2015高考数学（理）一轮题组训练：6-1数列的概念与简单表示法

第六篇 数 列

第1讲 数列的概念与简单表示法

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6的值是________． 解析 由an＋1＝an＋2＋an，得an＋2＝an＋1－an， ∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－2， a5＝a4－a3＝－5，a6＝a5－a4＝－3. 答案 －3

n1

2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则a＝________.

n＋15

n－1n11

解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n＝，∴a＝5×(5＋1)＝

n＋1n?n＋1?530. 答案 30

3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝______. 解析 由an＋1－an＝n＋1，可得an－an－1＝n， an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2， …

a3－a2＝3，a2－a1＝2，

以上n－1个式子左右两边分别相加得， an－a1＝2＋3＋…＋n， ∴an＝1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝

n?n＋1?

2＋1.

1

答案

n?n＋1?2＋1

4．(2014·贵阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝________. 解析 a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案 10

5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________． 解析 法一 (构造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1， ∴

?an?an＋1an＝n，∴数列?n?是常数列． n＋1??

ana1且n＝1＝1，∴an＝n.

an－1n－1ann

法二 (累乘法)：n≥2时，＝，＝. an－1n－1an－2n－2…

a33a22a2＝2，a1＝1，

an

两边分别相乘得a＝n，又因为a1＝1，∴an＝n.

1答案 n

6．(2013·蚌埠模拟)数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．

解析 易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大． 答案 10或11

7．(2014·广州模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋3a3＋…＋3的通项公式为________．

n

解析 ∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝3，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋n－111

3n－2an－1＝3，两式左右两边分别相减得3n－1an＝3，∴an＝3n(n≥2)．由题11

意知，a1＝3，符合上式，∴an＝3n(n∈N*)．

2

2

n－1

n

an＝，则数列{an}

3

1

答案 an＝3n 8．(2013·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________． 解析 每行的第二个数构成一个数列{an}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2(n－1)－1?2n－3＋3?×?n－2?2

＝2n－3，等式两边同时相加得an－a2＝＝n－2n，

2所以an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)，所以a9＝92－2×9＋3＝66.

答案 66 二、解答题

9．(2013·梅州调研改编)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递减数列．

(1)解 ∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，

2∴a2n＋2nan－1＝0，解得an＝－n±n＋1.

∵an＞0，∴an＝n2＋1－n. an＋1?n＋1?2＋1－?n＋1?(2)证明 a＝ 2nn＋1－nn2＋1＋n

＝＜1.

?n＋1?2＋1＋?n＋1?

∵an＞0，∴aa＋1＜an，∴数列{an}是递减数列．

10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 解 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

3

即Sn＋1＝2Sn＋3n，

由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，

又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，

于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，

当n＝1时，a1＝a不适合上式， ?a，n＝1，故an＝? n－1n－2

?2×3＋?a－3?2，n≥2.an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ??3?n－2?

?2?＋a－3?， ＝2n－2?12·????

?3?n－2

?2?＋a－3≥0?a≥－9. 当n≥2时，an＋1≥an?12·??又a2＝a1＋3>a1.

综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、填空题

1．已知数列{an}的通项公式为an＝________．

448

解析 由an＋1＜an，得an＋1－an＝－＝＜0，解得

9－2n11－2n?9－2n??11－2n?911*＜n＜，又n∈N，∴n＝5. 22答案 5

??3－a?x－3，x≤7，2．(2014·湖州模拟)设函数f(x)＝?x－6数列{an}满足an＝f(n)，n

?a，x>7，∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．

4

4

，则满足an＋1＜an的n的取值为11－2n

解析 ∵数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，

?3－a>0，∴?a>1，?f?8?>f?7?

答案 (2,3)

?2

3．在一个数列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.

解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案 28 二、解答题

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立． (1)求a1，a2的值；

?10a1?

(2)设a1>0，数列?lga?的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn

?n?

的最大值．

解 (1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2， 取n＝2，得a22＝2a1＋2a2， 由②－①，得a2(a2－a1)＝a2. 若a2＝0，由①知a1＝0. 若a2≠0，由③知a2－a1＝1.

由①④解得，a1＝2＋1，a2＝2＋2； 或a1＝1－2，a2＝2－2.

综上可得，a1＝0，a2＝0；或a1＝2＋1，a2＝2＋2；或a1＝1－2，a2＝2－2.

(2)当a1>0时，由(1)知a1＝2＋1，a2＝2＋2.

当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(2＋2)an－1＝S2＋Sn－1， ∴(1＋2)an＝(2＋2)an－1，即an＝2an－1(n≥2)，

④ ① ② ③

5

∴an＝a1(2)

n－1

＝(2＋1)·(2)

n－1

10a1

.令bn＝lga，

n

11100

则bn＝1－lg(2)n－1＝1－2(n－1)lg 2＝2lgn－1.

2

1

∴数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－2lg 2)，从而b1>b2>…>b7＝10

lg8>lg 1＝0，

11001

当n≥8时，bn≤b8＝2lg128<2lg 1＝0， 故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为 7?b1＋b7?7?1＋1－3lg 2?21T7＝＝＝7－

222lg 2.

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6lho.html