第一章 希尔伯特空间

高等量子力学 第一章 希尔伯特空间

高等量子力学主讲人：顾运厅参考教材：《高等量子力学》(第二版),喀兴林，高等教育出版社

高等量子力学 第一章 希尔伯特空间

第一章 希尔伯特空间本章讨论量子力学的主要数学工具——希尔伯特空间，即 满足一定要求的多维矢量空间。 主要内容： §1 矢量空间 §2 算符 §3 本征矢量和本征值 §4 表象理论 §5 矢量空间的直和与直积

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§1 矢量空间主要内容：§1-1 定义 §1-2 正交性和模 §1-3 基矢 §1-4 子空间 §1-5 右矢和左矢

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§1-1 矢量空间的定义我们讨论的对象是很广泛的，可以是实数或复数，可以是 有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东 西。我们把这些通称之为数学对象。 同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时，就构 成一个矢量空间；每一个对象称为空间的一个元，或称为矢量。

我们考虑无穷多个同类的数学对象的集合 , , ,... ,在它们之间规定加法、数乘和内积三种运算。加法 集合中任意两个矢量相加，都能得到集合中一 矢量。即规定一种加法规则，使得集合中任意给定两个矢 量 和 ,总有一个确定的矢量 与之对应，记成

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加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件：条件(1) (交换律)

条件(2) ( ) ( )

(结合律)

条件(3)集合中有零矢量 存在，对任意矢量 满足

(加法单位元存在)

条件(4)对集合中任意矢量 ,都有矢量 存在，满足 (加法逆元存在)

我们把满足条件(4)的 记为同时把 ( ) 记为

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数乘

集合内任意一矢量可以与数(实数或复数)相乘，

得出集合内另一矢量。 即规定一种数乘规则， 使任意矢量 和一个数 a,在集合内总有一个矢量 与之对应，记为

a a

称为 与 的乘积。 数乘要满足下列四个条件：条件(5) 1 :

条件(6) ( a)b (ab) :

(结合律)

条件(7) (a b) a b :

(第一分配律)

条件(8) ( )a a a :

(第二分配律)

α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。

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内积

两个矢量可以作内积，得出一个数。即规定一种内积规则，

按一定次序任取两个矢量 与 ,总有一个数 c 与之相对应，记作

( , ) c在实数域(复数域)上的矢量空间中的内积，所得的也是 实数(复数)。内积与两个因子的次序有关，内积规则要满足 下列四个条件：条件(9) ( , ) (

, )* : ( c * 表示 c 的复共轭)(分配律)

条件(10)( , )=( , )+ ( , ) :条件(11) , , :

( , ) * ( , )

条件(12) ( , ) 0 对任意 成立；若 ( , ) 0 ,则必有 ：

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具有加法与数乘两种运算并满足条件(1)~(8)的集 合称为矢量空间或线性空间。具有加法，数乘和内积三种运 算的空间称为内积空间， 而完全的内积空间称为希尔伯特空 间。 在本章中， 矢量空间一词通常指在复数域上的内积空间。

空间的完全性的意义为空间中任何在 Cauchy 意义下 收敛的序列 { 1 , 2 , 3 ,...} 的极限也必须在本空间中。 Cauchy 意义下收敛的意思是：对给定任意小的实数 0 ,有数 N 存在，当 m,n>N 时，有 ( m n , m n) 在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。

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下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 (1)在矢量空间中，零矢量是唯一的。

证明：

设在空间中有 1 和 2 ,对所有矢量 都满足

1 , 2 取第一式的 为 2 ,第二式中的 为 1 ,分别得

2 1 2 , 1 2 1于是，根据条件(1) ,

2 2 1 1 2 1即 1 2 ,只有唯一的零矢量。

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(2)每个矢量的逆元是唯一的。

证明：

若 1 , 2 都是 的逆元，即

1 , 2 于是

1 1 1 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2 2证明了 1 2 ,即逆元是唯一的。在上式中，第一步根据 条件(3) ,第三步根据条件(1) 。

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(3) 0 (4) ( 1) (5) (6)如果 ,那么 0 或者

证明： 0 时上式显然成立；当 0 时，必有 1 1 / 存 在。我们计算 ( ) 1 ,一方面根据(5) ,( ) 1 1

另一方面根据条件(6)和(5) ,有( ) 1 ( 1 ) 1

二式结合，证明了当 0 时，

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(7) ( , ) * ( , ) (8) ( , ) ( , ) ( , ) (9) ( , ) 0

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下面，讨论几个矢量空间的例子。

第一个例子 取数学对象为所有正负有理数和零，规 定加法即为算术中的加法；规定数乘中的数a也限于所 有的有理数，数乘即是算术中的乘法；最后规定内积 为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢 量空间。因为有理数相加和相乘所得的

都是有理数， 这个空间是封闭的，即所得结果仍在空间之中。值得注意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间 之外。例如取以下序列：n 1 1 1 1 s0 1, s1 1 , s2 1 ,..., sn 1! 1! 2! i 0 si !

这个序列的每一项都在我们的空间中，但是当n 的极限是 e=2.7182818…,这是一个无理数，不在有理数空间中。

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第二个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引

出的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中位置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则；数乘

中的数是实数，以a数乘的结果是方向不变，长度乘以a;内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的

内积空间。

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第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数， 可以把它们写成一个一列矩阵： l1 l2 l l 3 l 4

加法，数乘和内积的定义分别为 l1 m1 l2 m2 l m l 3 m3 l m 4 4 l1 l 2 l l 3 l 4

* * * (l , m) l1* m1 l 2 m2 l3 m3 l 4 m4

这是一个复数域上的内积空间。

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第四个例子

数学对象为在 a x b 区间定义的实变

量 x 的“行为较好”的复函数 f (x) 的全体，而且都是平方可 积的。 所谓 “行为较好” 是指满足一定数学要求， 如单值性、 连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法 和数乘都是代数中的相应运算；规定两个函数 f (x) 和 g (x) 的内积为 f ( x), g ( x) ab

f * ( x) g ( x)dx

这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是

b

a

f * ( x) f ( x)dx

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§1-2 正交性和模如果两个矢量 和 的内积为零，即 , ) 0 ,我 ( 们说这两个矢量正交。矢量同它自己的内积 , ) 是一个大于零的实数， ( 称为矢量 的模方，记作( , ) 2

模方的正平方根称为模， 记作 , 又可称为矢量 的长度。 模等于 1 的矢量称为归一化的矢量。下面我们证明两个与模有关的基本关系。

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Schwartz不等式： 对于任意矢量 和 有( , )

(1.1)

证明： 给定 和 后，构造一个矢量 , ( , )

2

作 的模方，它一定大于或等于零：2

( , ) * ( , )

* * ) ) ( , ) , ( ( , ) ( , ( ,( , ) 0 , ) , ), 2 )2 ( , ) ( ( ( 2 2 2 2

* * * ( , )( 2 ( , ) , ( (( 1 ) ( ,

)( , ) , ) , * , ) ) , ) 2 ( ) 0 , ) , 2 , ) , ) 22 ( , ) ( ( ( , ) ( 0 ( ( , ) 2 ( 2 2 2 2 2

2 2

2

1

2

1 2 2 2 , ) 2( , ) ( 2

由于

0 ,所以有 ( , ) 2

2

2

即 ( , )

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三角形不等式： 对于任意 和 ,有

(1.2)

证明：因为对任意复数 a 有 Re a a ,取 的模方，利 用此关系和 Schwartz 不等式，有( , ) Re(, , 2 ( , ) 2 ( , ) ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2

2 2

) 2 Re( , ) 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2

2

2

于是得

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§1-3 基矢1. 线性无关

矢量空间中有限个(n 个)矢量的集合 i ,若下式

ai 1 i

n

i

0

(1.3)

只有当全部复数 ai (i 1,2,3,..., n) 都为零时才成立， 则这 n 个

矢量 i 是线性无关的。对于无穷个矢量的集合，线性无关的定义可以推广为：在 无穷个矢量的集合中，若任意有限的子集合都是线性无关的， 则整个集合就是线性无关的。

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完全集

一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性

无关的矢量集合 i ,这个空间中的每个矢量都能表为完 全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成

ai i

i

的形式，其中 ai 是一组复数。如果一个空间中有一个线性无关的矢量集 1 , 2 ,... n , 但还不是完全集， 这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量 命名为 n 1 ,加入这个矢量集。这时 1 , 2 ,... n , n 1 ,肯定是 线性无关的，如仍不完全，还可以用同样的方法使这矢量集扩 大，直到成为完全集为止。如果能做到这一点，这个矢量空间 称为有限维的，如果做不到这一点，则空间是无穷维的。

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