两角和与差的正弦、余弦和正切公式

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案

自主梳理1．(1)两角和与差的余弦

cos(α＋β)＝_____________________________________________，

cos(α－β)＝_____________________________________________.

(2)两角和与差的正弦

sin(α＋β)＝_____________________________________________，

sin(α－β)＝_____________________________________________.

(3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π

2，k∈Z)

tan(α＋β)＝_____________________________________________，

tan(α－β)＝_____________________________________________.

其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中

??

?

??cos φ＝，

sin φ＝，

tan φ＝

b

a，

角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）．

【基础自测】

1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于()

A.

1

2 B.

3

3 C.

2

2 D.

3

2

2．已知cos????

α－

π

6＋sin α＝

43

5，则sin?

?

?

?

α＋

7π

6的值是() A．－

23

5 B.

23

5C．－

4

5 D.

4

5

3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是()

A.

π

2B．πC．2πD．4π

4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是()

A.????

π

3，

π

2 B.?

?

?

?

π

3，π

C.????

π

3，

4π

3 D.?

?

?

?

π

3，

3π

2

5．已知向量a

r

＝(sin x，cos x)，向量b

r

＝(1，3)，则|a

r

＋b

r

|的最大值为()

A．1 B. 3 C．3 D．9

【考点巩固】

探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值)

例

1

求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π

6

＋

θ)＋3tan(π6－θ)tan(π

6＋θ)．

探究点2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)

例

2

已知0<β<π4<α<3π4

，cos ????π4－α＝3

5， sin ????3π4＋β＝5

13，求sin(α＋β)的值．

变式迁移 已知tan ????π4＋α＝2，tan β＝12

. (1)求tan α的值； (2)求sin (α＋β)－2sin αcos β

2sin αsin β＋cos (α＋β)

的值．

探究点3 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)

例

3

已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝2

10

.

(1)求sin α的值； (2)求β的值．

变式迁移 若sin A ＝55，sin B ＝10

10

，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．

【课后自主检测】

1．已知sin ????α＋π3＋sin α＝－435

，则cos ????α＋2π3等于 ( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45

2．已知cos ????α＋π6－sin α＝233

，则sin ????α－7π6的值是 ( ) A ．－233 B.233 C ．－23 D.23

3．已知向量a r ＝????sin ????α＋π6，1，b r ＝(4,4cos α－3)，若a r ⊥b r

，则sin ?

???α＋4π3等于 A ．－34 B ．－14 C.34 D.1

4

4．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )

A ．x ＝5π4

B ．x ＝3π

4

C ．x ＝－π4

D ．x ＝－π

2

5．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( ) A.π6 B.56π C.π6或56π D.π3或23

π 6．设sin α＝35 ????π2<α<π，tan(π－β)＝1

2

，则tan(α－β)＝________. 7．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈????－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，

α＋β的值为________．

8． (1)已知α∈????0，π2，β∈????π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－5

13

.求sin α；

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1

7

，求2α－β的值．

9.（2013广东高考16题）已知函数()2cos 12f x x π?

?=- ??

?,x ∈R .

(1) 求6f π??- ???的值； (2) 若3cos 5θ=,3,22πθπ??∈ ???,求23f πθ?

?+ ??

?．

10．设函数f (x )＝a r ·

b r ，其中向量a r ＝(2cos x,1)，b r

＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R . (1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈???

?－π3，π

3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》答案

【基础自测】1．A 2.C 3.B 4.C 5.C 例1 解 (1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°

sin 70°

＝

3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°

sin 70°＝ 3.

(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π

6＋θ)＝ 3.

例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧． 解 cos ????π4－α＝sin ????π4＋α＝35， ∵0<β<π4<α<3π

4，

∴π2<π4＋α<π，3π4<3π

4

＋β<π. ∴cos ????π4＋α＝－1－sin 2????π4＋α＝－45， cos ????3π4＋β＝－1－sin 2????3π4＋β＝－1213

. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ???

?????π4＋α＋????3π4＋β ＝sin ????π4＋αcos ????3π4＋β＋cos ????π4＋αsin ????3π

4＋β ＝35×????－1213－45×513＝－5665

. ∴sin(α＋β)＝56

65.

变式迁移2 解 (1)由tan ????π4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝1

3.

(2)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)

＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝－(sin αcos β－cos αsin β)cos αcos β＋sin αsin β＝－sin (α－β)cos (α－β)

＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β

1＋tan αtan β

＝－13－121＋13×12

＝17.

例3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是????0，π

2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为????－π2，π

2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角．

解 (1)∵tan α2＝1

2，

∴sin α＝sin ????2·α2＝2sin α2cos α2 ＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×

121＋???

?122＝4

5.

(2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝3

5.

又0<α<π

2

<β<π，∴0<β－α<π.

由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝72

10.

∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝

7210×35＋210×45＝25250＝2

2. 由π2<β<π得β＝34

π. (或求cos β＝－22，得β＝3

4π)

变式迁移3 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝10

10

， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－

25

＝－25

5，

cos B ＝－

1－sin 2B ＝－310＝－310

10.

∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×????－31010－55×1010＝22.①

又∵π2

2

∴π

由①②，知A ＋B ＝7π

4

.

【课后自主检测】参考答案

1．D 2.D 3.B 4.A 5.A

6.－211

7.3 －23

π

8．解 (1)∵β∈????π2，π，cos β＝－513

， ∴sin β＝12

13.…………………………………………………………………………(2分)

又∵0<α<π2，π

2

<β<π，

∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)

＝－

1－????33652＝－56

65

，…………………………………………………………(4分) ∴sin α＝sin[(α＋β)－β]

＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝3365·

????－513－????－5665·1213＝3

5.…………………………………………………………(6分) (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]

＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝1

3

，……………………………………………………(8分) ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]

＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝13＋12

1－13×1

2＝1.……………………………………………………(10分) ∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－1

7

<0，

∴0<α<π4，π

2

<β<π，

∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π

4

.……………………………………………………(12分)

9. 解 (1)2221661244f πππππ??????

-=--=-== ? ? ???????

； (2) 22222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ?

?

???

?+

=+-=+=- ? ? ??

????

?

因为3cos 5θ=,3,22πθπ??∈ ???,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-

,227cos 2cos sin 25

θθθ=-=- 所以23f πθ??+ ???cos2sin 2θθ=-72417252525??=---= ???. 10．解 (1)依题设得f (x )＝a r ·b r =2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ?

???2x ＋π6＋1. 由2sin ?

???2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ????2x ＋π6＝－32

.………………………………………………………(3分) ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6

. ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4

.…………………………………………………………(6分) (2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2

＋2k π (k ∈Z )， 即－π3＋k π≤x ≤π6

＋k π (k ∈Z )， 得函数单调增区间为???

?－π3＋k π，π6＋k π (k ∈Z )………………………………(10分) 列表：

x

0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y 2 3 2 0 －1 0 2

……………………(14分)