线性代数公式大全 - 最新修订（突击必备）

线性代数公式大全

1、行列式

1. n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A和a的大小无关；

2nijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：M?(?1)A4. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

i?jijijAij?(?1)i?jMij

②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2n(n?1)2；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)A⑤、拉普拉斯展开式：C；

AOA??(?1)m?nABOBCOAC??ABBOB、CB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

5. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A????(?1)nk?1nkSk?n?k，其中S为k阶主子式；

k6. 证明A?0的方法： ①、A??A； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

?A?0（是非奇异矩阵）； ?r(A)?n（是满秩矩阵）

?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解；

??b?Rn，Ax?b总有唯一解；

1

?A与E等价；

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为?ATA是正定矩阵；

?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

0；

2. 对于n阶矩阵A：AA?AA?AE 无条件恒成立； 3. (A)?(A)(A)?(A)(A)?(A)

(AB)?BA(AB)?BA(AB)?BA

**?1**?1?1T*T?1**TT*?1TTT*?1?14. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

?A1?若A?????A2???，则： ???As?Ⅰ、A?A1A2?As?1A2；

???； ???As?1??O??；（主对角分块） B?1?B?1??；（副对角分块） O??A1?1?Ⅱ、A?1???????1?A?1?AO?②、?????OB??OOA??O③、????1???BO??A?1?A?1?AC?④、????OB???O?1?1?A?1CB?1??；（拉普拉斯） B?1?O??；（拉普拉斯） B?1??A?1?AO?⑤、?????1?1CB????BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：?EO?F???； OOr??m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2. 行最简形矩阵：

2

①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、 若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且X?A；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：

r?1?1?1(A,B?)??(E,AB；)

c③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?Ab；

?1r4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

??1?②、?????????，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列ii????n??2元素；

③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)④、倍乘某行或某列，符号

?1?1?1?????k?????1??????1?E(i,j)?1??1????，例如：? ?1???1?；??1?1?????1E(i(k?)?)?1E(i(k))，且

1，)例E(i()k如：

1k???(k?0；) ?1??E(ij(k))⑤、倍加某行或某列，符号

k??k??1?1????1?1????(k?0)； ??1?1??????1,且

E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：

5. 矩阵秩的基本性质： ①、0?r(A)?min(m,n)；

m?n②、r(AT)?r(A)；

③、若A?B，则r(A)?r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

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⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

?1ac??01b②、型如???的矩阵：利用二项展开式； ?001???

二项展开式：(a?b)nn?Ca?Cab???Ca0nn1nn?11mnn?mb???Cmn?11n?1nabmmn?m?Cb??Cnab； nnnm?0n注：Ⅰ、(a?b)展开后有n?1项；

mnⅡ、C?n(n?1)??(n?m?1)n!?1?2?3???mm!(n?m)!mn0nCn?Cn?1

Ⅲ、组合的性质：C?Cn?mnCmn?1?C?Cmnm?1n ?Cr?0nrn?2nrr?1； rCn?nCn?1③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：

?n①、伴随矩阵的秩：r(A*)???1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值：③、A*A???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X)；

?AA?1、A*?An?1

8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话） ②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程；

4

10. 线性方程组Ax?b的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????ax?ax???ax?b???2112222nn2①、?； ???????????????am1x1?am2x2???anmxn?bn?a11?a21②、?????am1a12a22?am2?a1n??x1??b1???????a2n??x2??b2???Ax?b（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，

???????????????amn??xm??bm?n个未知数）

?x1???x?an??2?????????xn??b1???b2?（全部按列分块，其中???）； ??????bn?③、?a1a2④、ax11?a2x2???anxn??（线性表出）

4、向量组的线性相关性

⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数） 1.

m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)； ??1T??T??TTTm个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??2?； ??????T???m?含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；（矩阵方程）

3. 矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14)

4. r(AA)?r(A)；(P101例15)

5. n维向量线性相关的几何意义： ①、?线性相关 ???0；

m?nl?nT②、?,?线性相关

??,?坐标成比例或共线（平行）；

③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；

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6. 线性相关与无关的两套定理：

若?,?,?,?线性相关，则?,?,?,?,?必线性相关；

12s12ss?1若?,?12,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，

二者为对偶）

若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s(二版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示

?AX?B有解；

?r(A)?r(A,B)（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)（P85定理2推论） 8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P,P,?,P，使A?PP?P；

①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解 ②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵A与B：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若AB?C，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解； ②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解；

12. 设向量组B:b,b,?,b可由向量组A:a,a,?,a线性表示为：（P110题19结论）

(b,b,?,b)?(a,a,?,a)K（B?AK）

其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量

12l12lrcm?nl?nm?ss?nm?nTn?r12rn?s12s12r12s6

组具有相同线性相关性）

（必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）

注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵A，存在Q，AQ?E ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；（P87） ②、对矩阵A，存在P，PA?E ?r(A)?n、P的行向量线性无关； 14. ?,?,?,?线性相关

?存在一组不全为0的数k,k,?,k，使得k??k????k??0成立；（定义）

m?nn?mmm?nn?mn12s12s1122ss?x1???x?(?1,?2,?,?s)?2??0有非零解，即Ax?0有非零解； ??????xs??r(?1,?2,?,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：

r(S)?n?r；

16. 若?为Ax?b的一个解，?,?,?,?为Ax?0的一个基础解系，则?,?,?,?,?线性无关；（P111题33结论）

5、相似矩阵和二次型

**12n?r12n?r1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：

Ti①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即a?1T?1aj???0i?j(i,j?1,2,?n)； i?j②、若A为正交矩阵，则A?A也为正交阵，且A??1；

③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a,a,?,a)

b?a；

12r11b2?a2?[b1,a2]?b1 [b1,b1]

???

br?ar?[b1,ar][b,a][b,a]?b1?2r?b2???r?1r?br?1; [b1,b1][b2,b2][br?1,br?1]3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 ?CAC?B，其中可逆；

?xAx与xBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?PAP?B；

TTT?17

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CAC?B?A?B，（合同、相似的约束条件不同，相似T的更严格）；

6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xTAx为正定：

?A的正惯性指数为n；

?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数； ?A的各阶顺序主子式均大于0； ?aii?0,A?0；(必要条件)

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