“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题（含答案）

“时代杯”2018年江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题

（初中组）

(2018年12月6日下午14∶00~15∶40) 密题号 得分 一 1—10 二 11—18 19 20 三 21 22 总分 注意事项：

1． 本试卷有22题共4页．满分150分．考试时间100分钟． 2． 用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上． 3． 答卷前将密封线内的项目及考号填写清楚．

一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每小题5分，共50分） 1．已知m≠0，下列计算正确的是（ ）．

A．m2＋m3＝m5 B．m2·m3＝m6 C．m3÷m2＝m D．(m2)3＝m5

2．已知四个数：2，－3，－4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是（ ）．

A．20 B．12 C．10 D．－6 3．设a＋1与2 (a－1)的值互为相反数，则a的值是（ ）．

1

A．3 B．1 C．0 D．

3

4．（n＋1）边形的内角和比n边形的内角和大（ ）．

A．360° B．180° C．90° D．60°

5．现有二○○八年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮

妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同．若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（ ）．

1124A． B． C． D．

5455

6．There is a piece of work．It takes Mr. A alone 20 days to finish，and Mr. B 30 alone days to finish．It takes them（ ）days to work together to finish the work． A．10 B．12 C．15 D．50

O ． 7．如图，已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的

距离为2，则⊙O上到直线l的距离为3的点的个数是（ ）． l A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知方程x2－2│x│－15＝0，则此方程的所有实数根的和为（ ）． （第7题）

A．0 B．－2 C．2 D．8

9．已知实数a，b同时满足a2＋b2－11＝0，a2－5b－5＝0，则b的值是（ ）．

A．1 B．1，－6 C．－1 D．－6 10．如图，在△ABC中， D、E分别是BC、AC的中点． C

已知∠ACB＝90°，BE＝4，AD＝7，则AB的长为（ ）．

D A．10 B．53 C．213 D．215 B A

（第10题）

二、填空题（每小题5分，共40分）

11．某人使用计算器计算全班50名学生的一次数学测验的平均分时，如果错将其中的一个

成绩115分输入为15分，那么由此求出的平均分比实际平均分低 分．

1

E 姓名 学校 考号 封 线 12．已知函数y1与y2分别由下表给出，那么满足y1＞y2的x的值是 ．

x y1

1 1 2 3 3 1 x y2 1 3 2 2 3 1 输入x 13．设a >0，5－a是整数，则a的值为 ． 否 是否偶数 14．在图示的运算流程中，若输出的数y＝5， 则输入的数x＝ ． 是 减1

除以2

输出y

（第14题）

F 15．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上， C D AF∥EC，△AFD与四边形AECF的面积相等．已知 AB＝6cm，BC＝3cm，则AF与CE之间的距离是 cm．

B E A

（第15题）

16．设直线l1是函数y＝2x－4的图象，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，

A 则l2与两条坐标轴所围成的三角形的面积是 ． F

17．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，D是AC的中点，过 D 点D作DE⊥AC，与CB的延长线交于点E，以BA、BE为邻

边作长方形BAFE，连接FD．若∠C＝60°，DF＝3cm， 则BC的长为 cm．

E

D B 18．在△ABC中，已知∠ACB=90o，∠A＝40o．若以点C为中心，

将△ABC旋转θ角到△DEC 的位置，使B点恰好落在 边DE上（如图所示）．则θ＝ o． E θ 三、解答题（第19—21题每题14分，第22题18分，共60分） C

2（第18题） 19．已知关于x的方程（a－1）x－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3．

（1）求a的值及方程的另一个根；

（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．

B C （第17题）

A

2

20．（1）已知恒等式x3－x2－x＋1＝（x－1）（x2＋kx－1），求k的值； x3－x2－x＋1（2）若x是整数，求证：2是整数．

x－2x＋1

21．甲、乙两个水池同时放水，其水面高度（水面离池底的距离）h（米）与时间t（小时）

之间的关系如图所示（甲、乙两个水池底面相同）．

（1）在哪一段时间内，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？ （2）求点P的坐标，由此得到什么结论？

h(米)（3）当一个池中的水先放完时，另一个池中水面的高度是 8多少米？ 7 P6Q5

4

甲乙3

2

1

O12345t(小时) 3

22．某人用一张面积为S的三角形纸片ABC，剪出一个平行四边形DEFG．记□DEFG的面

积为T,

（1）如图1，如果□DEFG的顶点都在△ABC的各边上，D、G分别是AB、AC的中点．

求T（用S表示）；

1（2）如图2，如果□DEFG的顶点都在△ABC的各边上，求证：T≤S；

21

（3）对任意剪得的□DEFG，T≤S还成立吗？请说明理由．

2A D G B E

图1

F C

A D G B E

图2

F C 4

2008年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛初赛试题

参考答案

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．C 2．B 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．C． 二、填空题（每小题5分，共40分）

11．2 12．2 13．1，4，5 14．10，或11 15．1.2 16．4 17．1 18．80． (说明：第13题答对1个给1分，对2个给2分；第14题答对1个给2分） 三、解答题（第19题～第21题每题14分，第22题18分.共60分） 19．解：（1）由题设，得9（a－1）－4×3－1＋2a＝0．解得a＝2． …………… 3分

所以原方程为x2－4x＋3＝0．它的另一个根是1． …………………………… 7分 （2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形： ①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．

那么三角形的周长是3或9； ……………………… 11分 ②仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1． 那么三角形的周长是7．

由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9． ……………………… 14分 20．解：（1）由题设知，(x?1)(x2?kx?1)?x3?(k?1)x2?(k?1)x?1， ……………… 3分

所以x3?x2?x?1?x3?(k?1)x2?(k?1)x?1，从而有??k?1??1,

??k?1??1.解得k＝0． ………………………………7分

x3?x2?x?1(x?1)(x2?1)（2）??x?1． 22x?2x?1(x?1)因为x是整数，所以x＋1是整数．

x3?x2?x?1故是整数． ……………… 14分

x2?2x?121．解：（1）由图知，甲池的放水速度为

当0≤t≤3时，乙池的放水速度为

8?2（米/小时）． 41（米/小时）； 35当3＜t≤5时，乙池的放水速度为（米/小时）．

215因为＜2，2＜，

32 所以3＜t≤5时，乙池的放水速度快于甲池的放水速度． …………………… 4分

（2）甲池中水面高度h（米）与时间t（小时）的函数关系为h＝－2t＋8．

当0≤t≤3时，乙池中水面高度h（米）与时间t（小时）的函数关系为h??t?6．

13 5

?6t?,?h??2t?8,?628?5?P(,)，即P(1.2,5.6)． 由? 解得所以?155h??t?6.?h?28.?3??5? 由此说明，当t＝1.2小时时，两池中水面的高度相等． …………………10分

（3）由图知，甲池中的水4小时放完．

当3＜t≤5时，乙池中水面高度h（米）与时间t（小时）的函数关系为h??当t＝4时，h?525t?． 225，即h＝2.5． 2所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是2.5米． ……………………14分 注：（1）中，答3＜t≤4，不扣分．

22．解：（1）因为D、G分别是AB、AC的中点，

1

所以DG∥BC，且DG＝BC．

2

分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC．则∠DNB＝∠AMB．

11

因为∠B＝∠B，所以△DNB∽△AMB．又因为DB＝AB，所以DN＝AM．

221

故T＝S． ………………………6分

2（2）过点G作GH∥AB，交BC于点H．则∠B＝∠GHF．

因为DE＝GF，DE∥GF，所以∠DEB＝∠GFH．从而有△DBE≌△GHF． 因为DG∥BC，所以∠ADG＝∠B，从而有△ADG∽△ABC． 同理，△GHC∽△ABC．设AD＝kAB（0＜k＜1），则S△ADG＝k 2S． 同理，S△GHC＝（1－k）2S．

T＝S－S△ADG－S△GHC＝[1－k 2－（1－k）2] S

11

＝（－2 k 2＋2 k）S＝－2[（k－）2－] S

24111

＝－2（k－）2 S＋S≤S．…………………12分

222（3）分以下四种情形讨论：

第一种情形：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形 的边上，第四个顶点不在三角形的边上．

① 当其中有两个顶点在同一边时，如图3-1所示，

B

延长DG交AC于点G′，过点G′作G′F′∥GF，交BC于点F′， 易知四边形DEF′G′是平行四边形，则T≤S□DEF′G′ ． 11

由（2）知，S□DEF′G′ ≤S．所以T≤S．

22

② 当三点分别在三角形的三边时，如图3-2，过A点作 AH∥DE交EF、DG于F′、G′,问题转化为（2）和图3-1两 种情形，则

D F’ B

E

H 图3-2

F

C

D A

G

G′

E

F F′ 图3-1

A G’ G C 6

11

T= S□DEF′G’’+ S□F′G′GF≤ S△ABH+ S△AHC=S．

22

A

第二种情形：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形

的边上，另两个顶点不在三角形的边上．

①当这两个顶点在同一边上时，如图3-3，延长DG与三角 形的两边AB、AC分别交于点L、K，作平行四边形MNKL． 问题转化为（2）．则 B

1

T=S□DEFG≤S□MNKL≤S．

2

②当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图3-4．延长DE、 GF交BC于点K、M，过点K作KN∥DG，交G M于点N．易 得四边形DKNG是平行四边形，从而问题转化为图3-2的情形， 则

1

T=S□DEFG≤S□DKN′G≤S．

2

第三种情形：如果剪得的平行四边形只有一个顶点在三角形的

的边上，另三个顶点不在三角形的边上．如图3-5，延长ED、 FG分别交AB、AC于点K、M，过点K作KN∥DG，交FM于 点N．易得四边形EFNK是平行四边形，从而问题转化为图3-4 的情形，则

1

T=S□DEFG≤S□EFNK≤S

2

LD G K

ME

图3-3

F N C A G D E F N M 图3-4

C B K

A

M

K D N G F 第四种情形：如果剪得的平行四边形没有顶点在三角形的

B E

图3-5 边上时，如图3-6，延长ED、FG分别交AB、AC于点K、

A M，过点K作KN∥DG，交FM于点N．易得四边形EFNK

是平行四边形，从而问题转化为图3-5的情形，则 M

C 1

T=S□DEFG≤S□EFNK≤S．

2

1

综上，对任意剪得的□DEFG，T≤S成立．

2

…………………18分

E B

K D 图3-6

N G F C

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6lpv.html