直线与椭圆综合应用（含答案）

1、（北京文科19）已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2?3y2?4上，C在直线l：y=x+2上， 且AB∥l．

（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

解：（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x.

设A，B两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).

?x2?3y2?4,由?得x??1,

y?x?所以

AB?2x1?x2?22.

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离， 所以h?2.S?ABC?1AB?h?2. 2（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m.

?x2?3y2?4,由?得4x2?6mx?3m2?4?0. ?y?x?m因为A，B在椭圆上， 所以???12m2?64＞0.

设A，B两点坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）.

3m3m2?4, 则x1?x2??,x1x2?24

BC?所以

32?6m2AB?2x1?x2?.

2又因为BC的长等于点（0,m）到直线l的距离，即

2?m2.

AC?AB?BC??m2?2m?10??(m?1)2?11.

222

所以

所以当m=-1时，AC边最长.（这时???12?64＞0） 此时AB所在直线的方程为y=x-1.

2、（福建厦门理工学院附中·2010届高三12月考（文））

已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知点A(0,1)和直线l：y?x?m，线段AB是椭圆E的 一条弦且直线l垂直平分弦AB，求点B的坐标和实数m的值．解：（Ⅰ）由2a＝4，得a＝2

c离心率为a32．

＝32，c＝3………………………2分

b2?a2?c2＝1

x2y23、椭圆C:2?2?1(a?b?0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点

abA(2,1)

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l:x?1?y?0与椭圆C交于不同的两点M,N，求MN的值.

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

x2y2（1）由条件a?2b，所以C:2?2?1，代入点(2,1)可得b?2 4bb（2）联立椭圆和直线方程可得直线5x2?8x?4?0，所以

84x1?x2?,x1x2??55，结合相交弦的公式得到结论。

x2y2解：（1）由条件a?2b，所以C:2?2?1，代入点(2,1)可得b?2，4bbx2y2椭圆C的标准方程为??1；

82（2）联立椭圆和直线方程可得直线5x2?8x?4?0，所以 x1?x2?8,x1x2??4 55由相交弦长公式可得MN4、离心率为55?2(x1?x2)2?4x1x2?1225 x2y2的椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分ab别为F1(?1,0)、F2(1,0)，O是坐标原点． （1）求椭圆C的方程；

N，（2）若直线x?ky?1与C交于相异两点M、且OM?ON??31，9求k．(其中O是坐标原点)

【解析】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的综合应用，其中根据已知条件求出椭圆的标准方程是解答本题的关键．

（1）利用椭圆的几何性质可知道参数a,b,c的值，进而求解得到。

?x?ky?1（2）由?2?(5k2?4)y2?8ky?16?0?0 2?4x?5y?20结合韦达定理得到向量的关系式以及参数k的值。解：（1）依题意得

?a2?b2?c2?5?c??5?a??c?1

----------------3分

?a2?5x2y2解得?2，故椭圆C的方程为??1---------654?b?4分 分

（Ⅱ）由??x?ky?122?(5k?4)y?8ky?16?0?0-------722?4x?5y?20?8k?y?y?22?14k?5 ------8设M(x1,y1)，N(x2,y2)则??16?y1y2?24k?5?2分

?20k2?5?x1x2?(ky1?1)(ky2?1)?ky1y2?k(y1?y2)?1? 4k2?5?20k2?1131?OM?ON?x1x2?y1y2??? --------10294k?5分

?k2?1，从而k??1 ------------- 12分

5、椭圆x2y2??1的左、右焦点分别为F1 、F2，直线l经过点F143与椭圆交于A,B两点。 （1）求?ABF2的周长；

（2）若l的倾斜角为?，求?ABF2的面积。

4【解析】本题考查三角形周长的求法和三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，注意椭圆定义、韦达定理在解题中的合理运用． （1）由椭圆的定义，得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，又AF1+BF1=AB，所以，△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a．再由a=4，能导出△ABF2的周长．

（2）由F1（-1，0），AB的倾斜角为? ，知直线AB的方程

42

为

?y?x?1,y=x+1．由 ? ?x2y2?1,???43消去x，得7y-6y-9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理能够求出△ABF2的面积． 解：（1）由椭圆的定义，

得|AF1|?|AF2|?2a，|BF1|?|BF2|?2a， ----------2分 又|AF1|?|BF1|?AB，所以?ABF2的周长 为|AB|?|AF2|?|BF2|?4a。--------4分

又因为a2?4，所以a?2，故?ABF2的周长为8-----5分 （2）由条件，得F1(?1,0)，因为AB的倾斜角为?，所以AB斜

42

率为1，

故直线AB的方程为y?x?1。-----------------6分

?y?x?1,由?消去x，得7y2?6y?9?0， ………………8?x2y2?1,???43分

设A(x1,y1),B(x2,y2)，解得y1?3?672,y2?3?627， …10分

所以S?ABF2?11122122|F1F2|?y1?y2??2??2277…………12分

y2x26、直线l与椭圆2?2?1(a?b?0)交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，已

ab知m?(ax1,by1)，n?(ax2,by2)，若m?n且椭圆的离心率e?椭圆经过点(3,1)，O为坐标原点． 23，又2（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F(0,c)（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：?AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 【解析】(I)由e和椭圆过点(3,1)可得到关于2a,b的两个

方程，从而解出a,b值求出椭圆的方程. (II) 设l的方程为y?kx?3，由已知m?n?0得：

a2x1x2?b2y1y2?4x1x2?(kx1?3)(kx2?3) ?(4?k2)x1x2?3k(x1?x2)?3=0 然后直线方程与椭圆方程联立消y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理建立关于k的方程求出k值.

(III)要讨论AB斜率存在与不存在两种情况.研究当AB斜率存在时，由已知m?n?0，得4x12?y12?0?y12?4x12,又A(x1,y1)在椭圆上， 所以

S?4x122x??1?|x1|?,|y1|?24221,从而证明出

11|x1||y1?y2|?|x1|2|y1|?1为定值. 22?ca2?b23e????aa2 解：（Ⅰ）∵???1?3?1??a24b2 ……2分

∴a?2,b?1 ∴椭圆的方程为y2?x2?1……………34分

（Ⅱ）依题意，设l的方程为y?kx?由

?y?kx?3?2?(k2?4)x2?23kx?1?0 ?y2??x?1?43 显然??0

x1?x2??23k?1,xx? 1222k?4k?4 ………………5分

由已知m?n?0得：

a2x1x2?b2y1y2?4x1x2?(kx1?3)(kx2?3)?(4?k2)x1x2?3k(x1?x2)?3 ?(k2?4)(?1?23k)?3k??3?0 22k?4k?4

解得k??2 ……………………6分

（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x1?x2,y1??y，

2由已知m?n?0，得4x12?y12?0?y12?4x12 又A(x1,y1)在椭圆上， 所以

S?4x122x??1?|x1|?,|y1|?2 422111|x1||y1?y2|?|x1|2|y1|?1 22,三角形的面积为定值．……7分

②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y?kx?t

?y?kx?t?2222?(k?4)x?2ktx?t?4?0 ?y2??x?1?4必须??0 即4k2t2?4(k2?4)(t2?4)?0

?2ktt2?4得到x1?x2?2，x1x2?2 k?4k?4 ………………9分

∵m?n，∴4x1x2?y1y2?0?4x1x2?(kx1?t)(kx2?t)?0 代入整理得：2t2?k2?4 …………10分

S?1|t|1|AB|?|t|(x1?x2)2?4x1x121?k22 …………11分

|t|4k2?4t2?164t2???1k2?42|t| 所以三角形的面积为定

值． ……12分 7、已知椭圆方程为M(0,1)，离心率e?x2y2??1(a?b?0)a2b2，它的一个顶点为

63．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l

的距离为3，求△AOB2面

积的最大值．

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆位置关系的综合运用。 （1）设c?a2?b2，

a?b6?a322?b?1依题意得??ce???a?……2?a?3分 解得?，解得。 ???b?1（2）联立方程组，结合韦达定理和三角形的面积公式得到结论。 解：（1）设c??b?1依题意得??c?e??a?a2?b2，

……………2分

分 分

a2?b26?a3?a?3解得? …………………………3???b?1x2?椭圆的方程为?y2?1. ……………4

3（2）①当AB?x轴时,|AB|?②当AB与x轴不垂直时，

3. ……5分

设直线AB的方程为y?kx?m,A(x1,y1),B(x2,y2)， 由已知|m|1?k2?33,得m2?(k2?1), ……………6

42分

把y?kx?m代入椭圆方程，整理得 (3k2?1)x2?6kmx?3m2?3?0,

?6km3(m2?1)?x1?x2?2,x1x2?. ……………7

3k?13k2?1分

36k2m212(m2?1)?] ?|AB|?(1?k)(x2?x1)?(1?k)[222(3k?1)3k?1222212(1?k2)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1) ??2222(3k?1)(3k?1)12k2?3?2?3?29k?6k?11212?4. (k?0)?3?12?3?69k2?2?6k13,即k??3k2当且仅当

9k2?时等号成立，此时

分

|AB|?2. ……………………………10

③当k?0时,|AB|?此

S?3.…．．11

分 综上所述：|AB|max?2， 积

取

最

分 大

值

时

?AOB面

133|AB|max??. …………………………12222x2y28、已知直线y??x?1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A,B两点。

ab若椭圆的离心率为【答案】AB?8353，焦距为2，求线段AB的长。 3 【解析】本试题主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用。联立方程组，结合韦达定理以及椭圆的几何性质先求解出a,b的值然后利用弦长公式解得AB的长度。 7．(本小题满分10

x2y2分)求以椭圆??1的焦点为顶点，以椭

85圆的顶点为焦点的双曲线的方程．

x2y2【答案】a?3,c?5,b?2则双曲线的方程为??1 32

【解析】本试题主要是考查椭圆方程以及几何性质与双曲线方程的求解的综合运用。根据椭圆的方程为a?8,b?5,x2y2??1可知85则c?3。再结合两者的关系可知双曲线中

x2y2?1 a?3,c?5,b?2,则双曲线的方程为?32解：由椭圆的方程为又因为双曲线以椭圆x2y2??1可知a?8,b?5,则c?3, 85x2y2以椭圆的顶点为??1的焦点为顶点，85焦点，所以可知双曲线中a?x2y2??1 323,c?5,b?2,则双曲线的方程为9、在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0,离之和等于4，设点P的轨迹为C。 （1）求出C的轨迹方程；

（2）设直线y?kx?1与C交于A、B两点，k【答案】（1）（2）k??1 23),(0,?3)的距????????为何值时OA?OB？

y2?x2?1 4【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。 （1）因为点P到两点(0,P的轨迹为C。

符合椭圆的定义，因此可知a,c的值得到椭圆的方程。 （2）设直线与椭圆方程联立方程组，然后结合韦达定理得到根与系数的关系，进而得到k的值。

3),(0,?3)的距离之和等于4，设点

解：（1）y2?x2?1 4 ……（5分）

（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)

?2y2x??1由?得(k2?4)x2?2kx?3?0，??0恒成立 4??y?kx?1??2k?x?x???12k2?4?? ?3?xx?12?k2?4??????????????????OA?OB?OA?OB?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?(kx1?1)(kx2?1)?0

?3(k2?1)?2k2?k2?41?(k?1)x1x2?k(x1?x2)?1??0?k?? k2?422????????1∴当k??时OA?OB

2……（13分）

210、已知椭圆的焦点是F1(?1,0)和F2(1,0)，又过点(1,3)． (1)求椭圆的离心率；

(2)又设点P在这个椭圆上，且|PF1|?|PF2|?1，求?F1PF2的余弦的大小.

x2y213e? ；cos?F1PF2? 【答案】（1）方程为??1， （2）2543【解析】(1)由已知条件可知

2c,然后根据

P(1,3),|PF1|+|PF2|=2a,求出a值，则离心率确定.

(2)根据|PF1|+|PF2|=4, |PF1|?|PF2|?1,|F1F2|=2，根据余弦定理可求出?F1PF2的余弦值.

x2y26??1(a?b?0)11、已知椭圆a2b2的离心率为3，长轴长为23，直线l:y?kx?m交椭圆于不同的两点A、B. （1）求椭圆的方程；

（2）求m?1,且OA?OB?0,求k的值（O点为坐标原点）； （3）若坐标原点O到直线l的距离为大值.

x2?y2?1.【答案】（1）3 32，求?AOB面积的最

（2）

3?k??3

（3）

?当|AB|最大时，?AOB的面积最大值c6?a3S?133?2??222

【解析】（1）依题意得x2?y2?1为3 a?3,，所以c?2,b?1.椭圆方程

（2）直线方程与椭圆方程联立，保证

x1?x2????0,，求出

36k????????k??,xx?01231?3k2，利用OA?OB?0，可得 （3）由原点O到直线l的距离为33m2?(1?k2)2得4.直线方程与

6km3m2?3x1?x2??,x1x2?.22??0,1?3k1?3k，利椭圆方程联立，保证，求出3(k2?1)(9k2?1)12k2|AB|??3?4222222|AB|?(1?k)(x?x)(3k?1)9k?6k?1 21用，可得2?3?1219k2?2?6k利用不等式求出最值.注意k?0的讨论.

解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意

222a?b?c,得b?1. 由

?c6,??a3??a?3? 解得c?2 2分

3分

x2?y2?1.?所求椭圆方程为3 （2）?m?1,?y?kx?1. 设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足方

?x22??y?1?3?y?kx?1程?

22y(1?3k)x?6kx?0, 消去并整理得

……………4分

….. 6分

则有???6k??AO?OB?02?0，x1?x2??6k,x1x2?021?3k 6k2?k?x1?x2??1?1??02?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?1)?(kx2?1)1?3k ?k??33

……………………………………………………8分

|m|1?k2?32 （3）由已知 将y，可得

m2?32(k?1)4 ……9分

?kx?m代入椭圆方程，

222(1?3k)x?6kmkx?3m?3?0. 整理得

??(6km)2?4(1?3k2)(3m2?3)?0(*)

?6km3m2?3?x1?x2?,x1?x2?.221?3k1?3k 2222………….10分

36k2m212(m2?1)?|AB|?(1?k)(x2?x1)?(1?k)[2?]2(3k?1)3k?1 12(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)??2(3k?1)(3k2?1)212k2?3?4?3?9k?6k2?1 ……11分

当且仅当9k2?1k21212?3??4(k?0)12?3?629k?2?6k …12分

k??33，即k??33时等号成立，经检验，满足（*）式

当k?0时，|AB?3

…………………………………….13

综上可知|AB|max?2. 分

? 当|AB|最大时，?AOB的面积

最大值分

S?133?2??222 ……………………………..14

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