2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)

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2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，B={2，3}，则A∩B=（ ） A．{0，1，2，3} B．{2} C．{﹣1，0，1，2} D．? 2．（5分）“x＞0”是“x+1＞0”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

）=，则tanα的值为（ ） D．﹣3

3．（5分）已知tan（A．

B． C．3

4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

5．（5分）定义在R上的函数f（x）=﹣x3+m与函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣3]

C．[﹣3，+∞）

D．[0，+∞）

6．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（ ）

A． B． C．

D．

7．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）

A．α∥β，a?α，则a∥β

B．a?α，b?β，α∥β，则a∥b

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C．a?α，b?α，a∥β，b∥β，则α∥β D．a∥b，b?α，则a∥α 8．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=的图象（ ） A．关于点（C．关于直线x=

，0）对称 B．关于点（对称 D．关于直线x=

，0）对称 对称

，它的顶点和底面的圆周都在

处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）

9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A．4π B．36π C．48π D．24π 10．（5分）已知函数f（x）=x（2x围是（ ） A．（

） B．（

） C．（

），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范

） D．（）

11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（ ） A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα= ．

D．﹣ln2﹣1

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14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值 ．

15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD= m．

16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为（1）求a的值；

（2）求f（x）≥0使成立的x的集合． 18．（12分）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．

（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点； （2）若函数f（x）在（0，

）上存在极值，求实数a的取值范围．

．

19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=（1）求sinB的值；

（2）若D是BC边上的一点，cos

，求

的值．

c2．

20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，

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AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．

（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为

，求侧面△SAB的面积．

21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx．

（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性； （Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=x1＜x2．证明x1＜

请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）． （1）设t为参数，若y=﹣2

，求直线l参数方程；

），且|PQ|2=|MP|?|MQ|，

=3，曲线C的

．

+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且

（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，求实数a的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|． （1）若a=2，解不等式f（x）≤3；

（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．

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2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，B={2，3}，则A∩B=（ ） A．{0，1，2，3} B．{2} C．{﹣1，0，1，2} D．?

【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，B={2，3}， ∴A∩B={2}． 故选：B．

2．（5分）“x＞0”是“x+1＞0”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解答】解：“x+1＞0”?“x＞﹣1”， 故“x＞0”是“x+1＞0”的充分不必要条件， 故选：B．

3．（5分）已知tan（A．

B． C．3

）=，则tanα的值为（ ） D．﹣3

【解答】解：由tan（）=，得，

∴故选：A．

，解得tanα=．

4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（ ）

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A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：由右边的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 直线CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD， 共有6条直线与直线BA1是异面直线， 故选：C．

5．（5分）定义在R上的函数f（x）=﹣x3+m与函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣3]

C．[﹣3，+∞）

D．[0，+∞）

【解答】解：f′（x）=﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f（x）在[﹣1，1]递减， 结合题意g（x）=﹣x3+m﹣kx在[﹣1，1]递减， 故g′（x）=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1，1]恒成立， 故k≥﹣3x2在[﹣1，1]恒成立，故k≥0， 故选：D．

6．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（ ）

A． B． C．

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D．

【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；

又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项； 令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意． 故选：C．

7．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）

A．α∥β，a?α，则a∥β

B．a?α，b?β，α∥β，则a∥b

C．a?α，b?α，a∥β，b∥β，则α∥β D．a∥b，b?α，则a∥α 【解答】解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：

在A中，α∥β，a?α，则由直线与平面平行的判定定理得a∥β，故A正确；在B中，a?α，b?β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；

在C中，a?α，b?α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误； 在D中，a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故D错误．故选：A．

8．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=的图象（ ） A．关于点（C．关于直线x=

，0）对称 B．关于点（对称 D．关于直线x=

，0）对称 对称

处取得最大值，∴sin（

+φ）=1，

处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）

【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=∴cos（

+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，

故选：A．

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9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A．4π B．36π C．48π D．24π 【解答】解：设球的半径为R， 则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=

，

，它的顶点和底面的圆周都在

∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5， 解得：R=3，

故该球的表面积S=4πR2=36π， 故选：B．

10．（5分）已知函数f（x）=x（2x围是（ ） A．（

） B．（

） C．（

） D．（

）

），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范

【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增， 而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数， 故f（x）在（﹣∞，0）递减， 若f（x﹣1）＞f（x），

则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2， 解得：x＜， 故选：A．

11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）

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A． B． C． D．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体， 三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：， 半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π， 故组合体的体积V=+π， 故选：D．

12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（ ） A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2

D．﹣ln2﹣1

【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x， 令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣

=

，

故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1， 而ex﹣a+4ea﹣x≥4，

（当且仅当exa=4eax，即x=a+ln2时，等号成立）；

﹣

﹣

故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln2=﹣1， 即a=﹣1﹣ln2． 故选：D．

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二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα= ﹣ ． 【解答】解：∵sinα+cosα=， ∴（sinα+cosα）2=， ∴1+2sinαcosα=， 解得sinαcosα=﹣， 故答案为：﹣．

14．（5分）设函数f（x）=

，若f（a）=9，则a的值 3 ．

【解答】解：若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3， 若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去． 综上a=3， 故答案为：3．

15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD= 150m．

【解答】解：设此山高h（m），由题意在点A处时测得点D的仰角为30°，得AC=

h，

在△ABC中，∠CBA=90°，测得点D的仰角为45°， ∴BC=h，AB=300．

根据勾股定理得，3h2=h2+90000，

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∴h=150即CD=150

． m．

．

故答案为：150

16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 （1，5） ．

【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；

而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形；

所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，

并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=， 又长方体体积为1×2×3=6，

所以液体体积取值范围是×6＜V液体＜×6，即1＜V液体＜5． 故答案为：（1，5）．

三、解答题（共5小题，满分60分）

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17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为（1）求a的值；

（2）求f（x）≥0使成立的x的集合． 【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a==∴∴a=；

（2）由（1）知，f（x）=由f（x）≥0，得即∴

≥0，

，k∈Z． ，k∈Z．

]，k∈Z．

，

=， ，

．

∴f（x）≥0成立的x的集合为[

18．（12分）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．

（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点； （2）若函数f（x）在（0，

）上存在极值，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）设f（x）=aex﹣cosx，其中a∈R．可得f′（x）=aex+sinx，f′（0）=a，

f（0）=a﹣1，

曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（a﹣1）=ax，即a（x+1）﹣（y+1）=0，

切线恒过（﹣1，﹣1）点．

（2）由（1）可知：f′（x）=aex+sinx=0，函数f（x）在（0，说明方程有解， 可得a=

，

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）上存在极值，

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令h（x）=h′（x）=当x∈（0，当x∈（

，

，

，x∈（0，

），

）时，h′（x）＜0，函数是减函数， ）时，h′（x）＞0，函数是增函数，

函数的最小值为：=，函数的最大值为：x=0时的函数值，即：h（0）

=0．

所以实数a的取值范围：[

19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=（1）求sinB的值；

（2）若D是BC边上的一点，cos

，求

的值．

c2．

，0）．

【解答】解：（1）∵sinA=2sin（A+B）， ∴sinA=2sinC，a=2c， ∴S=sinB?c?2c=故sinB=

；

，cos，

，

c2，

（2）由（1）sinB=∴cosB=

，sin∠ADB=

∴sin∠BAD =sin（B+∠ADB）

=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB

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==由得：

×+，

==

×

，

，解得：BD=c，

故

=3．

20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=

，侧面SAD⊥底面ABCD．

（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为

，求侧面△SAB的面积．

【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=

a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，

=

a，

，

由余弦定理可得AD=则BD⊥AD，

由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；

（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为由AD=SD=

a，

a，

a，

，

在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=

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由SH⊥平面BCD，可得 ×

a××a2=

，

解得a=1，

由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB=又AB=2a，

在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为

=

a， a=

a=

．

=

=2a，

则△SAB的面积为×SA×

21．（12分）已知函数f（x）=

﹣ax+alnx．

（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性； （Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=x1＜x2．证明x1＜

．

﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞） +m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且

【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=f′（x）=x﹣a+=

，（a＜0），△=a2﹣4a．

＜0，

＞0

当a＜0时，△＞0，f′（x）=0的根

x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，x2）递减，（x2，+∞）上单调递增， （Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=x2

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+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，

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?方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2． 令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1 令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1

所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）， 又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0， 由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，

又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2， 令h（x）=g（x）﹣g（h（x）=g（x）﹣g（h′（x）=﹣

），（x＞2）， ）=）=﹣x+，

+3lnx﹣ln2（x＞2），

当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0． 所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（

）＜0，即g（x1）＜g（

），

因为g（x）在（0，1）上单调递增， 所以x1＜

请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）． （1）设t为参数，若y=﹣2

，求直线l参数方程；

），且|PQ|2=|MP|?|MQ|，

=3，曲线C的

，

（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，求实数a的值． 【解答】解：（1）由

直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣

=3，即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3，

y﹣6=0．

ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x﹣

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∵y=﹣2+t，∴x=y+6=t，

∴直线l的参数方程为：（t为参数）．

（2）曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0．

将（1）中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0，并整理得：t2﹣2又△=12（1+a）2﹣4×12=12（a2+2a﹣3）＞0，解得：a＞1， 设P、Q对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=2

（1+a），t1?t2=12，

（1+a）t+12=0，

由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=（t1+t2）2﹣4t1?t2=12（1+a）2﹣4×12， |MP|?|MQ|=|t1|?|t2|=|t1t2|=12， 所以12（1+a）2﹣4×12=12，解得：a=∴实数a的值

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|． （1）若a=2，解不等式f（x）≤3；

（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3， 可得

或

或

，

﹣1．

﹣1，

解得：﹣≤x≤；

故不等式的解集是[﹣，]；

（2）不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立， 即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a， 由绝对值不等式的性质可得：

||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|， 即有f（x）的最大值为|a+6|，

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∴

解得：a≥﹣．

或，

第18页（共18页）

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