第十讲 层次分析和因子分析

第十讲 层次分析和因子分析 第一节 层次分析预测基本问题

AHP是英文Analytic Hierarchy Process的缩写，中文译为层次分析法，这种方法是由美国著名运筹学家，匹兹堡大学教授T.L.Saaty在20世纪70年代中期提出，并在1980年他的明珠《The Analytic Hierarchy Process》中正式确立。

AHP方法是一种多准则预测方法，它把一个复杂的问题表示为有序的递阶层次结构，通过人们的两辆比较、判断和计算，对预测方案的优劣进行排序，这种方法可以统一处理预测中的定性与定量因素，特别适用于无结构问题的建模，例如，可在社会经济系统的预测分析中使用层次分析法，它具有实用性、系统性和简捷性等优点。

AHP方法的表现形式与它深刻的理论内容联系在一起，简单的表现形式使得AHP方法有着广泛的应用领域；深刻的理论内容确立了它在多准则预测领域中的地位。

层次分析法是一种决策思维方式，它把复杂的决策问题分解为各个组成因素，将这些因素按支配关系分组，形成有序的递阶层次结构，通过两两比较的方式，确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断，以决定诸因素相对重要性的总的顺序，层次分析法体现了人们决策思维的基本特征——分解、综合、判断。

AHP方法不仅可以进行定量分析，也可以进行定性分析，它可以把预测过程中的定量与定性因素有机的结合起来，用一种统一的方式进行处理，AHP法改变了最优化技术中只能对定量问题进行处理的局限，因此在资源分配、冲突分析、方案评比、计划评比等问题中均可以使用。当然，仅有20年历史的AHP方法也有着应用上的局限性，主要有以下三个方面：

第一， AHP方法的应用主要是针对那种方案大体确定的问题，即只能从已知方案中选优，

而不能生成方案。

第二， AHP方法得出的结果是粗略的方案排序。对于那种有较高定量要求的问题，单纯用

AHP方法不大合适，如能和别的方法结合起来使用，会获得满意的结果。该方法对于定量要求不高的资源分配问题、成本效益分析等问题，都可以获得较好的结果。

第三， 在使用AHP方法时，无论是设计层次结构，还是结构判断矩阵，人的主观判断、选

择、偏好对结果的影响很大，这使得用HP方法进行预测时，主观成分较大，当然，如果决策者对问题有较深入的认识或采取一些技术措施，也可以克服AHP方法的这一缺陷。

使用AHP方法建立数学模型可以分为四个步骤，即：建立问题的递阶层次结构模型；构造判断矩阵；层次单排序及一致性检验；层次总排序及一致性检验，现分述如下。 一、建立递阶层次结构模型

建立层次结构模型是AHP方法中十分重要的一步，首先把实际问题分解为若干因素，然后按属性的不同把这些因素分成若干组，划分递阶层次结构，一般可分为最高层、中间层和最低层。最高层也称为目标层，这一层中只有一个元素，就是该问题要达到的目标或理想结果。中间层称为准则层，层中的元素为实现决策目标所采取的措施、政策、准则等，准则层不见得只有一层，可以根据问题规模的大小和复杂程度，分为准则层、子准则层。最低层也成为方案层，包括为实现目标可供选择的方案。

递阶层次结构一般有如下特点：

第一， 从上到下顺序地存在支配关系，可用直线段画出，除目标层外，每个元素至少受上

一层一个元素支配；除方案层外，每个元素至少支配下一层次一个元素，一般说来，同一层次及不相邻层次元素之间，不存在支配关系。

第二， 整个递阶层次结构中，层次数目不加限制。

第三， 除最高层只有一个元素外，每一层元素不超过9个，如果问题较复杂，其元素个数

超过9个，可以再划分若干个子层次；

第四， 递阶层次结构是AHP方法中最简单的层次结构式，对于一个复杂问题还可以构造诸

如内部依存的递阶层次结构、反馈层次结构等。递阶层次结构一般形式如10-1所示。

决策目标 目标层A

准则1 准则2 准则K 准则层C

子准则1 子准则2 子准则L 子准则层Cij

方案1 方案2 方案N 方案层P

图10-1 递阶层次结构

二、构造两两比较判断矩阵

建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就确定了，假定上一层次的元素

Ck作为准则，对下一层次的元素A1,A2…An有支配关系，我们的目的是在准则Ck之下，按

它们的相对重要性赋予A1,A2…An相应的权重，或称A1,A2…An在Ck中占的比重，对大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起着重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，在AHP方法中使用的是两两比较法。

针对准则Ck，两个元素Ai和Aj哪一个更重要些？重要多少？我们希望赋予一个数值，AHP方法使用的是1-9的比例标度，它们的意义如表10-1所示。

表10-1 比例标度及其含义 标度值 1 3 5 7 9

2，4，6，8 倒数

含义

表示两个元素相比，具有同等重要性

表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍重要 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强雷重要 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要

如果成对事物的差别介于两者之间时，可取上述相邻判断的中间值 若元素i与元素j重要性之比为aij，那么元素j与元素i重要性之比为aji?1 aij例如，准则是社会经济效益，子准则可分为经济效益、社会效益和环境效益，决策者如果认为经济效益比社会效益明显重要，它们的比例标度取5，则社会效益对经济效益的比例标度就取作1/5，对于n个元素来说，我们可以得到两两比较判断矩阵A，即

A?(aij)n?n (10-1)

显然A应具有如下性质： （1）aij?0 （2）aij?1 （10-2） aji（3）aii?1

我们称A为正互反矩阵。

假设给除了上述问题的正互反矩阵如表10-2所示。

表10-2 正互反矩阵

Ck A1 1 1/5 1/3 A2 5 1 3 A3 3 1/3 1 A1（经济效益） A2（社会效益） A3（环境效益） 由性质（2）和性质（3）可知，对于n阶判断矩阵，仅需对其上（下）三角形元素进行n（n-1）/2次判断。

还应该指出的是：在特殊情况下，A中的元素可以具有传递性，即满足等式

aij?ajk?aik,i,j,k?1…n （10-3）

例如，当元素Ai与Aj相比的重要性比例标度为3，而Aj与Ak的重要性比例标度为2，如果又认为Ai与Ak的重要性比例标度为6，它们之间的关系就满足（10-3）。但是，在实际工作中，我们并不要求判断矩阵A一定满足传递性，即未必有（10-3）式成立。

如果一个正反矩阵A满足：

aij?ajk?aik(i,j,k?1,2…n)

则称A为一致性矩阵。

为什么在AHP方法中选取1-9的标度呢？

第一， 人们在估计成对事物的差别时，用五种判断级别就能很好地表示，即相等、较强、

强、很强、绝对强表示差别程度，如果再细分，可在相邻两极之间插入折衷的提法，共有九个级别，因此，对于大多数决策判断来说，1-9的标度是适用的；

第二， 成对因素比较时，若因素过多，将超出人的能力，7?2个因素是成对因素比较的心

理学极限；

第三， Saaty曾采用不同标度方法进行试验，结果证明表10-1给出的1-9标度最好。 三、层次单排序及其一致性检验 （一） 层次单排序

下述过程称为层次单排序，即在准则Ck下，对元素A1,A2…An的单排序计算； 1. 求正互反矩阵A的最大特征值?max；

2. 利用AW??maxW，解出?max所对应的特征向量W；

3. 将W标准化（归一化）后即为同一层次中，相应于上一层某个因素Ck的相对重要性的排序权值。

4. 层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某元素而言，本层次与之有联系的元素相

对重要性次序的权值。层次单排序要计算判断矩阵A的特征根和特征向量。即计算满足

AW??maxW （10-4）

的特征向量W（取正规化特征向量），其分量Wi为相应元素排序的权值。 （二） 一致性检验

为检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI?(?max?n)/(n?1)，CI称为判断矩阵的一致性指标。为判断矩阵是否具有满意的一致性，还需要判断矩阵的平均随机一致性指标RI。对于1~10阶判断矩阵，RI值为 阶数 RI

当

1 0.00

2 0.00

3 0.58

4 0.90

5 1.12

6 1.24

7 1.32

8 1.41

9 1.45

10 1.49

CR?CI?0.10 (10-5) RI时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性。

四、层次总排序

利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言，本层次所有元素相对重要性的权值，即层次总排序从上到下逐层顺序进行。

如果上一层所有元素A1,A2…Am的总排序已经完成，得到的权值分别为a1,a2…am，且与Ai相应的本层次元素B1,B2……Bn的单排序结果为b1,b2……bn(i?1,2……m)，且若

iiiBj与Ai无联系时，b?0，则层次总排序可按表10-3进行，显然有??aibij?1。

ijj?1i?1nm

表10-3 层次总排序 层次A 层次B B层次总排序 A1 a1 b11 A2 Am am b1m a2 b 21B1 ?abi?1mmii1 B2 b12 b 22 b2m ?abi?1ii2 Bn b 1nb 2n bnm ?abi?1miin 五、层次总排序一致性检验

为评价层次总排序计算结果的一致性，也需计算与层次单排序相类似的检验量，即 CI——层次总排序一致性指标 RI——层次总排序随机一致性指标 其计算公式为：

CI??aiCIi （10-6）

i?1mCIi为与Ai相对应的B层次中判断矩阵的一致性指标。

RI??aiRIi （10-7）

i?1mRIi为与Ai相对应的B层次中判断矩阵的随机一致性指标。

并取

CI (10-8) RI当CR?0.10，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。 CR?第二节 判断矩阵求解方法

层次分析法的主要计算问题是计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。这个计算都有现成的程序，计算也很方便。 一、将判断矩阵A的每一列正规化

aij?aij?ak?1n （i，j=1，2……n）

kj

二、把每一列都正规化后的判断矩阵按行加总

Wi??aij （i，j=1，2……n）

j?1n三、对Wi（i=1，2……n）正规化

Wi?Wi?Wj?1n （i，j=1，2……n）

jT所得到的W?(W1,W2……Wn)维索求的特征向量。

四、计算判断矩阵的最大特征根

?max??i?1n(AW)i nWi(AW)i表示向量AW的第i个元素。

例如：有判断矩阵

?11/71/31/5??71?53? A???31/511/3???51/331??计算其最大特征根及其对应的特征向量。

1. 将判断矩阵每一列正规化，正规化后判断矩阵为：

?0.0625?0.4375??0.1875??0.31252. 正规化后判断矩阵按行求和：

0.08520.03570.0441?0.59660.53570.6618?? 0.11940.10720.0735??0.19880.32140.2206?4W1??a1j?0.2275j?14W2??a2j?2.2316j?14

W3??a3j?0.4874j?14W4??a4j?1.0533j?13. 将向量(W1,W2,W3,W4)正规化：

T?Wi?14i?4W1 0.2275??0.0574W1??Wi?14i其余相同，得所求特征向量：

W?(W1,W2,W3,W4)T?(0.057,0.558,0.122,0.263)T

4. 计算判断矩阵最大特征根?max：

?11/71/31/5??0.057??71??0.558?53???AW???31/511/3??0.122?????51/3310.263????111(AW)1?1?0.057??0.558??0.122??0.263?0.230735(AW)2?7?0.057?0.558?5?0.122?3?0.263?2.35611(AW)3?3?0.057??0.558?0.122??0.263?0.492531(AW)4?5?0.057??0.558?3?0.122?0.263?1.134(AW)i(AW)1(AW)2(AW)3(AW)4?max??????4Wi4W14W24W34W4i?1?1.011?1.056?1.009?1.046?4.1225. 检验一致性，计算：

CI??max?nn?1?4.122?4?0.0407 3而该判断矩阵的平均随机一致性指标RI为： RI=0.90 因此，

CR?CI0.0407??0.045?0.1 RI0.90认为该判断矩阵具有满意的一致性，无需调整。

第三节 层次分析评估预测案例

层次分析法（AHP方法）已广泛应用于经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、

军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等领域。从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析和预测等。下面介绍如何使用AHP方法建模，解决一些评估领域的实际问题。

一、乡镇企业利润留成的使用

企业的留成利润如何使用，要由领导和职工代表大会共同决定，可供选择的方案有三个：

其一，作为奖金发给职工； 其二，扩建集体福利设施；

其三，引进新技术和新装备，问题是如何使用这笔利润，可促进企业进一步发展。 在该问题中提出的三个方案，都是为了更好地调动职工劳动生产积极性，提高企业经济效益，改善职工物质生活，从而促进企业发展。因此，求出方案的排序权值可以理解为利润使用的比率（即所占的百分比），不一定是单纯的方案优劣排序问题。

根据AHP方法建模的步骤，首先要构造一个递阶层次结构（见图10-2），在准则层C和方案层P之间，注意元素之间的支配关系，有关系的元素之间连上一条线。 目标层A

合理利用企业利润 准则层C

调动职工积极性C1 提高企业技术水平C2 改善职工生活条件C3 方案层P

发奖金P1 扩建福利设施P2 图10-2 递阶层次结构图

引进设备P3

构造判断矩阵，求最大特征根及其相对应的特征向量并进行一致性检验。 在构造两两比较判断矩阵时，可以请有代表性的人员或专家进行判断，这些人应具有一定的知识和经验，并且判断力要强。

判断矩阵A-C： A W C2 C3 C1 C1 C2 C3 1 5 3 1/5 1 1/3 1/3 3 1 0.105 0.637 0.258 ?max=3.037，CI=0.019

CR?CI0.019??0.033?0.10 RI0.58判断矩阵C-P：由图10-2可知，C1仅与P1、P2有关；C2仅与P2、P3有关；C3仅与P1、

P2有关，于是有下面的判断矩阵：

C1 P1 P2 C2

P1

1 1/3

P2

3 1

W 0.75 0.25 W 0.167 0.833 W 0.667 0.333

?max?2CI?0 CR?0P2

1 5

P3

1/5 1

?max?2CI?0 CR?0P2 P3 C3

P1

1 1/2

P2

2 1

?max?2CI?0 CR?0P1 P2

各方案对目标A的层次总排序由表10-4给出。

表10-4 层次总排序

层次C 层次P C1 0.105 0.75 0.25 0 C2 0.637 0 0.167 0.833 C3 0.258 0.667 0.333 0 层次P的总排序 0.251 0.218 0.531 P1 P2 P3 总排序权值的一致性检验，由式（10-6）可得：

CI?0.105?0?0.637?0?0.258?0?0

同理：CR=0对于企业合理利用利润，促进企业发展所考虑的三种方案，其相对优先排序为P3>P1>P2(>表示“优于”)。表10-4中的排序权值可以理解为使用利润的分配比例，即引进设备占53.1%，发奖金占25.1%，用于改善福利设施占21.8%。

二、技术型无形资产评估模型

（一）选择无形资产评估指标的原则 对同一评估对象，其评估指标的选择方案并不是唯一的。怎样才能正确合理地选出评估指标体系？一般来说，选择评估指标应考虑如下原则：

1.针对性原则。选择评估指标，应针对评估对象的特点。特点不同，指标也应不同。例如，评估一项专利技术与评估一家企业的商誉，评估一个商标与评估一项专有技术，它们各有不同的用途和特点。因此，对这些对象的评估也应该用各不相同的指标。即使评估对象都是专利，对发明权、实用新型和外观设计也会因其功能特点不同，选择的评估指标也不完全相同。

2.目的性原则。选择一项资产的目的不同，所采用的评估方法可能不同，从而选择的评估指标也往往不同。例如从资产价值补偿为目的而进行无形资产评估时，一般采用“成本法”；对同一项无形资产，若以投资、转让为目的进行评估时，则多采用“收益法”。

3.主要性原则。例如评估一家企业的商誉、职工素质或经营状况等，可能会有众多的因素都能不同程度地反映评估对象的优劣状况，应从中选择能起关键作用而且具有代表性的因素作为指标，尽量避免繁琐。

4. 匹配性原则。匹配性原则一方面是指应使所选指标体系能够全面反映评估对象的各方面特征而避免遗漏；另一方面是指应避免不同指标重复反映同一特征，造成指标作用的重叠。这就需要仔细研究影响被评估对象的各种因素之间的内在联系，妥善选择。

5.可度量原则。指标应易于定量评价。为此，应尽量选用确定性指标。当必须选用模糊性指标时，应尽量选择易于定量评价者。

6.客观性原则。指标的选择应有利于排除或减少评估人员主观因素的影响，易于找出对指标的客观评价尺度。

7.可比性原则。应尽量采用规范化或通用的指标，以利于横向比较。例如对企业素质的评估，如果各搞一套指标体系去评，评出来的结果就不能用于比较各企业的优劣，因而也就不能公平地据以确定其对企业价值的影响。

（二）技术型无形资产评估指标体系的基本框架

无形资产种类很多，特点鲜明，使得无形资产评估工作相当复杂。我们试图以具有代表性的技术型无形资产为例建立起评估指标体系。根据影响无形资产评估的诸因素分析，将指标体系概括为四大类二十七个方面，如图10-3所示。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6kqt.html