2012高三数学一轮复习单元练习题：立体几何(2)

2012高三数学一轮复习单元练习题：立体几何（Ⅱ）

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的

括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.

1．一条直线与一个平面所成的角等于?，另一直线与这个平面所成的角是?. 则这两条直

36 线的位置关系 （ ） A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行

2．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥 体被截面所分成的两部分的体积之比为 （ ）

A．1∶3

B．1∶9

C．1∶33

D．1∶(33?1)

3．正方体ABCD?A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正 方体的过P、Q、R的截面图形是

（ ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ） A．75° B．60° C．45° D．30° 5．对于直线m、n和平面?，下面命题中的真命题是

（ ）

A．如果m??,n??,m、n是异面直线，那么n//? B．如果m??,n??,m、n是异面直线，那么n与?相交 C．如果m??,n//?,m、n共面，那么m//n

D．如果m//?,n//?,m、n共面，那么m//n

6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（EF

A．有最小值的一个变量 B．有最大值的一个变量

C．没有最值的一个变量

D．是一个常量

7．已知平面?与?所成的二面角为80°，P为?、?外一定点，过点P的一条直线与?、? 所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有 （ ）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

8．如图所示，在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细线AM、 BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行 于横梁，木条中点为O，若木条绕O的铅垂线旋转60°，则木条 比原来升高了（ ）

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A．10cm B．5cm C．103cm D．53cm

9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的 边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各 面）是（ ）

A．258 C．222

B．234 D．210

10．在半径为R的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好

都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面 运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）

78337?R6 A．2?R B．?R C．?R D．

11．底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面

内），此棱柱体积的最大值 A．

4(4?73)94(4?73)9ah

2 B．

4(7?43)94(7?43)92

ah

（ ）

C．ah

2D．ah

212．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为

（ ） A．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.

13．某地球仪上北纬30纬线的长度为12?cm，该地球仪的半径是__________cm，表面积是

______________cm.

14．如图，矩形ABCD中，DC=3，AD=1，在DC上截取DE=1，

将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落

D1 C1 A1

D

C B

A 第15题图

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2

3?263 B．2+263 C．4+263 D．43?263

? 在AC上时，二面角D1—AE—B的平面角的余弦值 是 . 15．多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图， 正方体的一个顶点A在平面?内，其余顶点在?的 同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到?的距 离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的

B1

?

一个，则P到平面?的距离可能是：

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________. （写出所有正确结论的编号） ．．

16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌注 CA1 一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据 B1 倾斜度的不同，有下列命题：

D （1）水的部分始终呈棱柱形；

（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；

F C A （3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；

E （4）当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值。

B 其中所有正确命题的序号是 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本 大题共6个大题，共74分）. 17．（12分）在平面α内有△ABC，在平面α外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA、SB与平面α

所成角相等.

（I）求证：AC=BC；

（II）又设点S到α的距离为4cm，AC⊥BC且AB=6cm，求S与AB的距离.

18．（12分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，

AB=b，CD⊥AB．

（I）求证EFGH为矩形；

（II）点E在什么位置，SEFGH最大? 19．（12分）设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC= ∠DBC=120°. 求：

（I）直线AD与平面BCD所成角的大小； （II）异面直线AD与BC所成的角的大小；

（III）二面角A－BD－C的平面角正切值大小. 20．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得

BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E—BC—A正切值的大小. P

A

D

B C

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21．（12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD

（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；

（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角； （III）求直线AB与平面PCD的距离．

22．（14分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=

12AB=a（如图9－7－12

（1）），将△ADC沿AC折起，使D到D′，记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为?. （I）若二面角α－AC－β为直二面角（如图9－7－12（2）），求二面角β－BC－?的大小； （II）若二面角α－AC－β为60°（如图9－7－12（3）），求三棱锥D′一ABC的体积．

参考答案（3）

一、选择题

1．D；2．D；3．D；4．C；5．C；6．D；7．D；8．A；9．C；10．B；11．B；12．B； 二、填空题

13．43，192?；14．2?3；15．①③④⑤；16．①③④；

三、解答题 17．（1）证明：过S作SO⊥面ABC于O

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?S到AB的距离为4?3=5cm.

22

又∵AB⊥CD?EF⊥FG?EFGH为矩形. （2）AG=x，AC=m，

GH

aGF

??xmm?xm，GH=

?amx

GF=

bmabm2m?xmbmb（m－x）

SEFGH=GH·GF= =

abm2am2

x·（m－x） （－x+mx－

?m422

（mx－x）=

m2m4.

2+

m42）=

abm2［－（x－

m2）+

2

m42］

当x=时，SEFGH最大=

abm2?ab419．解：（1）如图9－7－3所示，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，连结DH，

故∠ADH为直线AD与平面BCD所成的角.

由题设知，△AHB≌△DHB，则DH⊥BH，AH=DH. ∴∠ADH=45°为所求.

（2）∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，

∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°.

（3）过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知AR⊥BD，故∠ARH为

二面角A－BD－C的平面角的补角. 设BC=a，则由题设得AH=DH=

3432a，BH=

12a，BD=BC=a. AHHR 在△HDB中，求得HR=a.∴tan∠ARH==2.

故二面角A－BD－C的正切值大小为－2.

20．若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有

BE⊥CE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。 设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，易知OM⊥平面PAD，作ME⊥PD交PD于点E，连结OE，

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则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离，又因为OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外，所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可。

由于△DEM∽△DAP，可求得ME= 4R16?4R2 ， 所以OE=9+

2

4R224?R令OE≤R，

22

即9+

4R224?R≤R ，解之得R≥23；

2

所以AD=2R≥43，所以AD的取值范围[ 43，+∞)，

当且仅当AD= 43时，点E在线段PD上惟一存在，此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为

12。

21．（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB

又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB ∴BC⊥侧面PAB 又∵BC?侧面PBC ∴侧面PAB⊥侧面PBC）

（II）解：取AB中点E，连结PE、CE 又∵△PAB是等边三角形 ∴PE⊥AB 又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角

PE?32BA?3CE?BE2

?BC2?3

在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求 （Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD

∵CD?侧面PCD，AB?侧面PCD，∴AB//侧面PCD 取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB

又∵PE⊥AB ∴AB⊥平面PEF 又∵AB//CD ∴CD⊥平面PEF ∴平面PCD⊥平面PEF 作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD

在Rt△PEF中，EG=

PE?ECPF?305为所求.

222．解：（1）在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，∴AC=

由AB=2a，可推得BC=AC=

2a，∠CAB=45°.

a，∴AC⊥BC.

取AC的中点E，连结D′E，如图9－7－13，则D′E⊥AC.

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∵二面角α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β.

又∵BC?平面β，∴BC⊥D′E. ∴BC⊥α.而D′C?α，∴BC⊥D′C. ∴∠D′CA为二面角β－BC－?的平面角. 由于∠D′CA=45°，∴二面角β－BC－?为45°.

∴AC⊥OE.∴∠D′EO为二面角α－AC－β的平面角.∴∠D′EO=60°.在Rt△D′OE中，D′E=

12 （2）如图9－7－14，取AC的中点E，连结D′E，再过D′作D′O⊥β，垂足为O，连结O E.∵AC⊥D′E，

AC=

1322a，D′O=D′E·sin60°=

22a?32?64a.?VD??ABC?D?O?13S△

ABC

·D′O=×

16

12AC·BC·D′O=×2a×2a×

64a=

612a.

3

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