广东省仲元中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

广东仲元中学2017学年第一学期期中考试高二年级理科数学

第I卷 （本卷共计60 分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A. 【答案】B 【解析】试题分析：考点：集合的交集运算． 2. 下列说法中正确的是 A. “B. 若C. 若

”是“函数

是奇函数”的必要条件 ，则

为假命题，则，均为假命题

，则

”的否命题是“若

，则

”

，所以

．

B.

，

C.

，则

D.

D. 命题“若【答案】D

【解析】试题分析：对于A中，如函数中，命题

，则

是奇函数，但，所以不正确；B

，所以不正确；C中，若

，则

”

为假命题，则，应至少有一个假命题，所以不正确；D中，命题“若的否命题是“若

，则

”是正确的，故选D．

考点：命题的真假判定． 3. 已知向量A. 0 B. 2 C. 【答案】C 【解析】∵向量∴∴

， 。选C。

的图像,可以将函数

- 1 -

，若

D. 2或

，则实数m的值为 （ ）

，且

4. 为了得到函数

的图像（ ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】∵∴将函数选D。

5. 下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩 依次为

，

的图像向右平移个单位，便可得到函数

的图像。

A1，A2，?，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该

算法流程图输出的结果是

A. 6 B. 10 C. 91 D. 92 【答案】B

6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2 的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为

- 2 -

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】试题分析：由三视图可知几何体为圆锥的，圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴圆

锥的高为．∴．故选A．

考点：由三视图求面积、体积． 7. 已知A.

是等比数列，

，则公比=( )

B. -2 C. D. 2

【答案】C 【解析】由题意得

，解得

。选C。

8. 若变量满足不等式组

D.

，且的最大值为7，则实数的值为

A. 1 B. C. 【答案】A 【解析】作出直线增大，而直线大值，由

，，再作直线，而向下平移直线

与

时，

的斜率为1，因此直线过直线得

，所以

的交点时，取得最

，故选A．

- 3 -

9. 函数满足，那么函数的图象大致是

A. B. C. D.

【答案】C 【解析】函数10. 已知双曲线曲线的离心率为( ) A.

B. C.

D.

的定义域为

，可知选项为C.

垂直，则双

的一条渐近线与直线

【答案】A

【解析】由条件可得双曲线的渐近线方程为∵渐近线与直线∴∴

，

。

，

垂直，

，不妨取

，

∴双曲线的离心率为选A。

11. 将某省参加数学竞赛预赛的500名同学编号为：001,002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码013为一个样本，这500名学生分别在三个

- 4 -

考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】由题意知，系统抽样的抽取间隔为

，

因为随机抽的的号码013为一个样本，故在第一组中被抽取的样本编号为3， 所以被抽取的样本的标号成首项为3，公差为10的等差数列。 可求得在在001到200之间抽取20人，在201到355之间抽取16人。 选B。

点睛：系统抽样又称等距抽样，若总体容量为N，样本容量为n，则要将总体均分成n组，每组个(有零头时要先去掉)．若在第一组抽到编号为k的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为

12. 已知定义在上的奇函数函数A. B. 【答案】D 【解析】函数

的交点的横坐标。

∵∴又可得函数

，即函数

的周期为，从而函数

，且函数

的图象关于直线

对称。

在区间

上的零点就是函数

与函数

C.

。

满足

，当

上所有零点之和为( )

时，

，则

在区间 D.

的图象关于点(π,0)对称。

的图象关于点(π,0)对称。

画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），

- 5 -

根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称。 所以函数选D。

点睛：解答本题的关键是将函数

零点问题转化为两个函数图象交点的横

在区间

上所有零点之和为2π+2π=4π。

坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象。同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用。

第II卷 （本卷共计90 分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 【答案】1 【解析】14. 在区间【答案】

【解析】如图，所有基本事件对应的点构成的平面区域为间

上随机任取两个数

，则满足

，设“区

上随机任取两个数

，则满足

。答案：1

的概率等于__________．

=___________。

”为事件A，则事件A对应的点构

成的平面区域为，（即图中四分之一的圆面）。

由几何概型概率公式可得答案：。

点睛：应用几何概型求概率的方法

。

- 6 -

建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．

（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可； （2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；

（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．

15. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑__________． 【答案】

，∴球O的半径为

，

中，

平面

，

，则该鳖臑的外接球表面积为

【解析】由题意，MC为球O的直径，MC=2

∴球O的表面积为4π?3=12π，内切球的半径设为ｒ，

得到

内切球的体积为

，故结果为

.

点睛：这个题目考查了四面体的外接球和内切球的体积问题，外接球是放到长方体中计算，用的是补体法；内切球用的是体积分割，将四面体分割成了4个小的棱锥，高都是内切球的半径，从而计算出内切球的半径。

16. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和

y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站______km.

【答案】5

【解析】试题分析：由已知y1=

；y2=0. 8x(x为仓库与车站距离)，

费用之和y=y1+y2=\≥2=8，当且仅当0. 8x=即x=5时“=”成立。

考点：本题主要考查函数模型及均值定理的应用。

- 7 -

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设【答案】（1）

的前项的通项公式；

，求证： （2）见解析

求数列的通项公式即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）

，用裂项相消法求数列的和。

.

.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据知

，故

试题解析： （Ⅰ） 当当所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴

.

点睛：已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 18. 已知（Ⅰ）求函数（Ⅱ）在【答案】（1）

的单调递增区间； 中，角

所对的边分别为

（

，若）（2）

，由

，

，求

的值．

.

时，

时，

, 满足上式。 。

.

【解析】试题分析：（Ⅰ）化简函数得

- 8 -

解得x的范围，可得函数的单调增区间；（Ⅱ）由围可求得试题解析： （Ⅰ）由题意得由得所以函数（Ⅱ）由

∴解得由所以即

的值为．

， ，

及正弦定理得

.

，

（

的单调递增区间为

得

， （

）, ）,

（

，利用正弦定理及条件可得

得,从而可得

，根据的值．

的范

）。

19. 某校从参加高二某次月考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组

信息，回答下列问题： （Ⅰ）求分数在

内的频率；

的学生中抽取一个容量为6的样本，再从该样本内的概率。

后得到如右所示的部分频率分布直方图。观察图形

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段中任取2人，求至多有1人在分数段

- 9 -

【答案】（1）0.3（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分别直方图的面积表示频率，并且所以小矩形的面积之和等于，来求

的面积，就是频率；（Ⅱ）第一步，先跟两个分数段的频率

，就是

两个分数段的学生人数，第二步，计算分层比，计算两个分数段的各应抽取的人数，第三步，将这所抽取到的人分别编号，然后列举所有抽取到的组合情况，至多有1人在分数段[120,130）内组合数，按古典概型计算概率． 试题解析：（Ⅰ）[120,130）内的频率为

；?5分

（Ⅱ）由题意，[110,120）分数段的人数为60×0．15＝9（人）．[120,130）分数段的人数为60×0．3＝18（人）．

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120）分数段内抽取2人，并分别记为、； 在[120,130）分数段内抽取4人，并分别记为、、、；

设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130）内”为事件A，则基本事件共有

共15种．

则事件A包含的基本事件有

共9种． ∴

．

，，

考点：1．频率分布直方图的应用；2．分层抽样；3．古典概型．

20. 如图为一简单组合体，其底面

为正方形，

- 10 -

平面，，且

，为线段

（Ⅰ）证明：（Ⅱ）求三棱锥

； 的体积．

的中点．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ） 要证线线垂直，一般先证线面垂直，注意到虑证明质上是换底，即

试题解析：（Ⅰ）连结∴又∴∴四边形∴又∵∴∵（Ⅱ）∵∴平面∵∴三棱锥

, 即平面, , ∴

平面平面

, ， 平面

. 的体积

，

平面

，

平面

,

且且且

为平行四边形，

． ,

面

,

与

与平面与

平行（或其内一条直线平行），由于是

底面

，考中点（实

中点，因此取

的交点），可证是平行四边形，结论得证；（Ⅱ）求三棱锥的体积，采用

就是三棱锥

的高，从而易得体积． ， ∵为线段

的中点，

，由已知可证

交于点，则为的中点，连结

，平面平面

- 11 -

考点：线面垂直的判定与性质，三棱锥的体积． 21. 已知椭圆：

在椭圆上，半径为2，直线 （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）试问：【答案】（1）

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. （2）

焦点在轴上，

，离心率

的短轴长为与直线

，离心率为，圆的圆心

为圆的两条切线.

【解析】试题分析：（1）由椭圆

，则

，圆的方程为

，即可求得椭圆的标准方程；（2）设，由直线

与圆为方程

，由在椭圆

相切，根据点到直线的距离公式可得

，的两个根，由韦达定理可知：

上即可求得试题解析：（1）由∵

，∴

.

得：，解得：

相切，∴

， ，

为方程，又∵

在椭圆

的两个根 上，∴

，∵

，∴，

，

∴椭圆的标准方程为：（2）因为直线整理得：同理可得：所以，∴

与圆

∴，故是定值为

- 12 -

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 22. 已知二次函数 （Ⅰ）若函数在区间 （Ⅱ）问：是否存在常数

．（说明：对于区间【答案】（1）

，称

上存在零点，求实数的取值范围；

，当

时，

的值域为区间，且的长度为

为区间长度）

，

，

满足题意. 上单调减，要使函数在； (2)当

（2）存在常数

【解析】试题分析：(1) 先由函数对称轴为

存在零点，则需满足

得函数在，解得

时，的值域为，由，得合题意；当

时，的值域为，由

，用上面的方法得

或

，得不合题意；当合题意. 的对称轴是

时，

的值域为

试题解析：⑴ ∵二次函数∴函数∴要函数即解得

，所以

.

在区间在区间

上单调递减 上存在零点须满足

- 13 -

⑵ 当时，即时，的值域为：，即

∴∴经检验

∴

不合题意，舍去。

当∴经检验当∴∴经检验

或

时，即时，, ∴

的值域为：，即

不合题意，舍去。 时，

的值域为：

，即

∴或，当

或

满足题意。

时，

的值域为区间，且的长度为

.

所以存在常数

考点：零点存在性定理、二次函数的单调性、二次函数值域、分类讨论思想.

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