2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)

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2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)

一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)

1.(5分)已知集合A={x|﹣1<x≤2,x∈N},B={2,3},则A∩B=( ) A.{0,1,2,3} B.{2} C.{﹣1,0,1,2} D.? 2.(5分)“x>0”是“x+1>0”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

)=,则tanα的值为( ) D.﹣3

3.(5分)已知tan(A.

B. C.3

4.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( ) A.4

B.5

C.6

D.7

5.(5分)定义在R上的函数f(x)=﹣x3+m与函数g(x)=f(x)﹣kx在[﹣1,1]上具有相同的单调性,则k的取值范围是( ) A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,﹣3]

C.[﹣3,+∞)

D.[0,+∞)

6.(5分)函数y=xln|x|的大致图象是( )

A. B. C.

D.

7.(5分)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是( )

A.α∥β,a?α,则a∥β

B.a?α,b?β,α∥β,则a∥b

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C.a?α,b?α,a∥β,b∥β,则α∥β D.a∥b,b?α,则a∥α 8.(5分)已知函数y=sin(2x+φ)在x=的图象( ) A.关于点(C.关于直线x=

,0)对称 B.关于点(对称 D.关于直线x=

,0)对称 对称

,它的顶点和底面的圆周都在

处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)

9.(5分)已知圆锥的高为5,底面圆的半径为同一个球的球面上,则该球的表面积为( ) A.4π B.36π C.48π D.24π 10.(5分)已知函数f(x)=x(2x围是( ) A.(

) B.(

) C.(

),若f(x﹣1)>f(x),则x的取值范

) D.()

11.(5分)已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为( )

A. B. C. D.

12.(5分)函数f(x)=x﹣ln(x+2)+ex﹣a+4ea﹣x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0使f(x0)=3成立,则实数a的值为( ) A.ln2 B.ln2﹣1 C.﹣ln2

二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分) 13.(5分)已知sinα+cosα=,则sinαcosα= .

D.﹣ln2﹣1

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14.(5分)设函数f(x)=,若f(a)=9,则a的值 .

15.(5分)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30°,行驶300m后到达B处,此时测得点C在点B的正北方向上,且测得点D的仰角为45°,则此山的高CD= m.

16.(5分)一个长,宽,高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体,如果任意转动该长方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是 .

三、解答题(共5小题,满分60分)

17.(12分)已知函数f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为(1)求a的值;

(2)求f(x)≥0使成立的x的集合. 18.(12分)设f(x)=aex﹣cosx,其中a∈R.

(1)求证:曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线过定点; (2)若函数f(x)在(0,

)上存在极值,求实数a的取值范围.

19.(12分)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA=2sin(A+B),它的面积S=(1)求sinB的值;

(2)若D是BC边上的一点,cos

,求

的值.

c2.

20.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,

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AD=SD,BC=CD=,侧面SAD⊥底面ABCD.

(1)求证:平面SBD⊥平面SAD;

(2)若∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为

,求侧面△SAB的面积.

21.(12分)已知函数f(x)=﹣ax+alnx.

(Ⅰ)当a<0时,论f(x)的单调性; (Ⅱ)当a=1时.若方程f(x)=x1<x2.证明x1<

请考生在22.23题中任选一题作答,[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为极坐标方程为ρ=4acosθ(a>0). (1)设t为参数,若y=﹣2

,求直线l参数方程;

),且|PQ|2=|MP|?|MQ|,

=3,曲线C的

+m(m<﹣2)有两个相异实根x1,x2,且

(2)已知直线l与曲线C交于P,Q,设M(0,求实数a的值.

[选修4-5:不等式选讲]

23.已知函数f(x)=|a﹣3x|﹣|2+x|. (1)若a=2,解不等式f(x)≤3;

(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≤1﹣a﹣4|2+x|成立,求实数a的取值范围.

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2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)

1.(5分)已知集合A={x|﹣1<x≤2,x∈N},B={2,3},则A∩B=( ) A.{0,1,2,3} B.{2} C.{﹣1,0,1,2} D.?

【解答】解:∵集合A={x|﹣1<x≤2,x∈N}={0,1,2},B={2,3}, ∴A∩B={2}. 故选:B.

2.(5分)“x>0”是“x+1>0”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解:“x+1>0”?“x>﹣1”, 故“x>0”是“x+1>0”的充分不必要条件, 故选:B.

3.(5分)已知tan(A.

B. C.3

)=,则tanα的值为( ) D.﹣3

【解答】解:由tan()=,得,

∴故选:A.

,解得tanα=.

4.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )

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A.4 B.5 C.6 D.7

【解答】解:由右边的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中, 直线CD,C1D1,C1C,D1D,B1C1,AD, 共有6条直线与直线BA1是异面直线, 故选:C.

5.(5分)定义在R上的函数f(x)=﹣x3+m与函数g(x)=f(x)﹣kx在[﹣1,1]上具有相同的单调性,则k的取值范围是( ) A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,﹣3]

C.[﹣3,+∞)

D.[0,+∞)

【解答】解:f′(x)=﹣3x2≤0在[﹣1,1]恒成立,故f(x)在[﹣1,1]递减, 结合题意g(x)=﹣x3+m﹣kx在[﹣1,1]递减, 故g′(x)=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1,1]恒成立, 故k≥﹣3x2在[﹣1,1]恒成立,故k≥0, 故选:D.

6.(5分)函数y=xln|x|的大致图象是( )

A. B. C.

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D.

【解答】解:令f(x)=xln|x|,易知f(﹣x)=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f(x),所以该函数是奇函数,排除选项B;

又x>0时,f(x)=xlnx,容易判断,当x→+∞时,xlnx→+∞,排除D选项; 令f(x)=0,得xlnx=0,所以x=1,即x>0时,函数图象与x轴只有一个交点,所以C选项满足题意. 故选:C.

7.(5分)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是( )

A.α∥β,a?α,则a∥β

B.a?α,b?β,α∥β,则a∥b

C.a?α,b?α,a∥β,b∥β,则α∥β D.a∥b,b?α,则a∥α 【解答】解:由a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,知:

在A中,α∥β,a?α,则由直线与平面平行的判定定理得a∥β,故A正确;在B中,a?α,b?β,α∥β,则a与b平行或异面,故B错误;

在C中,a?α,b?α,a∥β,b∥β,则α与β相交或平行,故C错误; 在D中,a∥b,b?α,则a∥α或a?α,故D错误.故选:A.

8.(5分)已知函数y=sin(2x+φ)在x=的图象( ) A.关于点(C.关于直线x=

,0)对称 B.关于点(对称 D.关于直线x=

,0)对称 对称

处取得最大值,∴sin(

+φ)=1,

处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)

【解答】解:∵函数y=sin(2x+φ)在x=∴cos(

+φ)=0,∴函数y=cos(2x+φ)的图象关于点(,0)对称,

故选:A.

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9.(5分)已知圆锥的高为5,底面圆的半径为同一个球的球面上,则该球的表面积为( ) A.4π B.36π C.48π D.24π 【解答】解:设球的半径为R, 则∵圆锥的高h=5,底面圆的半径r=

,它的顶点和底面的圆周都在

∴R2=(R﹣h)2+r2,即R2=(R﹣5)2+5, 解得:R=3,

故该球的表面积S=4πR2=36π, 故选:B.

10.(5分)已知函数f(x)=x(2x围是( ) A.(

) B.(

) C.(

) D.(

),若f(x﹣1)>f(x),则x的取值范

【解答】解:x>0时,f(x)在(0,+∞)递增, 而f(﹣x)=f(x),f(x)是偶函数, 故f(x)在(﹣∞,0)递减, 若f(x﹣1)>f(x),

则|x﹣1|>|x|,即(x﹣1)2>x2, 解得:x<, 故选:A.

11.(5分)已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为( )

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A. B. C. D.

【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体, 三棱锥的长宽高分别为:2,1,2,故体积为:, 半圆柱的底面半径为1,高为2,故体积为:π, 故组合体的体积V=+π, 故选:D.

12.(5分)函数f(x)=x﹣ln(x+2)+ex﹣a+4ea﹣x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0使f(x0)=3成立,则实数a的值为( ) A.ln2 B.ln2﹣1 C.﹣ln2

D.﹣ln2﹣1

【解答】解:令f(x)=x﹣ln(x+2)+ex﹣a+4ea﹣x, 令g(x)=x﹣ln(x+2),g′(x)=1﹣

=

故g(x)=x﹣ln(x+2)在(﹣2,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数, 故当x=﹣1时,g(x)有最小值﹣1﹣0=﹣1, 而ex﹣a+4ea﹣x≥4,

(当且仅当exa=4eax,即x=a+ln2时,等号成立);

故f(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立); 故x=a+ln2=﹣1, 即a=﹣1﹣ln2. 故选:D.

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二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分) 13.(5分)已知sinα+cosα=,则sinαcosα= ﹣ . 【解答】解:∵sinα+cosα=, ∴(sinα+cosα)2=, ∴1+2sinαcosα=, 解得sinαcosα=﹣, 故答案为:﹣.

14.(5分)设函数f(x)=

,若f(a)=9,则a的值 3 .

【解答】解:若a>2,由f(a)=9,得2a+1=9,得a=3, 若0<a≤2,由f(a)=9,得log2a+4=9,得a=32,舍去. 综上a=3, 故答案为:3.

15.(5分)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30°,行驶300m后到达B处,此时测得点C在点B的正北方向上,且测得点D的仰角为45°,则此山的高CD= 150m.

【解答】解:设此山高h(m),由题意在点A处时测得点D的仰角为30°,得AC=

h,

在△ABC中,∠CBA=90°,测得点D的仰角为45°, ∴BC=h,AB=300.

根据勾股定理得,3h2=h2+90000,

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∴h=150即CD=150

. m.

故答案为:150

16.(5分)一个长,宽,高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体,如果任意转动该长方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是 (1,5) .

【解答】解:长方体ABCD﹣EFGH,若要使液面不为三角形, 则液面必须高于平面EHD,且低于平面AFC;

而当平面EHD平行水平面放置时,若满足上述条件,则任意转动该长方体, 液面的形状都不可能是三角形;

所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积,

并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=, 又长方体体积为1×2×3=6,

所以液体体积取值范围是×6<V液体<×6,即1<V液体<5. 故答案为:(1,5).

三、解答题(共5小题,满分60分)

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17.(12分)已知函数f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为(1)求a的值;

(2)求f(x)≥0使成立的x的集合. 【解答】解:(1)∵f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a==∴∴a=;

(2)由(1)知,f(x)=由f(x)≥0,得即∴

≥0,

,k∈Z. ,k∈Z.

],k∈Z.

=, ,

∴f(x)≥0成立的x的集合为[

18.(12分)设f(x)=aex﹣cosx,其中a∈R.

(1)求证:曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线过定点; (2)若函数f(x)在(0,

)上存在极值,求实数a的取值范围.

【解答】解:(1)设f(x)=aex﹣cosx,其中a∈R.可得f′(x)=aex+sinx,f′(0)=a,

f(0)=a﹣1,

曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为:y﹣(a﹣1)=ax,即a(x+1)﹣(y+1)=0,

切线恒过(﹣1,﹣1)点.

(2)由(1)可知:f′(x)=aex+sinx=0,函数f(x)在(0,说明方程有解, 可得a=

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)上存在极值,

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令h(x)=h′(x)=当x∈(0,当x∈(

,x∈(0,

),

)时,h′(x)<0,函数是减函数, )时,h′(x)>0,函数是增函数,

函数的最小值为:=,函数的最大值为:x=0时的函数值,即:h(0)

=0.

所以实数a的取值范围:[

19.(12分)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA=2sin(A+B),它的面积S=(1)求sinB的值;

(2)若D是BC边上的一点,cos

,求

的值.

c2.

,0).

【解答】解:(1)∵sinA=2sin(A+B), ∴sinA=2sinC,a=2c, ∴S=sinB?c?2c=故sinB=

,cos,

c2,

(2)由(1)sinB=∴cosB=

,sin∠ADB=

∴sin∠BAD =sin(B+∠ADB)

=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB

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==由得:

×+,

==

×

,解得:BD=c,

=3.

20.(12分)如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=

,侧面SAD⊥底面ABCD.

(1)求证:平面SBD⊥平面SAD;

(2)若∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为

,求侧面△SAB的面积.

【解答】(1)证明:在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,BC=CD=设BC=a,则CD=a,AB=2a,在直角三角形BCD中,∠BCD=90°, 可得BD=

a,∠CBD=45°,∠ABD=45°,

=

a,

由余弦定理可得AD=则BD⊥AD,

由面SAD⊥底面ABCD.可得BD⊥平面SAD, 又BD?平面SBD,可得平面SBD⊥平面SAD;

(2)解:∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为由AD=SD=

a,

a,

a,

在△SAD中,可得SA=2SDsin60°=△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=

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由SH⊥平面BCD,可得 ×

a××a2=

解得a=1,

由BD⊥平面SAD,可得BD⊥SD, SB=又AB=2a,

在等腰三角形SBA中, 边SA上的高为

=

a, a=

a=

=

=2a,

则△SAB的面积为×SA×

21.(12分)已知函数f(x)=

﹣ax+alnx.

(Ⅰ)当a<0时,论f(x)的单调性; (Ⅱ)当a=1时.若方程f(x)=x1<x2.证明x1<

﹣ax+alnx(a>0)的定义域为(0,+∞) +m(m<﹣2)有两个相异实根x1,x2,且

【解答】(Ⅰ)解:函数f(x)=f′(x)=x﹣a+=

,(a<0),△=a2﹣4a.

<0,

>0

当a<0时,△>0,f′(x)=0的根

x∈(0,x2)时,f′(x)<0,x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,x2)递减,(x2,+∞)上单调递增, (Ⅱ)证明:当a=1时,若方程f(x)=x2

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+m(m<﹣2)有两个相异实根x1,

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?方程lnx﹣x﹣m=0(m<﹣2)有两个相异实根x1,x2. 令g(x)=lnx﹣x﹣m,定义域为(0,+∞),g′(x)=﹣1 令g′(x)<0得x>1,令g′(x)>0得0<x<1

所以函数g(x)=lnx﹣x﹣m的单调减区间是(1,+∞),单调递增区间(0,1), 又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0, 由题意可知lnx2﹣x2=m<﹣2<ln2﹣2,

又可知g(x)=lnx﹣x﹣m在(1,+∞)递减,故x2>2, 令h(x)=g(x)﹣g(h(x)=g(x)﹣g(h′(x)=﹣

),(x>2), )=)=﹣x+,

+3lnx﹣ln2(x>2),

当x>2时,h′(x)<0,h(x)是减函数,所以h(x)<h(2)=2ln2﹣<0. 所以当x2>2 时,g(x2)﹣g(

)<0,即g(x1)<g(

),

因为g(x)在(0,1)上单调递增, 所以x1<

请考生在22.23题中任选一题作答,[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.(10分)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为极坐标方程为ρ=4acosθ(a>0). (1)设t为参数,若y=﹣2

,求直线l参数方程;

),且|PQ|2=|MP|?|MQ|,

=3,曲线C的

(2)已知直线l与曲线C交于P,Q,设M(0,求实数a的值. 【解答】解:(1)由

直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣

=3,即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3,

y﹣6=0.

ρsinθ=3,化为直角坐标方程:x﹣

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∵y=﹣2+t,∴x=y+6=t,

∴直线l的参数方程为:(t为参数).

(2)曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ,∴ρ2=4aρcosθ,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0.

将(1)中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0,并整理得:t2﹣2又△=12(1+a)2﹣4×12=12(a2+2a﹣3)>0,解得:a>1, 设P、Q对应参数分别为t1,t2,则t1+t2=2

(1+a),t1?t2=12,

(1+a)t+12=0,

由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=(t1+t2)2﹣4t1?t2=12(1+a)2﹣4×12, |MP|?|MQ|=|t1|?|t2|=|t1t2|=12, 所以12(1+a)2﹣4×12=12,解得:a=∴实数a的值

[选修4-5:不等式选讲]

23.已知函数f(x)=|a﹣3x|﹣|2+x|. (1)若a=2,解不等式f(x)≤3;

(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≤1﹣a﹣4|2+x|成立,求实数a的取值范围.

【解答】解:(1)a=2时:f(x)=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3, 可得

﹣1.

﹣1,

解得:﹣≤x≤;

故不等式的解集是[﹣,];

(2)不等式f(x)≤1﹣a﹣4|2+x|成立, 即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a, 由绝对值不等式的性质可得:

||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|(3x﹣a)﹣(3x+6)|=|a+6|, 即有f(x)的最大值为|a+6|,

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解得:a≥﹣.

或,

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/6m.html

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