朗级数为

f(z)???z??C?nC?1????0?0?? znz1因此，Res[f(z),?]??C?1??lim[z?f(z)].

5z27dz. 例6.计算I??2445?(z?1)(z?2)|z|?4解：可以验证被积函数的有限远奇点?1,2e4i??2k?4(k?0,1,2,3)均在积分区域内.

按照无穷远点留数的定义及留数的计算方法得到

5z27I???dz??2?i?Res[f(z),?]. 2445?(z?1)(z?2)|z|?4而Res[f(z),?]??lim[z?f(z)]??5,所以I?10?i.

z??(3)利用下述定理求无穷远处的留数(一般情形)

11定理4 Res[f(z),?]??Res[f()?2,0].

zz证明：设f(z)在z??的去心领域内罗朗级数的一般形式为

f(z)?n????Czn??n???C?nz?n???C?1z?1?C0?C1z1???Cnzn??

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作变换t?1，则在t?0的去心领域内的罗朗级数的表达式为 z??11f()??Cn()n???C?ntn???C?1t1?C0?C1t?1???Cnt?n?? tn???t12而 1?f()???C?ntn?2???C?1t?1?C0?Ct1?3???Cnt?n??? 2tt利用无穷远点及有限远点留数的定义，有

1111Res[f(z),?]??C?1??Res[f()?2,0]??Res[f()?2,0].

ttzz123例7.求函数f(z)?1??2?3在z??处的留数.

zzz11解：Res[f(z),?]??Res[f()?2,0]?1.

zz例8.计算积分

dz. 105??(z?i)(z?1)(z?4)|z|?2解：被积函数有限远点的奇点是：?i,1,4.其中z?4在积分区域之外，根据留数和定理有 Res[f(z),?i]?Res[f(z),1]?Res[f(z),4]?Res[f(z),?]?0. 由于?i,1在积分圆周内部，由此有

dz?2?i{Res[f(z),?i]?Res[f(z),1]}105??(z?i)(z?1)(z?4) |z|?2??2?i{Res[f(z),4]?Res[f(z),?]}.又

11?z?4z?4(z?i)10(z?1)535(4?i)1011Res[f(z),?]??Res[,0]?0. 21z10151(?i)(?1)(?4)zzzdz1????.105510?(z?i)(z?1)(z?4)3(4?i)|z|?2Res[f(z),4]?lim(z?4)f(z)?lim

§5.3留数在定积分计算中的应用?计算实变积分

目的:

①将定积分?围道积分?对围道积分进行运用留数方法计算；

②广义积分?围道积分?在非实轴这一段的积分为零?用留数定理计算上

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