二重积分、三重积分

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

第九章 重积分

教学内容

二重积分、三重积分的概念和性质，二重积分、三重积分的计算和应用。 教学目的、要求

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分中值定理。 2.熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。

3.掌握二重积分在极坐标系下的计算方法，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。

4.会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）。 重点与难点

1重点：二重积分的概念与计算。

2难点：三重积分的计算，重积分的应用。

第一节 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积

设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z f x,y (f x,y 在D上连续)且f x,y 0,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域 1, 2, , n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成n个小曲顶柱体 1, 2, , n。（假设 i所对应的小曲顶柱体为 i,这里 i既代表第i个小区域,又表示它的面积值,

i

既代表第i个小曲顶柱体,又代表它的体积值。）从而V i 。

i 1

n

由于f x,y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是 i f i, i i

n

i, i i 。

整个曲顶柱体的体积近似值为V f i, i i 。为得到V的精确值,只需让这n个

i 1

小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设n个小区域直径中的最大者为 , 则

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V lim f i, i i

0

i 1

n

2、平面薄片的质量

设有一平面薄片占有 xoy 面上的区域D, 它在 x,y 处的面密度为 x,y ,这里

x,y 0,而且 x,y 在D上连续,现计算该平面薄片的质量M。

, n用 记 的直径, 既代表第i个小区域将D分成n个小区域 1, 2, iii

又代表它的面积。 当 max i 很小时, 由于 x,y 连续, 每小片区域的质量可近似地

1 i n

看作是均匀的, 那么第小i块区域的近似质量可取为

i, i i

i, i i ，于是 M i, i i， M

i 1

n

lim i, i i

0

i 1

n

两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这

类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念---二重积分。 3、二重积分的定义

[定义]设f x,y 是有界闭区域D上的有界函数, 将区域D任意分成n个小闭区域：

1, 2, , n, 其中: 既表示第i个小闭区域, 也表示它的面积。在每个 i上任i

取一点 i, i ，作乘积f i, i i i 1,2, ,n ，并作和 f i, i i。如果当各小闭

i 1n

区域的直径中的最大值 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y 在闭区域D上的二重积分，记作 f x,y d ，即

D

f f x,y d lim

D

0

i 1

n

i

, i i

其中: f x,y 叫做被积函数；f x,y d 叫做被积表达式；d 叫做面积元素；x与y叫做积分变量；D叫做积分区域； f i, i i叫做积分和。

i 1n

若f x,y 在闭区域D上连续, 则f x,y 在D上的二重积分存在。

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由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d 记作dxdy (并称dxdy为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为

f x,y dxdy。

D

若f x,y 0,二重积分表示以z f x,y 为顶,以D为底的曲顶柱体的体积。如果

f x,y 是负的，柱体就在xoy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。如果f x,y 在D的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把xoy面上方的柱体体积取成正，xoy下方的柱体体积取成负，则f x,y 在D上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。 二、二重积分的性质

二重积分与定积分有相类似的性质 1、【线性性】 D

其中:

[ f(x,y) g(x,y)]d f(x,y)d g(x,y)]d

D

D

, 是常数。

2、【对区域的可加性】若区域D分为两个部分区域D1与D2,则

f(x,y)d f(x,y)d f(x,y)d

D

D1

D2

3、若在D上, f x,y 1, 为区域D的面积,则：

1d d

D

D

几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

4、若在D上,f(x,y) (x,y),则有不等式：D

f(x,y)d (x,y)d

D

f(x,y)d f(x,y)d f(x,y) f(x,y) f(x,y)DD特别地,由于，有：

5、【估值不等式】

设M与m分别是f x,y 在闭区域D上最大值和最小值, 是D的面积,则

m f(x,y)d M

D

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6、【二重积分的中值定理】

设函数f x,y 在闭区域D上连续, 是D的面积,则在D上至少存在一点 , ,使得

f(x,y)d

D

f( , )

【例1】估计二重积分

I (x2 4y2 9)d

D

22

的值, D是圆域x y 4。

解: 求被积函数 f(x,y)=x2+4y2+9在区域D上的最值：

于是有36 9 4 I 25 4 100

f

max

25f 9

,min,

【例2】比较积分ln(x y)d 与[ln(x y)]2d 的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶

D

D

点各为(1,0),(1,1),(2,0)。 解：三角形斜边方程x

y 2，在D内有1 x y 2 e,故ln(x y) 1, 于是

D

2

ln(x y) ln(x y) ,因此 ln(x y)d [ln(x y)]2d 。

D

第二节 二重积分的计算法

利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。 一、利用直角坐标计算二重积分

如果积分区域D为X－型： 1(x) y 2(x)，a x b， 1(x)、 2(x)在区间 a,b 上连续。 f x,y d 的值等于以D为底，以曲面z f x,y 为顶的曲顶柱体的体积应用

D

计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得：

f(x,y)d

D

b

a

dx (x)f(x,y)dy.

1

2(x)

如果积分区域D为Y－型： 1(y) x 2(y),c y d， 1(y)、 2(y)在区间 c,d 上连续。

D

f(x,y)d cdy (y)f(x,y)dx 。

1

d

2(y)

X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.如果积分区

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域既不是X型区域，又不是Y型区域，则可把D分成几部分，使每个部分是X型区域或是Y型区域，每部分上的二重积分求得后，根据二重积分对于积分区域具有可加性，它们的和就是在D上的二重积分。

【例1】改变积分

1

1 x

dx

1

f(x,y)dy的次序.

解：原式 dy 00

【例2】改变积分解：原式

11 y

f(x,y)dx.

2x x0

dx

02 y

f(x,y)dy 1dx 0

22 x

f(x,y)dy的次序.

dy

1

1 1 yf(x,y)dx.

【例3】计算 xyd , 其中D是由抛物线y2 x及直线y x 2所围成的区域。

D

解：(法一)D1:0 x 1, x y x , D2:1 x 4,x 2 y x

xyd xyd xyd

D

D1

D2

dx

1x

xyd dx

1

4x

x 2

45

xyd

8

(法二)D: 1 y 2,y2 x y 2 , xyd dy 2xydx

D

1

y

2y 2

45 8

【例4】求解:

2 yx edxdy，其中D是以(0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形. D

2

e

y2

dy无法用初等函数表示， 积分时必须考虑次序。

1

y

2 y2

2 y

x edxdy 0dy 0xe

2

dx 0e

1 y2

D

y3

3

0e

1 y2

y2212 (1 ). 66e

注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，即要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f x,y 的特性。

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2222

z x 2yz 6 2x y【例5】求由曲面及所围成的立体的体积。

22

D:x y 2 解:立体在xoy面的投影区域为：

V [(6 2x2 y2) (x2 2y2)]d

D

23

(6 3x 3y)d D

dx

2

2 x2 x 6 3x

2

3y2 dy 6

二、利用极坐标计算二重积分

i ( i i)2 i i i (2 i i) i i

1212

2

12

i ( i i)

D

2

f(x,y)dxdy f( cos , sin ) d d .

D

i i i i i,

极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。

【情形一】D: 1( ) 2( ), ，其中函数 1( ), 2( )在[ , ]上连续。

f( cos , sin ) d d d

D

1

2

f( cos , sin ) d

【情形二】D:0 ( ), ，极点O在区域D的边界曲线上。

D

f( cos , sin ) d d d

f( cos , sin ) d

【情形三】D:0 ( ),0 2 ，极点O在区域D的内部。

f( cos , sin ) d d

D

2

d

f( cos , sin ) d

【例6】将下列区域用极坐标变量表示

22D:x y 2y

1、1

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解：D1:0 2sin ,0

22

D: R x R,R y R R x22、

解：D2:

R 3

2Rsin , sin 44

【例7】计算

e

D

x2 y2

dxdy，其中D 是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.

解：在级坐标系下，D:0 a,0 2

2

a

x

e D

2

y2

dxdy e d d d e d

2

22

1 e a

D

00

注意：本题如果用直角坐标计算，由于积分 e xdx不能用初等函数表示，所以算不出来。我们可以利用上面的结果来计算工程上常用的反常积分 e xdx 。

0

2

2

设D1 x,yx2 y2 R2,x 0,y 0 ，S x,y0 x R,0 y R

D2

2

x,y x

y2 2R2,x 0,y 0 ，显然，D1 S D2

2

而被积函数满足 e

x2 y2

0,故 D

2

2

x y x y x y

edxdy edxdy edxdy

1

22222

S

D2

再利用例7的结果有D

x y

edxdy

1

(1 e R) e x ydxdy (1 e 2R)

44D

, ,

2

222

2

e

S

x2 y2

RR

dxdy dx e

2

x2 y2

R

dy edx edy

R

2

x2

R

y2

R

2

2

e xdx e ydy e xdx e xdx e xdx 0 0 0 0 0

2

2

RRR

R

(1 e R

4故不等式改写成 ： 4

2

2

R x2 R 2R2

) edx (1 e)

44 0

2

x2 x2

I edx edx

4, 即 2 。 0所以当R 时有 0

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注意：使用极坐标变换计算二重积分的原则：

(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

22

(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含(x y), 为实数 )。

第三节 三重积分

一、三重积分的概念

[定义] 设f x,y,z 是空间有界闭区域 上的有界函数,将 任意地分划成n个小区域

v1, v2, , vn,其中 v表示第i个小区域,也表示它的体积。在每个小区域 vi上任取一i

点 i, i, i , 作乘积f i, i, i vi， i 1,2, ,n ，并作和式 f i, i, i vi。如果当

i 1n

各小闭区域直径中的最大值 趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y,z 在闭区域 上的三重积分。记作 f x,y,z dv，即 f x,y,z dv lim f i, i, i vi

n

0

i 1

其中dv叫体积元素。

自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成dxdydz。

若函数在区域上连续, 则三重积分存在。

特别指出:二重积分的一些术语、性质可相应地移植到三重积分。

如果f x,y,z 表示某物体在 x,y,z 处的质量密度, 是该物体所占有的空间区域,且

f x,y,z 在 上连续,则和式 f i, i, i vi就是物体质量M的近似值, 该和式当

i 1

n

0时的极限值就是该物体的质量M，故M f x,y,z dv。特别地, 当f x,y,z 1

时, dv 的体积 。

二、三重积分的计算

1、利用直角坐标计算三重积分

在xoy面上的投影区域为Dxy, 过Dxy上任意一点, 作平行于z轴的直线穿过

内部, 与 边界曲面相交不多于两点。 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲

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面。S1:

z z1(x,y) ,S2:z z2(x,y)，其中z1(x,y), z2(x,y)在D上连续, 并且

xy

z1(x,y) z2(x,y)。 x,y,zz1 x,y z z2 x,y , x,y Dxy ，

若Dxy x,yy1 x y y2 x ,a x b ，则三重积分可化为如下三次积分：

f x,y,z dv dx

a

b

y2 x

y1 x

dy

z2 x,y

z1 x,y

f x,y,z dz

这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量z, 次对y,最后对x的三次积分。

如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域 内部的直线与 的边界曲面S相交不多于两点，也可把闭区域 投影到yoz面上或xoz面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分。如果平行于坐标轴且穿过闭区域 内部的直线与边界曲面S的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法, 将 分成若干个部分,(如 1, 2),使在 上的三重积分化为各部分区域( 1, 2)上的三重积分之和,当然各部分区域 ( 1, 2) 应适合对区域的要求。

【例1】计算 xyzdxdydz, 其中 为球面x2 y2 z2 1及三坐标面所围成的位于第一卦

限的立体。

解: x,y,z 0 z x2 y2,0 y x2,0 x 1

xyzdxdydz dx

1

x2

dy

1 x2 y2

xyzdz

1

48

计算三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即所谓截面法。有下述计算公式。

设空间闭区域 x,y,zx,y Dz,c1 z c2

其中Dz是竖标为z的平面截闭区域 所得到的一个平面闭区域，则有：

f x,y,z dv dz f x,y,z dxdy

c1

Dz

c2

【例2】计算三重积分 zdxdydz，其中 为三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区

域.

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解（一） zdxdydz zdz dxdy, Dz {(x,y)|x y 1 z}

Dz

11112 z (1 z)dz 原式. dxdy (1 z)(1 z) 02422Dz

1

解（二） zdxdydz zdz

11 z

dy

1 y z

dx

11 z112

z (1 z)dz 。 zdz(1 y z)dy 02 0 0

24

1

【例3】区域.

cx2y2z2

解： {(x,y,z)| c z c,2 2 1 2 ， 原式 z2dz dxdy,

cabc Dz

x2y2z2

计算三重积分 zdxdydz，其中 是由椭球面2 2 2 1所成的空间闭

abc

2

x2y2z2

Dz {(x,y)|2 2 1 2

abc

2

cz2z2z2z2242

dxdy a(1 2) b(1 2) ab(1 2) ab(1 2)zdz abc3

ccc15ccDz

2、利用柱面坐标计算三重积分

设M(x,y,z)为空间内一点,该点在xoy面上的投影为P,P点的极坐标为 , ,则

, ,z三个数称作点M的柱面坐标。规定 , ,z的取值范围是：0 ，0 2 ，

z 。柱面坐标系的三组坐标面分别为： 常数,即以z轴为轴的圆柱面； 常数,即过z轴的半平面；z 常数,即与xoy面平行的平面。点M的直角坐标与柱面

坐标之间有关系式为：

x cos

y sin

z z

用三组坐标面 常数, 常数,z 常数,将 分割成许多小区域,除了含 的边

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界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。考察由 , ,z各取得微小增量

d ,d ,dz所成的柱体,该柱体是底面积为 d d ,高为dz的柱体,其体积为：dv d d dz，这便是柱面坐标系下的体积元素, 且有

f x,y,z dxdydz f cos , sin ,z d d dz

这就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。至于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行，其积分限要由 , ,z在 中的变化范围来确定。具体说来，用柱面坐标 , ,z表示积分区域 的方法如下： (1)、找出 在xoy面上的投影区域Dxy, 并用极坐标变量 , 表示之；

(2)、在Dxy内任取一点 , , 过此点作平行于z轴的直线穿过区域, 此直线与 边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成 , 的函数 )即为z的变化范围。 【例4】求下述立体在柱面坐标下的表示形式

222x y z 1与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分。 1 球面

解： 1:,0 z 2,0 1,0

2

22z x y与平面z 1所围成的立体。 2 由锥面

解： 2: z 1,0 1,0 2

【例5】利用柱坐标计算三重积分 zdxdydz,其中 是由曲面z x2 y2与平面所围成的

闭区域。

解: : 2 z 4,0 2,0 2 ， zdxdydz

2

d d

24

2

zdz

64

3

2、利用球面坐标计算三重积分

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设M(x,y,z)为空间内一点，则点M可用三个有次序的数r， ， 来确定，其中r为原点O与点M间的距离， 为有向线段OM与z轴正向所夹的角， 为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角，这里P为点M在xoy面上的投影，这样的三个数r， ， 就叫做点M的球面坐标．

这里，r, , 的变化范围为：0 r ,0 ,0 2 .三组坐标面分别为：

r 常数，即以原点为心的球面； 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；

常数，即过z轴的半平面。不难看出,点M的直角坐标与球面坐标间的关系为

x rsin cos

y rsin sin z rcos

用三组坐标面r 常数, 常数,

常数,将 分划成许多小区域,考虑当r, ,

各取微小增量 dr,d ,d 所形成的六面体,若忽略高阶无穷小,可将此六面体视为长方体,

2dv rsin drd d ，这就是球面坐标系下的体积元素。由此，有： 其体积近似值为：

f(x,y,z)dv f(rsin cos ,rsin sin ,rcos )r

2

sin drd d

这就是三重积分在球面坐标系下的计算公式。其右端的三重积分可化为关于积分变量

r, , 的三次积分来实现其计算,当然,这需要将积分区域 用球面坐标r, , 加以表

示。实际中经常遇到的积分区域 是这样的， 是一包围原点的立体, 其边界曲面是包围原点在内的封闭曲面,将其边界曲面方程化成球坐标方程r r( , ),据球面坐标变量的特点有 :0 r r , ,0 ,0 2 。

2222

x y z a(a 0), 则 的球坐标表示形式为 例如:若 是球体

:0 2 ,0 ,0 r a

【例6】求半径为a的球面与半顶角为 饿内接锥面所围成的立体的体积。

解：设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为r 2acos ，锥面方程为 。

:0 r 2acos ,0 ,0 2

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V rsin drd d

2

2

d d

2acos

4 a3

rsin dr 1 cos4

3

2

第四节 重积分的应用

把定积分的元素法推广到二重积分的应用中。

若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d 时，相应地部分量可近似地表示为f x,y d 的形式，其中 x,y 在d 内。这个f x,y d 称为所求量U的元素，记为dU，所求量的积分表达式为U f x,y d 。

D

一、曲面的面积

设曲面S由方程z

f(x,y)给出,Dxy为曲面S在xoy面上的投影区域,函数f(x,y)在

Dxy上具有连续偏导数fx(x,y)和fy(x,y),现计算曲面的面积A。

在闭区域Dxy上任取一直径很小的闭区域d (它的面积也记作d ),在d 内取一点

P(x,y),对应着曲面S上一点M(x,y,f(x,y)),曲面S在点M处的切平面设为T。以小区域

d 的边界为准线作母线平行于z轴的柱面, 该柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于d 的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面

积。曲面S在点M处的法线向量( 指向朝上的那个)为与z轴正向所成夹角 的方向余弦为

n { fx(x,y), fy(x,y),1}

，它

cos

1

2

fx2(x,y) fy(x,y)

dA

，

d

22

cos ，dA fx(x,y) fy(x,y) d

z z

dxdy x y

2

这就是曲面S的面积元素, 故

A f(x,y) f(x,y)d

2

x

2y

Dxy

A

，即：

Dxy

222222

【例1】求球面x y z a含在柱面x y ax(a 0) 内部的面积。

22

D {(x,y)|x y ax} xy解:所求曲面在xoy面的投影区域

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222

z a x y曲面方程为 , 则

2

zx z2y

aa2 x2 y2

据曲面的对称性,有

A 2

Dxy

aa2 x2 y

dxdy2

2 d

2

acos

aa r

2

2

rdr

2

2a2( 2)

若曲面的方程为x g(y,z)或y h(z,x),可分别将曲面投影到yoz面或zox面,设所得到的投影区域分别为Dyz或Dzx,类似地有

A

x

1

y

2

Dyz

x dydz z

2

或

A

Dzx

y

z

2

y dzdx x

2

二、质心

先讨论平面薄片的质心。设xoy平面上有n个质点，它们分别位于(x1,y1)，(x2,y2)，

,(xn,yn)处，质量分别为m1,m2, ,mn．则该质点系的质心的坐标为：

n

n

MyM

mx

i 1n

ii

m

i 1

M

， x

M

my

i 1n

ii

。

i

m

i 1

i

其中M mi为该质点系的总质量，My mixi,Mx miyi分别为该质点系对y轴

i 1

i 1

i 1

nnn

和x轴的静矩。

设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点 x,y 处的面密度为 x,y ,假定

x,y 在D上连续,如何确定该薄片的质心坐标(,)。

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d (这小闭区域的面积也记作d )， x,y 是这小闭区域上的一个点。由于d 的直径很小，且 x,y 在D上连续，所以薄片中相应于d 的部分的质量近似等于 x,y d ，这部分质量可近似看作集中在点 x,y 上，于是可写出

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

静矩元素dMy及dMx：dMy x x,y d ，dMx y x,y d ，以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得：My x x,y d ，Mx y x,y d ，又由平面薄片的质

D

D

量为：M x,y d ，从而,薄片的质心坐标为：

D

MyM

x (x,y)d

D

(x,y)d

D

，

Mx

M

y (x,y)d

D

(x,y)d

D

如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则

11

xd , yd ADAD

(A d

D

为闭区域D的面积

)

十分显然, 这时薄片的质心完全由闭区域D的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片

的质心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。

【例2】求位于两圆 2sin 和 4sin 之间的均匀薄片的质心。 解: 因为闭区域D对称于y轴，所以可知: 0

1

yd

AD

sin d

4sin

2sin

2d

3

7 7

，所求质心是 0, 。 3 3

类似地，占有空间有界闭区域 、在点 x,y,z 处的密度为 x,y,z (假定 x,y,z 在

上连续)的物体的质心坐标是

1

M

x x,y,z dv，

1M

y x,y,z dv，

1M

z x,y,z dv

其中M x,y,z dv

三、转动惯量

先讨论平面薄片的转动惯量。

设平面上有n个质点, 它们分别位于点(x1,y1),(x2,y2), ,(xn,yn)处, 质量分别为

m1,m2, ,mn。设质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量依次为

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

Ix yimi

i 1

n

2

,Iy x2mi

i

i 1

n

设有一薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为 x,y , 假定 x,y 在D上连续。 现要求该薄片对于x轴、y轴的转动惯量Ix,

Iy

。

应用元素法。在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d (这小闭区域的面积也记作

d )， x,y 是这小闭区域上的一个点。由于d 的直径很小，且 x,y 在D上连续，所以

薄片中相应于d 的部分的质量近似等于 x,y d ，这部分质量可近似看作集中在点

x,y 上，于是可写出薄片对于x轴、y轴的转动惯量元素：dIx y2 x,y d ，

dIy x2 x,y d ，以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得：Ix y2 x,y d ，Iy x2 x,y d

D

D

【例3】求由抛物线y x及直线y 1所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线y 1的转动惯量。

解: 转动惯量元素为dI y 1 d ，I y 1 d dx 2 y 1 dy

2

2

2

D

1

x

1

1

2

368

105

类似地，占有空间有界闭区域 、在点 x,y,z 处的密度为 x,y,z (假定 x,y,z 在

上连续)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为：Ix y2 z2 x,y,z dv，

Iy z2 x2 x,y,z dv，Iz x2 y2 x,y,z dv

四、引力

讨论空间一物体对于物体外一点P0 x0,y0,z0 处的单位质量的质点的引力问题。设物体占有空间有界闭区域 ，它在点 x,y,z 处的密度为 x,y,z ，并假定 x,y,z 在 上连续。在物体内任取一直径很小的闭区域dv(这闭区域的体积也记作dv)， x,y,z 为这一小块中的一点。把这一小块物体的质量 dv近似地看作集中在点 x,y,z 处。按两质点间的引力公式，可得这一小块物体对位于P0 x0,y0,z0 处的单位质量的质点的引力近似地为：

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

dF dFx,dFy,dFz

x,y,z y y0 x,y,z z z0 x,y,z x x0 Gdv,Gdv,Gdv 333

rrr

其中dFx,dFy,dFz为引力元素dF在三个坐标周上的分量，G为引力常数，

r

x x02 y y02 z z02。将dFx,dFy,dFz在 上分别积分，即得：

F Fx,Fy,Fz

x,y,z x x0 x,y,z y y0 x,y,z z z0

Gdv,Gdv,Gdv 333 rrr

如果考虑平面薄片对薄片外一点P0 x0,y0,z0 处的单位质量的质点的引力，设平面薄片占有xoy平面上的有界闭区域D，其面密度为 x,y ，那么只要将上式中的密度

x,y,z 换成面密度 x,y ，将 上的三重积分换成D上的二重积分，就可得到相应的计

算公式。

【例4】设半径为R的匀质球占有空间闭区域 x,y,z x2 y2 z2 R2，求它对位于

M0 0,0,a a R 处的单位质量的质点的引力。

解：设球的密度为 0，由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx Fy 0，所求引力沿z轴的分量为：

Fz G 0

z a

x

2

y2 z a

x2 y2 R2 z22

3

22

dxdy

G 0 G 0

z a dz R

R

R

x

2

y z a

2

322

z a dz 0 R

d

R2 z2

d

2

z a

322

4 R31 G 02

3a

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