02 01数学分析上海交通大学(cui)

上海交通大学 2002年硕士研究生入学考试试题

试题名称：数学分析

一、判断题（以下各题，对的要证明，错的要举反例说明理由）

1．若an?xn?bn,n?N而数列{xn}收敛，bn?an?0(n??)则数列{an},{bn}必都收敛。（6分）

2．若函数f(x)在R上连续且有界，则f(x)在R上必一致连续。6分 3．若函数f(x)恒正连续，且无穷积分???af(x)dx收敛，则必有limf(x)?0。6分

x???4．若函数列?fn(x)? ?gn(x)?均在区间在Ⅰ上一致收敛，则?fn(x),gn(x)?必在Ⅰ上一致收敛。6分

二、设f(x)在?a,???上连续，g(x)在?a,???上一致连续，且lim[f(x)?g(x)]?c证

x??明f(x)在?a,???上一致连续。（10分）

三、设f(x)在

f(x0)?0又limx???R上二次可导，f??(x)?0又存在一点x。使

f'(x)?a?0,limx???f'(x)?b?0，且证f(x)在R上有且仅有两个

零点（10分）

四、设f(x)在R上连续,又?(x)?f(x)?f(t)dt单调递减证明f(x)?0(x?R)

c?1n1nnp?12x五、讨论级数：（1）?(1??[e?(1?)] (P?R) （2）

n?1n?1???1)nsinxn(0?x??)的敛数性。（16分）

六、设曲面z?a?2x?y在第一卦限内的切平面与三坐标轴分别交于ABC,三点，

222求四面体 0-ABC的最小体积（10分）

七、标f(x)在点x0处严格递增，是指?S0?0, ?x?(x0?s0,x0?s0)当x

f(x)?f(x)，而当x?x0时f(x)?f(x0)。现设f(x)在[a,b]上每点处均严格递增

证明f(x)在[a,b]上严格递增。 八，设f(x)?C[0,1]，证明 lim??????0xf(?)1Hx2dx??2f(0)（10分）

上海交通大学2001年硕士研究生入学考试试题

试题名称:数学分析

一、试判断下列命题的真伪，若真，证明之；若伪，举反例；（20分）

1．数列?x?收敛于a的充要条件是对于任意给定的正数?，在(a??,a??)中含有数列?xn?中的无穷多项。

2．函数f在[a,b]上可积必绝对可积（包括定积分与广义积分）

3．函数f在[a,b]上连续，且在点x0?(a,b)取得最小值，则存在正数?使得

f在(在x0??,x0)中单调减，在(x0,x0??)中单调增。

4．若limx?x0y?y0f(x,y)存在，则limf(x,y)与limy?y0f(x,y)均存在。

x?x0二、计算或证明下列各题，需写出具体过程： 1．设方程组?g(x,y,z)?02．求积分?2xu?f(x?ut,y?ut,z?ut)决定了u是x,y的函数,求ux与uy

111dx?sinx?x2ydy??12dx?sinx2?x2ydy的值。

a2n3．设fn(x)?nx(1?x)，讨论函数列?fn(x)?在[0,1]上的一致收敛性。

)?f(x)，4．设函数f在[0,??]上连续，且对于任一自然数n与x?[0,??]成立f(x?1n证明：f为?0,???上的常值函数。

x三、在椭圆a?22y2b2（12?1上求点M(x0.y0)，使得通过点M的法线与原点距离最远。

分）

四、设二元函数f(xy)在?a,?????c,d?上连续，含参广义积分?散，判断???a??af(x,y)dx在y?c发

f(x,y)dx关于y在?c,d?上的一致收敛性且证明之。

五、设f为?a,b?上的单调增函数，且a?f(a)?f(b)?b，证明：存在??(a,b)使得

f(?)??。

六、设函数f在x0的某一邻域U(x0)上有定义，且在点x0有左、右导数，又设U(x0)上的数列?an?与?bn?满足an?x0?bn(n?1,2,?)且liman?limbn?x0，证明：存在

n??n??p??0,1?与子列?an?与?bn?使得limf(bn)?(an)bn?anx??=pf(x)?(1?p)f(x)

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