2010山东高考数学(理)

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(山东卷)

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.

（1） 已知全集U=R，集合M={x||x-1| 2},则ðUM=

（A）{x|-1<x<3} (B){x|-1 x 3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x -1或x 3} (2) 已知

a 2i

ii

(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3

(3)在空间，下列命题正确的是 （A）平行直线的平行投影重合

b i(a,b)

a 2i

，其中i为虚数单位，则a+b= b i（a,b∈R）

（B）平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行

（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3

(5)已知随机变量Z服从正态分布N（0，e2）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=

(A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977

(6)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为

65

(D)2

(7)由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为 （A）

1

23

312412

（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排

(B)

1

(C)

1

(D)

7

在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （A）36种 （B）42种 (C)48种 （D）54种 （9）设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的 （A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 （C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

x y 2 o,

（10）设变量x、y满足约束条件 x 5y 10 0,,则目标函数z=3x－4y的最大值和最小值分别为

x y 8 0,

（A）3，－11 (C)11, －3

2

（B) －3, －11 (D)11,3

(11)函数y=2x -x的图像大致是

(12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a (m,n)，b (p,q)令a b mq np，下面说法错误的是

（A）若a与b共线，则a⊙b＝0 （B）a⊙b=b⊙a

(C)对任意的 R，有（ a）⊙b= （a⊙b） (D) （a⊙b）2+(a·b)2=a

2

2

b

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

（13）执行右图所示的程序框图，若输入x 10，则输出y的值为 ． （14）若对任意x＞0，是 ．

（15）在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，

若a

b

2，sinB cosB

xx 3x 1

2

a恒成立，则a的取值范围

，

，则角A的大小为 ．

（16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：则过圆心且与直线l垂直的y x 1被圆C

所截得的弦长为，直线的方程为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分． （17）（本小题满分12分） 已知函数f x

12

sin2xsin cosxcos

2

1

π1

． sin 0＜ ＜ ，其图象过点（,）

262 2

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）将函数y f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的的图象，求函数g x 在[0, （18）（本小题满分12分）

已知等差数列 an 满足：a3 7，a5 a7 26． an 的前n项和为Sn．

π4

12

，纵坐标不变，得到函数y f x

]上的最大值和最小值．

（Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=

1an 1

2

(n N)，求数列 bn 的前n项和Tn．

*

（19）（本小题满分12分）

如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB

，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．

（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积． （20）（本小题满分12分）

某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题，规则如下：

① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答

错任一题减2分；

② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分

数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

③ 每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为有影响.

(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；

（Ⅱ）用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 的分布列和数学的E . （21）（本小题满分12分） 如图，已知椭圆

x2a2

y2b2

1(a＞b＞

0)的离心率为

2

3111

,,,，且各题回答正确与否相互之间没4234

，

以

该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F

2为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和

C、D.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·k2 1；

（Ⅲ）是否存在常数 ，使得AB CD ABCD恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.

22)(本小题满分14分) 已知函数f(x) lnx ax (Ⅰ)当a

12

1 ax

1(a R).

时，讨论f(x)的单调性；

14

（Ⅱ）设g(x) x2 2bx 4.当a

时，若对任意x1 (0,2)，存在x2 1,2 ，使

f(x1) g(x2)，求实数b取值范围.

2010山东理数答案 一． 选择题

1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.D 7.A 8.B 9.C 10.A 11.A 12.B 二．填空题 13.

54

14. , 15.

5

1

6

16.x y 3 0

14

n

1

1n 1

12

12

13

1n

1n 1

anbn

2

(1

4(n 1)n

)

Tnb1 b2 ..... bn1

....

bn

1 1 1

0, cos(4x ) 1 cos(2x )cos( )y g(x) f(2x) cos(4x ) 4 2323323

三.

解答题

（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos(2x

2

12

1 3

)，将函数y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的

，纵坐标不变，得到函数y g(x)的图象，可知

g(x) f(2x)

12

cos(4x

3

)

因为 x 0, ，

4 所以 4x 0, ， 因此 4x 故

12

2 ,

3 33

，

cos(4x

3

) 1。

所以 y g(x)在 0, 上的最大值和最小值分别为和 .

24 4

11

（18）本小题主要考查等差数列的基本知识，考查逻辑推理、等价变形和运算能力。 解：（Ⅰ） 设等差数列 an 的首项为a1，公差为

d

所以数列 bn 的前n项和Tn=

n4(n 1)

(19)本小题主要考察空间中的基本关系，考察线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和集合体体积的计算，考查识图能力、空间想象力和逻辑推理能力，满分12分 （｜）证明：

在△ABC中，因为∠ABC=45°，BC=4，AB=2所以AC2=AB+BC2-2AB·BC·cos45°=8因此 AC=2

2

2

，

，

故BC2=AC2+AB2,

所以∠BAC=90°

又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，

所以CD⊥PA,CD⊥AC,

又 PA,AC 平面PAC,且PA AC=A， 所以 CD⊥PAC,又 CD 平面PCD， 所以 平面PCD⊥平面

PAC

则

sin

hPB

24 12

,

0,

2 ， 又

所以

6

解法二：

由（｜）知AB,AC,AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于△PAB是等腰三角形， 所以 PA=AB=2又AC=2

2

2

,

,

所以

3

，

6

因此直线PB与平面PCD所成的角为

（Ⅲ）因为AC∥ED,CD⊥AC， 所以 四边形ACDE是直角梯形， 因为 AE=2,∠ABC=45°，AE∥BC， 所以 ∠BAE=135°， 因此 ∠CAE=45°,

2

故 CD=AE·sin45°==2×2=

S四边形

2 222

2

，

所以

ACDE

2 3

又 PA⊥平面ABCDE， 所以

VP-ACDE

12

3 22 22.------------------

（20）本小题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查对立事件、独立事件的概率和求解方法，考查用概率知识解决实际问题的能力.

解：设A,B,C,D分别为第一、二、三、四个问题.用M1(i 1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答正确，用N1(i 1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误，则M1与N1是对立事件

(i 1,2,3,4).由题意得 P(M1)

3414

,P(M2)

12

,P(M3)

13

,P(M4)

14,

所以

P(N1)

,P(N2)

12

,P(N3)

23

,P(N4)

34

（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q， 则

（Ⅱ）由题意，随机变量 的可能取值为：2,3,4. 由于每题答题结果相互独立， 所以

因此 随机变量 的分布列为

E 2

18 3

38 4

12 278

.

（21）本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质。考查直线和椭圆的位置关系，考查坐标化、定值和存在性问题，考查数行结合思想和探求问题的能力。 解（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知：

ca

2

2

2

ab c

222

x

2

4

y

2

4

1m m 0 xx1y1x0,

y0k1

y0x0 2

k2

y0x0 2x

2

y 4c

a

2

2

，

x0 y0 4k1k2 1

所以c=2， 又a2=b2 c2，因此b=2。 故 椭圆的标准方程为

x

2

8

y

2

4

1

由题意设等轴双曲线的标准方程为

xm

22

ym

22

1 m 0 ，因为等轴双曲线的顶点是椭圆

的焦点。 所以m=2，

因此 双曲线的标准方程为

x

2

4

y

2

4

1

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2,y2），P（x0,y0）， 则k1=

y0x0 2

，k2

y0x0 2

。

因为点P在双曲线x2 y2 4上，所以x02 y02 4。 因此k1k2 即k1k2

1

2 1，

x0 2x0 2x0 4y0

y0

y0

2

同理可得

CD 22k1 1k1 1

22

则

1AB

1CD

2k2 1k2 1

2

2

)，

又 k1k2 1，

2

所以

1AB

1CD

2k1 1k1 1

2

2

k1

2

1

1k1

2

2k1 1k1 2. ) (2 2)

8k1 1k1 18

22

故

AB CD

CD

因此

存在

8

，使AB CD ABCD恒成立.

（22）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思

想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 解：（Ⅰ）因为f(x) lnx ax 所以 f(x)

'

1 ax

1，

1x

a

a 1x

2

ax x 1 a

x

2

2

x (0, )，

令 h(x) ax2 x 1 a,x (0, )，

①当a 调递减；

②当0＜a＜时 1＞1＞0，

2

a1

1

12

（0，+ ）时，x1 x2,h(x)≥0恒成立，此时f'(x)≤0，函数 f(x)在上单

x (0,1)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减； x (1,

1a1a

1)时h(x)＜0，此时f(x)＞0，函数 f(x)单调递增；

'

x ( 1, )时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减； ③当a＜0时，由于 1＜0，

a1

x (0,1)，h(x)＞0,此时f'(x)＜0，函数 f(x)单调递减；

x (1, )时，h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数f(x)单调递增. 综上所述：

（Ⅱ）因为a= (0,)，由（Ⅰ）知，x1=1，x2=3 (0,2)，当x (0,1)时，f'(x) 0，

4

2

1

1

函数f(x)单调递减； g(x) min g(2) 8 4b 0b (2, )

'

1

17

b , 2 8

当x (1,2)时，

12

f(x) 0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在（0，2）上的最小值为f(1) 。

由于“对任意x1 (0,2)，存在x2 1,2 ，使f(x1) g(x2)”等价于 “g(x)在 1,2 上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值 又g(x)=(x b)2 4 b2，x1 1,2 ，所以

①当b 1时，因为 g(x) min g(1) 5 2b 0，此时与（*）矛盾 ②当b 1,2 时，因为 g(x) min 4 b2 0，同样与（*）矛盾 ③当b (2, )时，因为 g(x) min g(2) 8 4b，解不等式8-4b 综上，b的取值范围是

17

, 8

12

”（*）

12

，可得b

178

。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6mjm.html