现代控制课程论文 直流电机

现代控制理论课程报告

——基于状态方程的

直流电机模型的建立与分析

班级：电气工程与自动化2011-15班

组长：张明利

组员：陈智广杨宏伟吕奇

王开申范醒春孙浩

日期：2014年4月13日

目录

一、直流电动机简介 (1)

1.1直流电动机的研究意义 (1)

1.2直流电机的结构 (1)

1.3直流电机的调速原理 (1)

二、直流电机数学模型的建立 (2)

2.1电压平衡方程 (2)

2.2力矩平衡方程 (3)

2.3 合并完整的模型 (4)

2.4 直流电机的状态方程 (5)

三、直流电机系统的模型分析 (5)

3.1系统的能控性和能观性分析 (5)

3.1.1系统的能控性 (5)

3.1.2系统的能观性 (6)

3.1.3系统的最小实现 (6)

3.2系统的输入输出传递函数 (6)

3.3 系统的Simulink仿真分析 (7)

3.4动态系统的稳定性分析 (7)

四、系统的状态反馈及极点配置 (8)

五、状态观测器及其设计 (10)

六、课程设计总结 (13)

参考文献 (15)

第 1 页 现代控制理论课程报告

——基于状态方程的

直流电机模型的建立与分析

一、直流电动机简介

1.1直流电动机的研究意义

电动机作为最主要的机电能量转换装置，其应用范围已遍及国民经济的各个领域和人们的日常生活。无论是在工农业生产，还是在日常生活的家用电器和消费电子产品中，都大量使用着各种各样的电动机。直流电机作为其中的一类，具有良好的调速特性、较大的启动转矩等优点，是现今工业上应用最广的电机之一。研究其系统模型对于工业生产控制具有具有重要作用！

1.2直流电机的结构

图1-1直流电机的物理模型图

直流电动机的基本结构如图1-1，其中固定部分主磁极和电刷，转动部分有环形铁心和绕在环形铁心上的绕组。

1.3直流电机的调速原理

直流电机转速n 的表达式为:

Φ-=K IR U n

式中:U-电枢端电压

I-电枢电流

R-电枢电路总电阻

Φ-每极磁通量

K-与电机结构有关的常数

由上式可知，直流电机转速n 的控制方法有三种:

(1)调节电枢电压U 。改变电枢电压从而改变转速，属恒转矩调速方法，动

第 2 页 态响应快，适用于要求大范围无级平滑调速的系统；

(2)改变电机主磁通中只能减弱磁通，使电动机从额定转速向上变速，属恒功率调速方法，动态响应较慢，虽能无级平滑调速，但调速范围小；

(3)改变电枢电路电阻R 在电动机电枢外串电阻进行调速，只能有级调速，平滑性差、机械特性软、效率低。

二、直流电机数学模型的建立

直流电动机的等效电路如下图2-1所示。图中,R 为电枢电阻;L 为电枢电感；J 为转动惯量；K f 为黏性摩擦系数；K a 为转矩常数；K b 为反电动势常数；U a 为输入电压；U e 为反电动势；T d 为负载力矩；i 为电枢电流；ω为电机转速。

图2-1 电机模型图

图2-2 电机系统方框图 2.1电压平衡方程

依据图2-1和图2-2得电机电枢回路的电压平衡方程为

:

设x 1=i , y 1=T m ,u 1=E,则：

化简得：

第 3 页

即状态空间表达式的系数为

:

电机的电枢回路方框图如图2-3所示：

图2-3 电机的电枢回路方框图(H 1) 2.2力矩平衡方程

同样,依据图2-1和图2-2得电机力学回路的力矩平衡方程为

:

设x 2=ω,y 2=ω,u 2=T E ,则:

化简得：

即状态空间表达式的系数为:

电机的力学回路主框图如图2-4所示：

图2-4电机的力学回路方框图(H 2)

第 4 页 2.3 合并完整的模型

如图2-5所示,连接图2-3中的H 1与图2-4中的H 2 ； 可得：

即

图2-5 电机系统的详细方框图

设X =??????21x x =??

????ωi ，Y = y ， U=??????d a T U ，由此可得状态空间表达式的系数为: A=????????????-J K J K f a

L K -L R -b ，B=?????

???????J 100L 1 ， C=[]10 ，D=[]00

至此,直流电动机的数学模型就建好了,状态变量为X =??????21x x =??

????ωi

，输入向量为

第 5 页 U=??

????d a T U ，其中Ua 是电机的输入电压,T d 是电机所受到的负载力矩,输出为Y=y =x 2=ω,ω是电机的角速度。

2.4 直流电机的状态方程

为简化分析，本文暂不研究负载力矩T d 对系统的影响，即只考虑U=U a 的部

分。下面以某电机的实际系统参数为例进行相关分析，电机参数如下：R=2.6Ω,L=2×10-3 H,J=1.2 kg ·m 2,K f =0.01 N ·m ·s,K a =0.7 N ·m/A,K b =0.7769V ·s ，

将以上参数带入A 、B 、C 、D 并取近似结果可得：

A=??

????01.06.04001300--- ，B =

，

C=[]10 ，D=[]00

可得直流电机系统的状态空间表达式：

三、直流电机系统的模型分析

3.1系统的能控性和能观性分析

状态方程中A 矩阵是2*2矩阵，即n=2。

3.1.1系统的能控性

能控性：系统的状态变量可由外输入作用来控制的一种性能。如果在一个有限的时间间隔内，可以用幅值没有限制的输入作用，使偏离系统平衡状态的某个初始状态回复到平衡状态，就称这个初始状态是能控的。n 阶线性定常系统Bu Ax x

+= 完全能控的充要条件是能控矩阵Qc=[]B A AB B 1n - 的秩为n ，即()n Q Rank c =。

由前述状态方程可得：

[]??

????==8.000500AB B c Q ()2=c rank Q 满秩，故系统可控。

第 6 页 系统的能控标准型为

=x ~??????-130025310-u x ??

????+10~

[]x y ~0300=

3.1.2系统的能观性

能观性：若系统S 对于T0时刻，存在Ta 时刻，即T0

n 阶线性定常系统x Ax Bu y Cx =+??=?完全能观的充要条件是能观矩阵Qo ?????

???????=-1n CA CA C 的秩为n ，即()n Q Rank =o 。

由前述状态方程可得

??????-=??????=01.06.0100CA C Q ()20=Q rank 满秩，故系统可观。

系统的能观标准型为

=x ~??????-130012530-u x ??

????+0300~ []x

y ~10= 3.1.3系统的最小实现

系统的最小实现为：

3.2系统的输入输出传递函数

第 7 页 直流电机状态方程对应的传递函数为

()()253

01.130030021++=-=-s B A I C G s s s 3.3 系统的Simulink 仿真分析

直流电机系统开环单位阶跃响应如图3-1所示：

图3-1直流电机系统开环单位阶跃响应图

开环单位阶跃响应曲线如图3-2所示：

图3-2开环单位阶跃响应曲线

系统加入图3-3所示单位负反馈后的响应曲线如下

图3-3单位负反馈后的响应

图3-4单位负反馈后的响应曲线

由图可知，加入单位负反馈后，系统的响应时间大大缩短。

3.4动态系统的稳定性分析

第 8 页 用李雅普诺夫直接法判断系统稳定性。李雅普诺夫直接法就是根据能量函数及其状态轨迹随时间的变化率的定号性来判断系统的稳定性。

研究动态系统的稳定性时，可令Ua=0。|A|0≠,故原点是系统的平衡状态。

由A =??????01.06.04001300---得系统的状态方程为???-=--=21221101.06.04001300x x x

x x x 选取李氏函数为()03

20002221>+=x x x v (正定) 则沿任意轨迹()x υ对时间的导数：

()03

40260034000222212211<--=+=x x x x x x x υ （负定） 又由于当时∞→x ，()∞→x υ，故根据相关定理知，系统在平衡点()0,021==x x 处是大范围内渐进稳定的。

四、系统的状态反馈及极点配置

状态反馈：状态反馈是系统的状态变量通过比例环节传送到输入端去的反馈方式。状态反馈是体现现代控制理论特色的一种控制方式。状态变量能够全面地反映系统的内部特性，因此状态反馈比传统的输出反馈能更有效地改善系统的性能。状态反馈的意义在于改变系统极点，从而改善系统稳定性和动态特性。 极点配置原理：假设原系统的状态空间模型为：

?

??=+=Cx y Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，这时，闭环系统的状态空间模型为：

?

??=+-=Cx y Bu x )BK A (x 直流电机系统的能控标准型为

=x ~??????-130025310-u x ??????+10~

[]x

y ~0300= 传递函数为：

第 9 页 ()253

01.13003002++=s G s s 配置闭环极点，为改善系统性能，取?????===10707.02

1n

ωξ， 此时()212222207.707.7100

14.142)(d d ++=±+=++=++=s s j s s s s s s f n n d ωξω

由212225301.1300)(a a ++=++=s s s s s f

得状态反馈矩阵[][]

87.1285，

153,1122=-=d a d -a k 状态反馈为[]v x v kx u +=+=87.1285，

153 配置闭环极点后系统的传递函数 ()()()()()j s j s B BK A I C G 07.707.707.707.73001

-+++=--=-s s 配置闭环极点后系统的simulink 仿真图

图4-1闭环极点后系统的simulink 仿真图

直流电机系统配置极点后的阶跃响应曲线

图4-2 直流电机系统配置极点后的阶跃响应曲线

与未配置极点时的阶跃响应曲线相比，配置极点后直流电机系统的上升时间极大的缩短，响应速度大大提高，稳定性和可控性都得到极大的改善。

第 10 页 五、状态观测器及其设计

状态观测器实质——状态估计器(或动态补偿器)。利用被控对象的输入和输出对状态进行估计，从而解决某些状态变量不能直接测量的难题。

闭环观测器利用输出估计误差作反馈，构成一闭环系统。

图5-1闭环观测器结构图

()y y K y K z z -=?加入输出误差反馈，通过合理构造反馈增益阵Kz ，就可以使

()0→-t

C K A z e ，即令状态观测器具有理想的极点。 全阶观测器

系统???=+=Cx

y Bu Ax x S :

观测器()y K Bu z C K A z

z z ++-= 误差系统()z z z e C K A e

-= 估计误差的动态特性由矩阵误差系统极点决定

观测器设计

观测器期望极点选择，一般为了考虑观测器的响应速度要比闭环系统快，又要考虑干扰抑制，一般极点为闭环极点的2--5倍。

设置状态观察器的期望闭环极点为-15+15i ，-15-15i ，由此可由matlab 函数K=acker(A,C,P)（其中：A ，C 为系统矩阵，P 为期望极点向量，K 为反馈增益向量）进一步求出观测器增益矩阵Kz

Kz=[2752000;-1300];

形成的系统状态估计器的阶跃响应如下：

第 11 页 -40-20020

From: y1

T o : y 1e

-50510

T o : x 1e

-40-20

20T o : x 2e Step Response

T ime (seconds)

A m p l i t u d e 图5-2系统状态估计器的阶跃响应

Matlab 程序代码如下：

A=[-1300 -400;0.6 -0.01];

B=[500;0];

C=[0 1];

D=[0];

G=ss(A,B,C,D)

P=[-15+15i;-15-15i];

lt=acker(A',C',P);

Kz=lt'

eig(A-Kz*C) %验证观测器极点是否配置在期望极点

est=estim(G,Kz) %形成系统状态估计器

step(est) %阶跃响应

通过tf （）函数分别得到输出和观测状态的传递函数

>> tf(est)

-1270 s + 197

y1_e: ----------------

s^2 + 30 s + 450

2.752e06 s + 5.355e05

x1_e: ---------------------

s^2 + 30 s + 450

-1270 s + 197

x2_e: ----------------

s^2 + 30 s + 450

第 12 页 下面可构建Simulink 图，据此观察观测器对正弦波的跟踪能力

图5-3正弦波的跟踪图

跟踪效果图如下：

图5-4跟踪效果图

可见，单路跟踪效果较好。

利用状态空间，可以方便地设计全维观测器，

图5-5全维观测器

各路跟踪效果如下：

-50

5

10

15

20

图5-6跟踪效果图

根据波形可知，观测器对正弦波的跟踪效果较好，由观测器构成状态反馈的闭环系统是稳定的！

六、课程设计总结

我们小组研究的问题是直流电机的结构与原理分析，通过本次选直流电机为建模对象，利用现代控制理论知识研究直流电机，把实际动态问题抽象出来，建立线性动态系统在状态空间的模型，再结合现代控制理论研究该系统能控性和能观性以及该系统的最小实现，通过对系统输入输出传递函数分析以及simulink 的仿真，研究直流电机的动态系统的稳定性，最后结合系统的状态反馈和极点配置，利用状态观测器完成了本次对直流电机的研究和分析。

在本次建模过程中，我们主要的处理内容有以下几点：①列出状态空间表达式，化为对角标准型状态空间表达式并进行分析；②对系统状态空间表达式的求解；③系统的能控性和能观性判断。状态方程描述了输入引起状态的变化过程，输出方程则描述了由状态变化引起的输出变化，能控性和能观性分别分析输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力；④建立系统的输入输出传递函数；并分别用特征根方法和Lyapunov第二法分析系统的开环稳定性；⑤极点配置。采用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值，使得闭环统阶跃响应的上升时间比开环系统阶跃响应的上升时间缩短3倍左右；⑥设计状态观测器。对于一个能观测的系统，他它的状态变量尽管不能直接量测，但是通过其输入和输出以及它们的导数，可以把它重构出来，故可设计一个状态观测器。⑦带状态观测器的

第13页

状态反馈控制系统的状态变量图；状态空间表达式和闭环传递函数、闭环系统的稳定性分析。以上内容便是对于我们在整个建模过程中所遇到的问题以及我们对问题的解决办法。

在做这份课程设计的过程中，我们同样遇到了很多问题，很多知识在课本上是没有涉及和介绍的，这就需要我们翻阅和查阅大量图书馆资料和网上资源，这也让我们学到很多，问题列举如下：1、状态空间表达式的求解。直流电机系统是一个线性非齐次状态方程，因此在求解时应注意到它的求解公式；2、观测器设计。在观测器设计时，观测器的期望极点最先选的原系统极点的3到5倍，分别为-14和-0.5，但通过MATLAB仿真后，其跟踪效果很不理想，故通过不断更改期望极点，最终选择极点为-20，-10，使L阵达到较合适的值，从而使观测器的状态变量能较快的趋向原系统的状态变量。此外在用MATLAB进行相关运算时，由于对MATLAB的使用不熟练，有些模块不了解和不会不知道如何编写，我们特意在图书馆借了一本《基于MATLAB的现代控制》书后才解决相关编程问题。

通过这次结课报告，我们收获了很多：一方面，在完成课题的过程中考验了我们对自己学习内容的掌握程度，还拓展了我们的视野，让我们自主学习一些额外的但很重要的知识内容；另一方面，也培养了我们自主学习的能力、团队协作的能力和书写报告的能力。

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参考文献

[1]方荣惠，邓先明等编著.电机原理及拖动基础(第三版).徐州：中国矿业大学出版社，2012.

[2]舒欣梅, 龙驹, 宋潇潇编著.现代控制理论基础.西安:西安电子科技大学出版社,2013.

[3]薛定宇,陈阳泉.基于MATLAB/Simulink的系统仿真技术与应用.北京：清华大学出版社，2003.5.

[4]金刚石,张俊蓉等著.基于现代控制理论的直流电机控制器的设计.激光与红外.2009年10期.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6lfl.html