排列组合教案 - 图文

1.分类加法原理——（或）——不重不漏

2.分步乘法原理——（且）——步骤完整

3.排列（arrangement）：

例1. 用0~9十个数字，可以组成多少个没有重复的数字的三位数？ 有三种思路： ①

② 分三类 ③ 逆向思维

4.组合（combination）： 由此

例2. 要从十七人中选出十一人组建足球队

（1）有多少种可能

（2）要是要选出一人出任守门员，有多少种不同的可能 两种方法

组合的性质：1.

2. 计算器：

（排列的另外一种理解）

（也即是大除法，去序）

5.二项式：

n个（a+b）相乘，不合并同类项，总共有多少项？

基础练习：

1.设有99本不同的书

（1） 分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？ （2） 分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？ （3） 平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？

（4） 分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的

分法？

（5） 分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？ （6） 分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？ （7） 平均分成3份，共有多少种不同的分法？

（8） 分成三份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？

2某科研小组有工作人员8人。

（1）现有五个项目需要研发，其中A项目必须由4人共同完成，余下的四个项目每个项目都由1人独立完成，有多少种不同的安排方法？

（2）现有三个研究课题，完成每个课题至少需要2人，有多少种不同的安排方法？

3.将5名新转入的同学分配到高二年级的三个班学习，每班至少1名，最多2名，不同的分配方案有多少种？

4.某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，没人每天最多值一班，则一天不同的排版种数为多少？

5.将3名司机和6名乘务员分配到3辆不同的公共汽车上，没量公共汽车分配1名司机和2名乘务员，不同的分配方法共有多少种？

6.将9件不同的玩具放入三个相同的盒子里，每个盒子里放3件，则不同的放法有多少种？（异球同盒）

7.某外商计划在5个城市投资6个不同的项目，每个城市至少投资1项，共有不同的投资方案多少种？

8.9名反恐战士中，有3名中国籍战士和6名其他国籍战士。再一次反恐演习中，9名战士以抽签的方式进行分组。

（1）分成甲、乙、丙3组，每组3名战士。

①3名中国籍战士分别被分在甲、乙、丙三组，共有多少种不同的分法？ ②至少有2名中国籍战士被分在同一组，共有多少种不同的分法？ （2）平均分成3组，每组3名战士。

①3个组中，各有1名中国籍战士，共有多少种不同的分法？

②恰有2名或3名中国籍战士被分在同一组，共有多少种不同的分法？

捆绑法：相邻 插空法：不相邻 隔板法：同球异盒 一．捆绑法

所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部个元素之的顺序。 注意：首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。

例1.有10本不同的书：其中数学书4本，外语书3本，语文书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（ ）种。

例2.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排节目的顺序？

例3.6个不同的球放到五个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？

二．插空法

指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题中，先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置

注意：首要特点是不相邻，其次是插空法一般应用在排序问题中，

例4.A、B、C、D、E五人排队，要求A和B两个人不能站在一起，有多少种排队方法？

例5.8人排成一队，要求甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种方法？

例6.5个男生3个女生排成一排，要求女生不能相邻，有多少种方法？（要考虑是否能否插入两端）

例7. A、B、C、D、E五人排队，要求A和B两个人不能站在一起，且A、B不能站在队伍两端，有多少种排队方法？

三．隔板法

指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略。

注意：首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。

例8.将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？

例9.现有10个完全相同的篮球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法。

捆绑法与插空法：相不相邻 插空法与隔板法：元素是否相同

三种模型练习

1. 一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，要将其中的三盏关掉，

但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？

2.马路两边各立着10盏电灯，为了节省用电，决定没边关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。问总共可以有多少种方案？

3．一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？

分两种情况考虑，两节目是 挨着还是不挨着两种（分类），考虑有没重复、遗漏。 1）、 这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×C41=8种 2）、 这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由A42=4×3=12种。（有两种理解，也就是插空法的理解：①首先，n个空往里插m个元素，第一个元素有n种可能，第二个有n-1种，依次类推第m个有n-（m-1）种可能，即Am，n；②n个空取出m个，有Cm，n种可能，然后再将m个元素排列，即Am，m，即Am，n）

综上得，共8+12=20种 此题中使用了捆绑法和插空法。

4. 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法？

5.假设x、y、z是三个非零自然数，且有x+y+z=36，则共有多少组满足条件的解？

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