高三数学专题复习 4-4参数方程与极坐标（例题习题答案强烈推荐）

高考专题讲座—《极坐标与参数方程》

一.

1.[2014·衡阳模拟] 已知曲线C的极坐标方程为ρ

2.[2014·重庆卷] 已知直线l??x＝2＋t，

的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴

?y＝3＋t?

2

＝4cos θ.若以极点为原点，极轴为x轴的

正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．

★3.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )

1π1π

A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤

cos θ＋sin θ2cos θ＋sin θ4ππ

C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤

24

二.

π??π??4.[2014·陕西卷] C．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点?2，?到直线ρsin?θ－?＝1

6?6???的距离是________．

?x＝2cos α，

5.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系

?y＝3sin α

xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴)中，直线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点的个数为________．

π??★6.[2014·湖南长郡中学月考] 在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4 2cos?θ－?，以极点为坐标4??

??x＝－1＋acos θ，

原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆C2的参数方程为?(a＞0，

?y＝－1＋asin θ?

θ为参数)．若圆C1与圆C2外切，则实数a＝____________．

??x＝2＋cos α，π

7.[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：?(α为参数)

4?y＝1＋sin α?

交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．

三.8.[2014·福建卷] 已知直线

l??x＝a－2t，

的参数方程为?(t为参数)，圆

??y＝－4tC的参数方程为

??x＝4cos θ，?(θ为参数)． (1)求直线l和圆C的普通方程； ?y＝4sin θ?

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

9.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标ππ

为(2，)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝a，且点A在直线l上．

44

(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；

??x＝1＋cosα，(2)圆C的参数方程为?(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．

?y＝sinα.?

?x＝2－t，

10.(2013·福建泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数)，P，Q

?y＝3t

分别为直线l与x轴，y轴的交点，线段PQ的中点为M.

(1)求直线l的直角坐标方程； (2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标和直线OM的极坐标方程．

★11.[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程

22

将圆x＋y＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

12.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程

?π?为ρ＝2cos θ，θ∈?0，?.

2??(1)求C的参数方程； (2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)

中你得到的参数方程，确定D的坐标．

?x＝3－22t，

四. 13.(2013·海南省模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?

2

y＝5＋t.?2

方程为ρ＝25sinθ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.

(t为参数)，在

极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的

?x＝1－2t，

14.直线?(t为参数)上到点A(1,2)的距离为42的点P的坐标为________．

?y＝2＋2t.

★15.(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l是过点P(－1，2)，方向向量为n＝(－1，3)的直线，圆Cπ的方程为ρ＝2cos(θ＋)．

3

(1)求直线l的参数方程； (2)设直线l与圆C相交于M，N两点，求|PM|·|PN|的值．

1ππ16.已知直线l经过点P(，1)，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－)．

264

(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程； (2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

五. ★17.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-4：坐标系与参数方程

??x＝2＋t，

已知曲线C：＋＝1，直线l：?(t为参数)．

49?y＝2－2t?

x2y2

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

18.过点P(

10

，0)作倾斜角为α的直线l与曲线x2＋2y2＝1交于点M、N，求|PM|·|PN|的最小值及相应2

的α的值．

?x＝3cosα，

19.(2013·长春市二调)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α为参数)，若以原点

?y＝sinα

π

O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝42.

4

(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．

??x＝－3＋2t，

20.已知P是曲线C：x＋y－2x＋4y－4＝0上任一点，Q是直线l：?(t为参数)上任一点，

??y＝2＋t.

2

2

则|PQ|的最小值为________．

21.(2013·银川一中月考)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2＋y2＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系， 已知直线l：ρ(2cosθ－sinθ)＝6.

(1)将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3倍、2倍后得到曲线C2.试写出曲线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；

(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

??x＝1＋cosθ，

22.已知圆M：?

??y＝sinθ.

??x＝2pt，

(θ为参数)的圆心F是抛物线E：?

?y＝2pt.?

2

的焦点，过F的直线交

抛物线于A、B两点，求|AF|·|FB|的取值范围．

极坐标与参数方程

一、极坐标知识点

?x????x,(??0),1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?:?的作用下，

?y???y,(??0).?点P(x,y)对应到点P?(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的______，记为?；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的?xOM叫做点M的____，记为?。有序数对(?,?)叫做点M的_________，记为M(?,?).

极坐标(?,?)与(?,??2k?)(k?Z)表示同一个点。极点O的坐标为(0,?)(??R).

4.若??0,则???0,规定点(??,?)与点(?,?)关于极点对称，即(??,?)与(?,???)表示同一点。

如果规定??0,0???2?，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(?,?)表示；同时，极坐标(?,?)表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化：

(1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式:

6.特殊曲线的极坐标方程：

（1）直线过极点 （在极坐标系中，???(??0)表示以极点为起点的一条射线；???(??R)表示

过极点的一条直线.

（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过M(b,)且平行于极轴

（4）当圆心位于极点，r为半径 （5）当圆心位于C(a,0)(a>0),a为半径 （6）当圆心位于C(a,二、参数方程知识点

1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数

?2?2)(a?0)，a为半径

?x?f(t), 并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方?y?g(t),?程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程

（1）圆(x?a)?(y?b)?r的参数方程可表示为_____________________.

222x2y2（2）椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程可表示为________________________.

ab（3）抛物线y?2px的参数方程可表示为_________________.

（4）经过点MO(xo,yo)，倾斜角为?的直线l的参数方程可表示为____________________

. 这时，参数t的几何意义是以直线l上点M(x0，y0)为起点，任意一点N(x，y)为终点

2→

的有向线段MN的数量MN且|t|＝____________

一.

??x＝2＋2cos θ，

1. .?(θ为参数) [解析] 由曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，可得其

?y＝2sin θ?

??x＝2＋2cos θ，＋y＝4x，即(x－2)＋y＝4，所以曲线C的参数方程为?(θ为参数)．

?y＝2sin θ?

2

2

2

2

普通方程为x2

2. 5 [解析] 由题意，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程为y＝

??x＝1，

4x，联立直线l与曲线C的方程，解得?所以直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝

?y＝2，?

22

（1－0）＋（2－0）＝5.

3. )A [解析] 依题意，方程y＝1－x的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，整理得ρ＝1π

.因为0≤x≤1，所以 0≤y≤1，结合图形可知，0≤θ≤.

cos θ＋sin θ2

二.

ππ?π?4. [解析] C．点?2，?的极坐标可化为x＝ρcos θ＝2cos＝3，y＝ρsin θ＝2sin＝1，

6?66?π?π?π??即点?2，?在平面直角坐标系中的坐标为(3，1)．直线ρsin?θ－?＝ρsin θcos－ρcos θ

6?6?6??π

sin＝1，即该直线在直角坐标系中的方程为x－3y＋2＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为d6＝

|3－3＋2|1＋（－3）

2

2

＝1.

?x＝2cos α，

5.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系

?y＝3sin α

xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴)中，直线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点的个数为________．

π22

6. [解析] 依题意，ρ＝4 2cosθ－＝4cos θ＋4sin θ，化成普通方程为x＋y＝4x＋4y，

4即(x－2)＋(y－2)＝8，即该圆的圆心为C1(2，2)，半径r1＝2 2.将?

2

2

2

2

2

?x＝－1＋acos θ，?

??y＝－1＋asin θ

(a>0，θ为

参数)化成普通方程为(x＋1)＋(y＋1)＝a，即圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝a.由丙点间两圆外切可得|C1C2|＝3 2＝2 2＋a，所以a＝2.

??x＝2＋cos α，

7. ρcos θ－ρsin θ＝1 [解析] 依题意可设直线l：y＝x＋b，曲线C：?的

?y＝1＋sin α?

普通方程为(x－2)＋(y－1)＝1.由|AB|＝2可知圆心(2，1)在直线l：y＝x＋b上，即l：y＝x－1，所

以l的极坐标方程是ρcos θ－ρsin θ－1＝0.

22

三.8. 解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，

圆C的普通方程为x＋y＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d＝

≤4，

2

2

解得－25≤a≤25.

9.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标ππ

为(2，)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝a，且点A在直线l上．

44

(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；

??x＝1＋cosα，(2)圆C的参数方程为?(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．

?y＝sinα.??x＝2－t，

10. (1)由?得3x＋y－23＝0，

?y＝3t，∴直线l的平面直角坐标方程为3x＋y－23＝0. (2)当y＝0时，x＝2，点P的直角坐标为(2,0)； 当x＝0时，y＝23，点Q的直角坐标为(0,23)． ∴线段PQ的中点M的直角坐标为(1，3)． ∵ρ＝12＋?3?2＝2和tanθ＝π

∴M的极坐标为(2，)．

3

π

∴直线OM的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

3

3

＝3，且x＝1>0，y＝3>0， 1

11. 1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得?

?x＝x1，?

??y＝2y1，

由x1＋y1＝1得

22

y?y?x＋??＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.

4?2?

2

2

2

故C的参数方程为?

2

?x＝cos t，?

??y＝2sin t(t为参数)．

y???x2＋＝1，?x＝1，??x＝0，4(2)由?解得?或? ??y＝0y＝2.????2x＋y－2＝0，

1?1?不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为?，1?，所求直线的斜率k＝，于是所求直2?2?

1?1?

线方程为y－1＝?x－?，

2?2?

化为极坐标方程，并整理得

3

2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.

4sin θ－2cos θ

22

12. (1)C的普通方程为(x－1)＋y＝1(0≤y≤1)． 可得C的参数方程为 ??x＝1＋cos t，?(t为参数，0≤t≤π)． ?y＝sin t，?

(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处

π

的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝.

3

ππ?3??3?故D的直角坐标为?1＋cos，sin?，即?，?. 33???22?

四. 13.

(1)由于圆C的方程为ρ＝25sinθ，

则圆C的直角坐标方程是x2＋(y－5)2＝5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得， t2－32t＋4＝0.

由Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两根

?t1＋t2＝32，

所以?又直线l过点(3，5)，故结合t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.

t2＝4，?t1·

14.

设点P(x，y)，则P(1－2t,2＋2t)，

|PA|＝?1－2t－1?2＋?2＋2t－2?2＝42，解得t＝22或t＝－22，故P(－3,6)或(5，－2)．

?x＝1－22?2t?，

[点评] 直线的参数方程不是标准形式可先化为标准形式，即?2

?y＝2＋2?2t?.

线的参数方程即可求得点P的坐标．

由|2t|＝42得，t＝±22，代入直

15. ∵n＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝3. 2π

?x＝－1＋tcos，?3

∴直线的参数方程为?

2π

y＝2＋tsin??3

2π

(t为参数)，

?x＝－1－1t，

2?

即?

3

?y＝2＋t?2

(t为参数)．

13

(2)∵ρ＝2(cosθ＋sinθ)＝cosθ＋3sinθ，

22∴ρ2＝ρcosθ＋3ρsinθ.

∴x2＋y2－x＋3y＝0，将直线的参数方程代入得t2＋(3＋23)t＋6＋23＝0. ∴|t1t2|＝6＋23，即|PM|·|PN|＝6＋23.

1π?x＝＋tcos，?26

16. (1)直线l的参数方程为?

π

y＝1＋tsin，??6π

由ρ＝2cos(θ－)得ρ＝cosθ＋sinθ，

4

?x＝1＋3t，?22

(t为参数)，即?

1

?y＝1＋t.?2

(t为参数)．

111

所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得(x－)2＋(y－)2＝.

222

?x＝1＋3t

?22(2)把?

1

??y＝1＋2t11

得t2＋t－＝0.

24

111

代入(x－)2＋(y－)2＝中

222

1

由根与系数的关系得t1t2＝－，

4

1

由参数t的几何意义得：|PA|·|PB|＝|t1t2|＝.

4

??x＝2cos θ，

五.17.解：(1)曲线C的参数方程为?(θ为参数)，

?y＝3sin θ?

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离

d＝

5

|4cos θ＋3sin θ－6|， 5

d25

则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，

sin 30°5

4

其中α为锐角，且tan α＝. 3

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为

225

. 5

25

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

5

10??x＝2＋tcosα

18设直线的参数方程为?

?y＝tsinα?

3

(t是参数)，代入曲线方程并整理得，(1＋sin2α)t2＋(10cosα)t＋＝0，设

2

32

M、N对应的参数分别为t1、t2，由参数t的几何意义得|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝，

1＋sin2α

π

所以，当sin2α＝1，即α＝时，

23π

|PM|·|PN|有最小值，此时α＝. 42

19.

x

??3＝cosα，

(1)对于曲线C1有??y＝sinα，?

∴(

x22

)＋y＝cos2α＋sin2α＝1， 3

x22

即C1的方程为＋y＝1.

3

π2

对于曲线C2有ρsin(θ＋)＝ρ(cosθ＋sinθ)＝42?ρcosθ＋ρsinθ＝8?x＋y－8＝0，

42所以C2的方程为x＋y－8＝0.

(2)显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点P(3cosα，sinα)到直线x＋y－8＝0的距离为 π

|2sin?α＋?－8|

3|3cosα＋sinα－8|

d＝＝，

22

π31

当sin(α＋)＝1时，d取最小值为32，此时点P的坐标为(，)．

322

20.[解析] 圆方程化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，其参数方程为?

将直线l化为普通方程为x－2y＋7＝0，

由点到直线的距离公式得， d＝

|?1＋3cosθ?－2?－2＋3sinθ?＋7|

5

?x＝1＋3cosθ，?y＝－2＋3sinθ，

(θ为参数)，设P(1＋3cosθ，－2＋3sinθ)，

＝|3cosθ－6sinθ＋12||35cos?θ＋φ?＋12|

＝ 5512－351

＝(125－3)． 55≥

可用圆的参数方程表示出点P，再用点到直线的距离公式转化为函数最值求解，也可先求出圆心C到直线l的距离d，通过d－r来求等．

21. 第一步，求直线l的直角坐标方程．

(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入直线l的方程中得2x－y－6＝0， 第二步，求曲线C2的参数方程．

?x′＝3x，

由题意知，将C1变换为C2的伸缩变换为?∴

?y′＝2y，x′y′

代入C1中得，()2＋()2＝1，

23x2y2

∴曲线C2的直角坐标方程为＋＝1.

34

?x＝3cosθ，

∴曲线C2的参数方程为?(θ为参数)．

?y＝2sinθ第三步，求P到直线l的距离．

??y′?y＝2，

x＝

x′，3

(2)设点P的坐标(3cosθ，2sinθ)，则点P到直线l的距离为 d＝

|23cosθ－2sinθ－6||4sin?60°－θ?－6|

＝.

55

第四步，得出结论．

3

当sin(60°－θ)＝－1时，dmax＝25，此时点P(－，1)．

2

22.

?x＝1＋cosθ，

[解析] 圆M：?的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，所以F(1,0)．

?y＝sinθ.

2

?x＝2pt，p

抛物线E：?的普通方程是y2＝2px，所以＝1，p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.

2?y＝2pt.

?x＝1＋tcosθ，

设过焦点F的直线的参数方程为?(t为参数)，

?y＝tsinθ.代入y2＝4x，得t2sin2θ－4tcosθ－4＝0. 所以|AF|·|FB|＝|t1t2|＝因为0

所以|AF|·|FB|的取值范围是[4，＋∞)．

4

. sin2θ

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6l56.html