2015年全国中考数学试卷解析分类汇编（第三期）专题26 图形的相

图形的相似与位似

一、选择题

1. （2015?宁德 第8题 4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（ ）

A．4 B． 4.5 C． 5 考点： 平行线分线段成比例．

分析： 直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 解答： 解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3， ∴

=

，即=

，解得DF=4.5．

D．5.5

故选B．

点评： 本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．

2. （2015?甘南州第7题 4分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为

，则下列结论中正确的是（ ）

A． m=5 B． m=4

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

分析： 先根据平行四边形的性质求出△OCD∽△OEB，再根据相似三角形的性质解答即可． 解答： 解：∵AB∥CD， ∴△OCD∽△OEB， 又∵E是AB的中点， ∴2EB=AB=CD， ∴

=（

）2，即．

1

C． m=3 D． m=10

=（）2，

解得m=4

故选B．

点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到平行四边形的性质等知识，难度适中．

3. （2015?酒泉第9题 3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）

A ．

考点： 相似三角形的判定与性质． 分析： 证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到三角形的性质即可解决问题． 解答： 解：∵S△BDE：S△CDE=1：3， ∴BE：EC=1：3； ∴BE：BC=1：4； ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△AOC， ∴=， =， =，借助相似B． C． D． ∴S△DOE：S△AOC=故选D． 点评： 本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．

4. （2015?酒泉第10题 3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过

2

点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A ． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象． 分析： 证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断． 解答： 解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE， 又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°， ∴∠CPD+∠BPE=90°， 又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°， ∴∠BEP=∠CPD， 又∵∠B=∠C， ∴△BPE∽△CDP， ∴故选C． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键． 5. （2015，广西柳州，12，3分）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：

①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ）

，即，则y=﹣x2+，y是x的二次函数，且开口向下． 3

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个 考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： 根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=

GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△

GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④． 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE， 由勾股定理得：BE=

GE，∴①错误；

∵BG=BE，∠B=90°， ∴∠BGE=∠BEG=45°， ∴∠AGE=135°，

∴∠GAE+∠AEG=45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∵∠BEG=45°，

∴∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠GAE=∠FEC， 在△GAE和△CEF中

∴△GAE≌△CEF，∴②正确； ∴∠AGE=∠ECF=135°， ∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确； ∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠FEC＜45°，

∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误； 即正确的有2个． 故选B． 点评： 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．

6. （2015，广西钦州，11，3分）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（ ）

4

A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC

分析： 先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有

=

，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等

量代换即可证． 解答： 解：如图

过点B作BE∥AC交AD延长线于点E， ∵BE∥AC，

∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD， ∴△BDE∽△CDA， ∴

=

，

又∵AD是角平分线， ∴∠E=∠DAC=∠BAD， ∴BE=AB， ∴

=

，

∴AB：AC=BD：CD．

点评： 此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线． 7．（2015?湖北十堰，第6题3分）.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（﹣2，1）

B． （﹣8，4）

5

C.（﹣8，4）或（8，﹣4） D.（﹣2，1）或（2，﹣1） 考点： 位似变换；坐标与图形性质．

分析： 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．

解答： 解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，

∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选：D．

点评： 此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k． 8. （2015?黑龙江哈尔滨，第7题3分）（2015?哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）

A．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 根据相似三角形的判定和性质进行判断即可． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC， ∴

，

，

，

=

B．

=

C．

=

D．

=

故选C．

点评： 此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断．

9. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第6题3分）视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）

6

A．平移 B． 旋转 C． 对称 D．位似 考点： 几何变换的类型．

分析： 开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．

解答： 解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换．故选D．

点评： 本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．

10. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（ ）

A．考点： 专题： 分析： 解答：

﹣1

B．

C． 1

D．

相似三角形的判定与性质；平移的性质．

压轴题．

利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了． 解：设BC与A′C′交于点E，

由平移的性质知，AC∥A′C′ ∴△BEA′∽△BCA

∴S△BEA′：S△BCA=A′B：AB=1：2 ∵AB= ∴A′B=1

∴AA′=AB﹣A′B=﹣1 故选A．

点评： 本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

2

2

7

11. （2015?青海，第15题3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则

等于（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 根据题意得出△DEF∽△BCF，那么AE=2k，BC=3k；得到

=

=

；由AE：ED=2：1可设ED=k，得到

，即可解决问题．

解答： 解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ED∥BC，BC=AD， ∴△DEF∽△BCF， ∴

=

，

设ED=k，则AE=2k，BC=3k； ∴

=

=，

故选A．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题；得出△DEF∽△BCF是解题的关键．

12. （2015?贵州省贵阳,第6题3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（ ） A．2：3 B． ： C． 4：9 D．8：27 考点： 相似三角形的性质．

分析： 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．

2

解答： 解：两个相似三角形面积的比是（2：3）=4：9． 故选C．

点评： 本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 13. （2015?辽宁省朝阳,第题3分）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A．（2，3） B． （3，1）

C． （2，1） D．（3，3）

8

考点： 位似变换；坐标与图形变化-平移． 专题： 几何变换．

分析： 先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解．

解答： 解：∵线段AB向左平移一个单位， ∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6）， ∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）．

故选A．

点评： 本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了坐标与图形变化﹣平移． 14．（2015?辽宁铁岭）（第7题，3分）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（ ）

A．DE=DF

B． EF=AB

C． S△ABD=S△ACD

D．AD平分∠BAC

考点： 三角形中位线定理．

分析： 根据三角形中位线定理逐项分析即可．

解答： 解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，

∴DE=AC，DF=AB，

∵AC≠AB，

∴DE≠DF，故该选项错误；

B、由A选项的思路可知，B选项错误、

C、∵S△ABD=BD?h，S△ACD=CD?h，BD=CD，

∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确； D、∵BD=CD，AB≠AC， ∴AD不平分∠BAC， 故选C．

点评： 本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

9

15．（4分）（2015?黔西南州）（第5题）已知△ABC∽△A′B′C′且为（ ）

A． 1：2 B． 2：1 C． 1：4 D． 4：1

考点： 相似三角形的性质．

分析： 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可． 解答： 解：∵△ABC∽△A′B′C′，

，

，则S△ABC：S△A'B'C′

∴故选C．

=（）2=，

点评： 本题考查了相似三角形的性质的应用，能运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

16．（4分）（2015?黔西南州）（第10题）在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=

时，n的值为（ ）

A． 4﹣2

考点： 相似三角形的判定与性质；实数与数轴；等边三角形的性质；平移的性质． 分析： 先根据已知条件得出△PDE的边长，再根据对称的性质可得出PF⊥DE，DF=EF，锐角三角函数的定义求出PF的长，由m=

求出MF的长，再根据相似三角形的判定定理

B． 2

﹣4 C． ﹣

D．

判断出△PFM∽△PON，利用相似三角形的性质即可得出结论．

10

（1）当t= 时，PQ∥EF；

（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围是 0＜t≤1且t≠ ．

考点： 几何变换综合题．

分析： （1）利用平行线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△AEN∽△QOP，进而利用锐角三角函数关系求出即可；

（2）利用线段垂直平分线的性质得出△FBA是等边三角形，进而得出线段P′Q′与线段EF有公共点时t的最大值，进而得出答案． 解答： 解：（1）如图1，当PQ∥EF时， 则∠QPO=∠ENA，

又∵∠AEN=∠QOP=90°， ∴△AEN∽△QOP， ∵∠AOB=90°，AO=，BO=1， ∴tanA=

=

=

，

∴∠A=∠PQO=30°， ∴

=

=

，

解得：t=，

故当t=时，PQ∥EF； 故答案为：；

（2）如图2，∵∠BAO=30°，∠BOA=90°， ∴∠B=60°，

∵AB的垂直平分线交AB于点E， ∴FB=FA，

∴△FBA是等边三角形，

∴当PO=OA=时，此时Q′与F重合，A与P′重合，

16

∴PA=2，则t=1秒时，线段P′Q′与线段EF有公共点，

故当t的取值范围是：0＜t≤1，由（1）得，t≠． 故答案为：0＜t≤1且t≠．

点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质、锐角三角三角函数关系等知识，得出临界点时t的最值是解题关键．

2. （2015?辽宁省盘锦,第14题3分）如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为

．

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 由已知先证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求出AD的值． 解答： 解：∵∠A=∠A， ∠ACD=∠B，

∴△ABC∽△ACD， ∴

=

，

17

∵AB=5，AC=3， ∴=

，

∴AD=． 故答案为．

点评： 本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值．

3. （2015?辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是 （1，﹣1）或（﹣，） ．

考点： 相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征．

分析： 根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，可得△ODC是等腰三角形，先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到AC，BC，OB，OA，OC，AD，OD，CD，BD的长度，再根据相似三角形的判定与性质分两种情况得到BM的长度，进一步得到点M的坐标．

解答： 解：∵OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB=，∠CBO=45°，

∴AB=AC=，OD=CD， 在Rt△BAC中，BC=∴OB=2，

∴OA=OB﹣AB=2﹣在Rt△OAC中，OC=

2

2

2

=2，

，

=2

，

在Rt△OAD中，OA+AD=OD，

222

（2﹣）+AD=（﹣AD）， 解得AD=2﹣， ∴OD=CD=2﹣2， 在Rt△BAD中，BD=

=2

，

①如图1，△BMC∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，

18

=

，即

=，

，

解得BM=

∵MF⊥AB，CA是OB边上的高， ∴MF∥DA，

∴△BMF∽△BDA， ∴

=

=

，即

=

=

，

解得BF=1，MF=﹣1， ∴OF=OB﹣BF=1，

∴点M的坐标是（1，﹣1）；

②如图2，△BCM∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，

=

，即

=

，

解得BM=2，

∵MF⊥AB，CA是OB边上的高， ∴MF∥DA，

∴△BMF∽△BDA， ∴

=

=

，即

=

=

，

解得BF=2+，MF=， ∴OF=BF﹣OB=，

∴点M的坐标是（﹣，）．

综上所述，点M的坐标是（1，﹣1）或（﹣故答案为：（1，﹣1）或（﹣，）．

19

，）．

点评： 考查了相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，关键是得到BM的长度，注意分类思想的应用．

4. （2015?山西,第15题3分）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，则点A到地面的距离是

cm．

考点： 勾股定理的应用．

分析： 分别过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N，利用勾股定理得出BN的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．

解答： 解：过点A作AM⊥BF于点M，过点F作FN⊥AB于点N， ∵AD=24cm，则BF=24cm， ∴BN=

=

=7（cm），

∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN， ∴△BNF∽△BMA， ∴∴

==

， ，

=

，

+4=

（m）．

则：AM=

故点A到地面的距离是：故答案为：

．

20

∴DE=BC，

∴S△DEF：S△BCF=1：4， ∵S△DEF=a，∴S△BCF=4a， 故答案为：4a．

点评： 本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．

三、解答题

1. （2015?黑龙江省大庆,第27题9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD． （1）证明：AB=CD； （2）证明：DP?BD=AD?BC； （2）证明：BD2=AB2+AD?BC．

考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 专题： 证明题．

分析： （1）利用平行线的性质结合圆周角定理得出

=

，进而得出答案；

（2）首先得出△ADP∽△DBC，进而利用相似三角形的性质得出答案；

（3）利用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，进而求出AB2=DB?PB，再利用（2）中所求得出答案．

解答： 证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠BDC， ∴

=

，

26

∴AB=BC；

（2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°， ∴∠BCD=∠APD， 又∵∠ADB=∠CBD， ∴△ADP∽△DBC， ∴

=

，

∴DP?BD=AD?BC；

（3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA， ∴△ABP∽△DBA， ∴

=

，

∴AB2=DB?PB，

∴AB2+AD?BC=DB?PB+AD?BC ∵由（2）得：DP?BD=AD?BC，

∴AB2+AD?BC=DB?PB+DP?BD=DB（PB+DP）=DB2， 即BD2=AB2+AD?BC．

点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．

2. （2015?辽宁省盘锦,第23题12分）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径； （2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

27

考点： 圆的综合题．

分析： （1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可；

（2）求得△PBC∽△BFA，根据相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论；

（3）通过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形． 解答： （1）解：CD⊥AB， ∴PC=PD=CD=

，

连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，

222

在RT△POC中，OC=OP+PC， 即r=（4﹣r）+（

2

2

），解得r=

2

．

（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC， ∴△PBC∽△BFA， ∴∠ABF=∠CPB， ∵CD⊥AB，

∴∠ABF=∠CPB=90°， ∴直线BF是⊙O的切线；

（3）四边形AEBF是平行四边形；

理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P， ∴当点P与点O重合时，CD=AB， ∴OC=OD，

∵AE是⊙O的切线， ∴BA⊥AE， ∵CD⊥AB， ∴DC∥AE， ∵AO=OB，

∴OC是△ABE的中位线， ∴AE=2OC，

∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC． ∴∠D=∠F， ∴CD∥BF， ∵AE∥BF， ∵OA=OB，

∴OD是△ABF的中位线，

28

∴BF=2OD， ∴AE=BF，

∴四边形AEBF是平行四边形．

点评： 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 3. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第24题8分）（2015?呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）求证：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半径．

考点： 切线的性质．

分析： （1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，根据AB=AC推出5﹣r=（2

2

2

）﹣（5﹣r），求出r，证△DPB∽△CPA，得出

22

=，代入求出即

可．

解答： 证明：（1）如图1，连接OB．

29

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， ∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠ACP=∠ABC， ∴AB=AC；

（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，

22222

则AB=OA﹣OB=5﹣r， 22222AC=PC﹣PA=（2）﹣（5﹣r）， 2222∴5﹣r=（2）﹣（5﹣r）， 解得：r=3， ∴AB=AC=4， ∵PD是直径， ∴∠PBD=90°=∠PAC， 又∵∠DPB=∠CPA， ∴△DPB∽△CPA， ∴∴

==，

， ．

．

解得：PB=

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为

30

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6li7.html