复变函数期末试题

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一） 判断题（20分）

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 22sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）.( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若zlim?zf(z)0存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.( )

10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ）

二.填空题（20分）

?dz|z?z0|?1(z?z0)n?__________.（n为自然数）

f(z)?14.设

z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

??

nzn 5.幂级数

n?0的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

limlimz1?z2?... 7.若

n??z???znn，则n??n?______________. s(ezRen,0)?8.z________，其中n为自然数.

sinz9.

z的孤立奇点为________ . limf(z)?___10.若z0是

f(z)的极点，则z?z0.

三.计算题（40分）：

1

f(z)?11. 设

(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的

罗朗展式.

2.

?1|z|?1coszdz.

f(z)?33. 设??2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?z?14. 求复数

z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那

么它在D内为常数. 2. 试证:

f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单

值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值. 《复变函数》考试试题（二） 判断题.（20分）

1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内

连续. ( )

2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则

zlim?zf(z)0一定不存在. ( )

6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?Cf(z)dz?0.( )

8. 若数列

{zn}收敛，则

{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( )

9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )

f(110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使n?1)?0f(1)?1,n?1,2,...且2n2n.

( )

二. 填空题. (20分) 1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__

2.

设

f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则

zlim?1?if(z)?________.

2

?dz|z?z?13.

0|(z?z0)n?_________.（n为自然数）

4. 幂级数??nznn?0的收敛半径为__________ .

5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.

f(z)?18. 设

1?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.

9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.

Res(z?14,1)?____10. z.

三. 计算题. (40分)

1. 求函数

sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正实

轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.

i3. 计算积分：

I???i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（

|z|?1）的

右半圆.

?sinzz?2?dz24. 求

(z?2).

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题（三） 一. 判断题. (20分).

1. cos z与sin z的周期均为2k?. ( ) 2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 若数列

{zn}收敛，则{Rzne}与{Imzn}都收敛. ( )

5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区

3

域D内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析,且|f(z)|?1(|z|?1),则

|f(z)|?1(|z|?1). （ ）

8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

9. 若z0是f(z)的m阶零点, 则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 10. 若

z0是

f(z)的可去奇点，则Res(f(z),z0)?0. ( )

二. 填空题. (20分)

f(z)?11. 设

z2?1，则f(z)的定义域为___________.

2. 函数ez的周期为_________.

zn?213. 若

n?1?n?i(1?n)n，则limn??zn?__________. 4. sin2z?cos2z?___________.

?dz|z?z|?15.

0(z?z0)n?_________.（n为自然数）

6. 幂级数n??nxn?0的收敛半径为__________.

f(z17.

)?2 设 z?1，则f(z)的孤立奇点有__________. 8. 设

ez??1，则z?___.

9. 若z0是f(z)limf(z)的极点，则z?z?___0.

(ezRes10. zn,0)?____.

三. 计算题. (40分)

11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.

???n!zn2. 试求幂级数n?nn的收敛半径.

4

3. 算下列积分：?ezdzCz2(z2?9)，其中C是|z|?1.

94. 求z?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那

么它在

D内为常数.

2. 设

f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R

及M，使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

证明

f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四） 一. 判断题. (20分) 1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ） 2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 函数sinz与cosz在整个复平面内有界. （ ） 4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

?Cf(z)dz?0.（ ）

limf(z)5. 若

z?z0存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）6. 若函数f(z)在区域D内解析且f'(z)?0，则f(z)在D内恒为常数. （ ）7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则zlim?zf(z)0一定不存在. （ ） 8. 若

f(z(n)0)?0,f(z0)?0，则z0为f(z)的

n阶零点. （ ） 9. 若

f(z)与g(z)在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则

f(z)?g(z),z?D. （ ） 10. 若

f(z)在0?|z|???内解析，则

Res(f(z),0)??Res(f(z),?). （ ）

二. 填空题. (20分)

5

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