立体几何基础题题库一A

立体几何基础题题库一（有详细答案）

1、二面角??l??是直二面角，A??，B??，设直线AB与?、?所成的角分别为∠1和∠2，则 （A）∠1+∠2=900 （B）∠1+∠2≥900 （C）∠1+∠2≤900 （D）∠1+∠2＜900 解析：C

??1A?2B?如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2

分别为直线AB与平面?,?所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角??ABO??2??ABO??1?90??2??1?90

2. 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个．．．图是

SPSPRQQPPSSPS??PPRPQRPQRSSSSPRRSPQRPQQQRRPRQPPSRSSRPSQR

QSQQRR

QSQR

Q

（A） （B） （C） （D） D

解析： A项：PS?底面对应的中线，中线平行QS，PQRS是个梯形

D'PSC'A'B'RDACB项： 如图

QB

C项：是个平行四边形 D项：是异面直线。

3. 有三个平面?，β，γ，下列命题中正确的是

（A）若?，β，γ两两相交，则有三条交线 （B）若?⊥β，?⊥γ，则β∥γ

（C）若?⊥γ，β∩?=a，β∩γ=b，则a⊥b （D）若?∥β，β∩γ=?，则?∩γ=? D

解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。 B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

a???C项：如图

b

4. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为

ABOPABABOPB1ABADCBPD1C1PPB1O C

A1B1

A1

A1

A1B1

A1B1

D'A'B'C'PDACB解析：B1C1?平面AB1?B1C1?PB,，如图：P点到定点B的距离与到定直线AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。

5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是

（A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）10条 C

D'A'B'C'A'D'B'C'DACADC解析：如图共8条。

B这样的直线有4条，另外，这样的

B直线也有4条，

6. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB?AC?0，AC?AD?0，AB?AD?0，则△BCD是

（A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定 C

解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且a?b?c则，BD=

ACD=c?b，BC=a?b，

2222a?c22acbBD如图

C则BD为最长边，根据余弦定理

?cos?DCB?a?c22???22c?b222???222a?b22?2?0??DCB最大角为锐角。所以△

2a?c?c?bBCD是锐角三角形。 7.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若a?b,a??,则b//? ③a??,???,则a//? 其中正确的命题的个数是

A．0个

B．1个

②若a//?,???,则a?? ④若a?b,a??,b??,则??? C．2个

D．3个

（ ）

（ ）

B 解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中b//α，或b??均有???， 故只有一个正确命题

8.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2，底 面边长为3，E是SA的中点，则异面直线BE与SC 所成角的大小为 （ ） A．90° C．45°

B．60° D．30°

B 解析：平移SC到S?B，运用余弦定理可算得BE?S?E?S?B?2.

9. 对于平面M与平面N, 有下列条件: ①M、N都垂直于平面Q; ②M、N都平行于平面Q; ③ M内不共线的三点到N的距离相等; ④ l, M内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l, m是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是 （ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

CB只有②、⑤能判定M//N，选B

A10. 已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则A1B与AC1 所成的角为

（A）45 （B）60 （C）900 （D）1200

C解析：作CD⊥AB于D，作C1D1⊥A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1B⊥AC1，选C。

11. 正四面体棱长为1，其外接球的表面积为

32520

0

C1A1B1A.3π B.π C.π D.3π

解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证

12. 设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交． 当甲成立时，

A．乙是丙的充分而不必要条件 B．乙是丙的必要而不充分条件

C．乙是丙的充分且必要条件 D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

解析：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有

一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立．选（C）． 13. 已知直线m、n及平面?，其中m∥n，那么在平面?内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是 ．

解析：（1）成立，如m、n都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m、n在平面?的同一侧，且它们到?的距离相等，则平面?为所求，（4）成立，当m、n所在的平面与平面?垂直时，平面?内不存在到m、n距离相等的点

14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）

A．3

B．1或2

C．1或3

D．2或3

解析：C 如三棱柱的三个侧面。

15．若a、b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是

A．相交

B．异面

C．平行

（ ）

D． 异面或相交

解析：D 如正方体的棱长。

16．在正方体A1B1C1D1—ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为 A．

?6 （ ）

B．

?4

C．

?3 D．

?2

解析：DB1D在平面AC上的射影BD与AC垂直，根据三垂线定理可得。

17．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）

D'PSC'A'B'RDC解析：C A，B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图：

AQB

18．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于 （ ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

AC

B解析：B 如图

★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题： 解析：D

DEMB①AB与CD所在直线垂直； ③AB与MN所在直线成60°角； 其中正确命题的序号是 A．①③

B．①④

②CD与EF所在直线平行 ④MN与EF所在直线异面 C．②③

（ ）

D．③④

FNAC

19．线段OA，OB，OC不共面，?AOB=?BOC=?COA=60?，OA=1，OB=2，OC=3，则△ABC是

A．等边三角形

（ ）

B非等边的等腰三角形

C．锐角三角形 D．钝角三角形

2

2

2

2

2

2

2

2

2

解析：B． 设 AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x=1+3-3=7，y=1+2-2=3，z=2+3-6=7。 ∴ △ABC是不等边的等腰三角形，选（B）．

20．若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是则?的取值范围是

A．[

?5?6,6?3，l与a、l与b所成的角都是?，

（ ）

??6,2

??3,2] B．[] C．[

?5?3,6] D．[]

解析：D

解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值时，a取得最大值

?2?6，当l与a、b的公垂线平行

，故选（D）．

21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的 竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建 筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所 示.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的 影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线） _______. 4．2米

CDCE1.2CE10.9

解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，?BE=2.7?1.08?3.78米，树高AB=

10.9??,CE=1.08米，树影长

BE=4.2米。

AD22．如图,正四面体

A?BCD（空间四边形的长及两对角线的长都相等）

中,E,F分别是棱AD,BC的中点, 则

BCAE四条边

EBFCD

EF和AC所成的角的大小是________.

解析：设各棱长为2，则EF=2，取AB的中点为M，cos?MFE?23．OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直 线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长 为_______.

22.即???4.

解析：在长方体OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZ?OZ，

222222

PY?OY，PX?OX，有 OX+OZ=49，OY=OX=9， OY+OZ=16， 得 OX2+OY2+OZ2=37，OP=37．

24．设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.

解析： 当直线a，b共面时，可确定一个平面； 当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面． 25. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF和AD为异面直线. 解析：假设EF和AD在同一平面?内，?（2分），则A，B，E，F??；??（4分）又A，E?AB，∴AB??，∴B??，??（6分）同理C????（8分）故A，B，C，D??，这与ABCD是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线．

26. 在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC + BD = a ，AC?BD =b，求EG?FH.

解析：四边形EFGH是平行四边形，????（4分）

BDFCGEH22A

1212EG?FH=2(EF?FG)=

2222(AC?BD)?22(a?2b)

2

27. 如图，在三角形⊿ABC中，∠ACB=90o，

AC=b,BC=a,P是⊿ABC 所在平面外一点，PB⊥AB，点，AB⊥MC，求异面直MC与PB间的距离. 解析：作MN//AB交PB于点N．（2分）∵PB⊥AB，∴PB⊥MN。

APM是PA的中

MNB（4分）又

CAB⊥MC，∴MN⊥MC．（8分）MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间的距离， 则得MN=

12AB=12a?b.

2228. 已知长方体ABCD—A1B1C1D1中, A1A=AB， E、F分别是BD1和AD中点.

（1）求异面直线CD1、EF所成的角； （2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.

（1）解析：∵在平行四边形BAD1C1中，E也是AC1的中点，∴EF//C1D，（2分）

∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.（C14分）又 A1A=AB，长方体的侧面ABB1A1,CDD1C1都是正方形 ，∴D1C?CD1

∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.（7分） （2）证：设AB=AA1=a, ∵D1F=

a?2D1B1A1ECFADB

AD42?BF,∴EF⊥BD1.（9

分）

由平行四边形BAD1C1，知E也是AC1的中点，且点E是长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心，（12分）∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是异面直线BD1AD的公垂线.（14分）

C1D1与

B1A1ECFADB

29. ⊿ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面点P，PB=PC=

72D

外有一E是

，PA=

32，延长BP至D，使BD=7，PBC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线离.

解析：分别连接PE和CD，可证PE//CD，（2分）则∠PEAAE和CD所成角．（4分）在Rt⊿PBE中，

间的距

CEAB即是

PB=

72，BE=1，∴PE=

323?34?94=1． 322。在⊿AEP中，AE=3，cos?AEP?2?3?∴∠AEP=60o，即AE和CD所成角是60o．（7分）

∵AE⊥BC，PE⊥BC，PE//DC，∴CD⊥BC，∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1．（14分）

30. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱A1A,AB，BC，CC1,C1D1,D1A1的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面．

解析：∵EN//MF，∴EN与MF 共面?，（2分）又∵EF//MH，∴EF和MH共面?．（4分）∵不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）∴平面?与?重合，∴点H??。（8分）同理点G??．（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面．

31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 D

解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线； 2）当三个平面交于一条

直线时，有一条交线，故选D

32．两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是

A．4个

2（ ） D．1条或2条

A．1条 B．2条 C．3条

C．6个

（ ） D．8个

B．5个

解析：C 如四棱锥的四个侧面，C4?6个。

33.．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则 （ ）

A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上

C．M可能在AC上，也可能在BD上 D．M不在AC上，也不在BD上

解析：∵平面ABC∩平面ACD=AC，先证M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC

A

34. ．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 . 解析：6条

35. 已知：a??,b??,a?b?A,P?b,PQ//a. 求证:PQ??..(12分)

本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.

解析：∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面?,?直线a??,点P??.

?p?b,b??,?p??

又?a????与?重合?PQ??

36. 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分） 本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法 解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点 ∴过A、B、C有一个平面? 又?AB???P,且AB??

?点P既在?内又在?内,设????l,则p?l.

同理可证:Q?l,R?l

?P,Q,R三点共线.37. 已知：平面??平面??a,b??,b?a?A,c??且c//a, 求证：b、c是异面直线

解析：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交

(1)若b//c.?a//c,?a//b这与a?b?A矛盾(2)若b,c相交于B,则B??,又a?b?A,?A???AB??,即b??这与b???A矛盾?b,c是异面直线.

38. 在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=3，求AD与BC所成角的大小

（本题考查中位线法求异面二直线所成角）

解析：取BD中点M，连结EM、MF，则

EM//AD,且EM?在?MEF中,?EF???EMF?120??12AD?1,MF//BC且MF?3,由余弦定理得12BC?1,EM2cos?EMF??MF2?EF22?EM?MF?1?1?32??12

?异面直线AD,BC所成角的大小为6039. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，求异面直线CM与D1N所成角的正弦值.(14分)

（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）

解析：取DD1中点G，连结BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，记MC∩BG=0 则BG和MC所成的角为异面直线CM与D1N所成的角.

?MC2

?MA2?AC2?(32a)(设正方体的棱长为2a)BC?a?cos?BOC?19?sin?BOC?45959

而CM与D1N所成角的正弦值为4

40. 如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PC的中点，且PA=PB=PC=AB=a。 （1）求证：MN是AB和PC的公垂线 （2）求异面二直线AB和PC之间的距离

解析：（1）连结AN，BN，∵△APC与△BPC是全等的正三角形，又N是PC的中点 ∴AN=BN

又∵M是AB的中点，∴MN⊥AB 同理可证MN⊥PC

又∵MN∩AB=M，MN∩PC=N ∴MN是AB和PC的公垂线。

（2）在等腰在角形ANB中，?AN?BN?32a,AB?a,?MN?AN2?(12AB)2?22a

即异面二直线AB和PC之间的距离为

22a.

41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 [ ] A．可能有3个，也可能有2个 B．可能有4个，也可能有3个 C．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个

解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。. 42. 下列命题中正确的个数是 [ ] ①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。 43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。 解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_______，则它们在同一平面内。答案：相交或平行

解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。

45. 三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。

解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。

46. 三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个

解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。 47. 画出满足下列条件的图形。 (1)α∩β=1，a (2)α∩β=a，b

α，b

β，a∩b=A

β，b∥a

解析：如图1-8-甲，1-8-乙

48.经过平面?外两点A，B和平面?垂直的平面有几个？ 解析：一个或无数多个。

当A，B不垂直于平面?时，只有一个。 当A，B垂直于平面?时，有无数多个。

49. 设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB＝122，CD＝4 2，且四边形EFGH的面积为12 3，求AB和CD所成的角.

解析： 由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴ ∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.

12∵ EFGH是平行四边形，HG＝ AB＝62，

HE＝

12 ，CD＝23，

D∴ SEFGH＝HG·HE·sin∠EHG＝12123.

226 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG

HCG＝

EFB∴ sin∠EHG＝,故∠EHG＝45°.

A∴ AB和CD所成的角为45°

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

22

50. 点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=和BC所成的角。（如图）

AD，求异面直线AD

A解析：设G是AC中点，连接DG、FG。因D、F分别是AB、点，故EG∥BC且EG=

12

CD中

BC，FG∥AD，且FG=

12AD，由异面直

EGBFCD线所所成由余

成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC角，即∠EGF为所求。由BC=AD知EG=GF=弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。

12AD，又EF=AD，

注：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 求：AM与CN所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE 为AM与CN所成的角。

∵N为AD的中点, NE∥AM省 ∴NE= 设正四面体的棱长为1， 则NC= 在Rt△MEC中，CE2=ME2+CM2=

1231612AM且E为MD的中点。

34716·3214= =

且ME=

12MD=

34

+

∴cos∠CNE=

CN2?NE2?CE2(?34)?(2?34234?)?342716??232?CN?NE,

又∵∠CNE ∈(0,

?2)

23∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.

注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，

AFFD?BEEC?13。求异面直线AB与CD所成的角。

解析：在BD上取一点G，使得

BGGD?13，连结EG、FG

C 在ΔBCD中，

EGCD?BEBC?14BEEC?BGGD，故EG//CD，并且

EBAFGD，

所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且

FGAB?DFAD?34，

故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得 cos∠

D1A1DOACBC1B1EFGE=

EG2?GF2?EF22?EG?GF?3?5?72?3?5222??12，故∠FGE=120°。

另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。

53. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．

12解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OF∥AC1且OF=所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB=BE=

12b?2AC1，

212a?b22，OF=

12a?b?c22，

14c2，由余弦定理得

D1A1C1O1B1FCOAGDB1cos∠OB=4(a?b)?2?1422142(a?b?c)?(b?2222214c)2=

a?b22222

22)a?b?a?b?c222(a?b)(a?b?c解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1与DB所成的角。

解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1，在△AEC1 中，AE=

a?b，AC1=

22222a?b?c，C1E=

22222224a?c由余弦定理，得

b?a2222222cos∠EAC1=

(a?b)?(a?b?c)?(4a?c)2?a?b?22a?b?c222=＜0

22)(a?b)(a?b?c所以∠EAC1为钝角．

a?b2222222根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为

(a?b)(a?b?c)54. 已知AO是平面?的斜线，A是斜足，OB垂直?，B为垂足，则 直线AB是斜线在平面?内的射影，设AC是?内的任一条解析：设AO与AB所成角为?1，AB与AC所成角为?2，角为?，则有cos??cos?1?cos?2。

A'直线，

OAO与AC所成

BC'在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC= ∠ACB=90，AC?2,BC?1,2问）

?AC3,SB?29，求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该题的

由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影， 设异面直线SC与AB所成角为?， 则 cos??cos?SCA?cos?BAC， 由AC?2,BC?AB?3,SB?29 得

SACB17,SA?23,SC?2

∴ cos?SCA?12 ， cos?BAC?2，

17∴ cos??1717， 即异面直线SC与AB所成角为 arccos1717。

55. 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且

?C?A11CB??C1CD??BCD?60，证明 C1C?BD。

B1C1D1（略去了该题的2，3问）

BA解析： 设CH，则CH为CH1在平面ABCD内射影为1C在平面ABCDCD射影，

∴ cos?C1CD?cos?C1CH?cos?DCH， ∴ cos?C1CB?cos?C1CH?cos?BCH，

由题意 ?C1CD??C1CB， ∴cos?DCH?cos?BCH。 又 ∵?DCH,?BCH?[0,?)

∴?DCH??BCH， 从而CH为?DCB的平分线， 又四边形ABCD是菱形， ∴CH?BD ∴C?1C与BD所成角为90， 即C1C?BD

56.. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点， 求异面直线AE与CF所成角的大小。 解析： 连接BF、EF，易证AD⊥平面BFC， ∴ EF为AE在平面BFC内的射影， 设AE与CF所成角为?，

A∴ cos??cos?AEF?cos?CFE，

F设正四面体的棱长为a，则AE?CF?BF?3BD2a ，

EC显然 EF⊥BC， ∴ EF?22a ，

内的

∴ cos?AEF?EFAE?63， cos?AFE?EFCF?63，

∴ cos??23， 即AE∴与CF所成角为 arccos23。

57. 三棱柱OAB?O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，

?O1OB?60,?AOB?90，且OB?OO1?2,OA???3，求异面直线A1B与AO1所成角的大小，

（略去了该题的1问）

解析： 在平面BO1内作BC?OO1于C ，连A1C，

A1O1B1由平面BOO1B1?平面AOB，?AOB?90? 知，

OCBAO⊥平面BOO1B1， ∴ AO?BC， 又 AO?OO1?O， ∴ BC⊥平面AOO1A1， ∴ A1C为A1B在平面AOO1A1内的射影。

A设A1B与AO1所成角为?，A1C与AO1所成角为?2， 则cos??cos?BA1C?cos?2， 由题意易求得 BC?A1CA1B3,A1C?2,A1B?7 ，

∴ cos?BA1C??27，

在矩形AOO1A1中易求得A1C与AO1所成角?2的余弦值：cos?2?17714，

∴ cos??cos?BA1C?cos?2?17，

即A1B与AO1所成角为 arccos。

58. 已知异面直线a与b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a，b所成的角均是30的直线有且只有（ ）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

??解析： 过空间一点P作a'∥a，b'∥b，则由异面直线所成角的定义知：a'与b'的交角为50?，过P与a'，b'成等角的直线与a，b亦成等角，设a'，b'确定平面?，a'，b'交角的平分线为l，则过l且与?垂直的平面（设为?）内的任一直线l'与a'，b'成等角（证明从略），由上述结论知：l'与a'，b'所成角大于或等于l与a'，b'所成角25?，这样在?内l的两侧与a'，b'成30?角的直线各有一条，共两条。在a'，b'相交的另一个角130?内，同样可以作过130?角平分线且与?垂直的平面?，由上述结论知，?内任一直线与a'，b'所成角大于或等于65?，所以?内没有符合要求的直线，因此过P与a，

b成30?的直线有且只有2条，故选（B）

59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ） A.平行 B.相交

C.异面 D.以上都有可能 解析：D

60. l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是（A.异面或平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 解析：D

61. 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有几条 （ ）

A.4 B.6 C.8 D.10 解析：A

62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是 （ ）

A.48对 B.24对 C.12对 D.6对

）

解析：B

D'A'B'C'

DCAB棱AA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算

一次,共有24对.

63.. 正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是（ ） A.45° B.60° C.90° D.120°

D'C'B'A'DAC解析：B

∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°

B 64.异面直线a、b，a⊥b，c与a成30°角，则c与b成角的范围是 （ ）

?A.

?3,?2? B.

??6,?2?

2?3?C.

?6,2?3? D.

??3,?

c2c1b解Ab成角的最小值是60°

直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与

65..如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为（ ）

A .12 B.22 C.34 D.32 解析：B

当M,N分别为中点时。

因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理，连接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN为AB,CD

2-BM24422的公垂线。因为AN=BN＝所以在RT△BMN中，MN＝求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。

3BN=3-1=266. 空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF＝√3，则AD,BC所成的角为（ ）

A.30° B.60° C.90° D.120°

cos?EMF=12+12-?3?22?1?1=-12A解B注：面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过67. 直线a是平面α的斜线，b在平α内，已知a与b成60°

BEMD考察异成的角角三角程。 的角，

FC且b与a在平α内的射影成45°角时，a与α所成的角是（ ）

aAA.45° B.60° C.90° D.135°

?OCbB解A

A∈a，A在?内的射影是C，则AC⊥?于C，AB⊥b于B，则OB⊥平面ABC?OB⊥BCOCOB∵cos?AOC= cos?AOB=cos60?=OAOAOBOCcos?BOC=cos45?=∴cos?AOC=OCOA=cos?AOBcos?BOC=cos60?cos45?=22∴?AOC=45? 68. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，

也不平行，那么m和n的位置关系是 A.可能垂直，但不可能平行 B.可能平行，但不可能垂直 C.可能垂直，也可能平行

D.既不可能垂直，也不可能平行

解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。 设m//n,由于m在β外，n在β内， ∴m//β

而α过m与β交于l ∴m//l，这与已知矛盾， ∴m不平行n.

设m⊥n，在β内作直线α⊥l, ∵α⊥β, ∴a⊥α, ∴m⊥a.

又由于n和a共面且相交（若a//n 则n⊥l，与已知矛盾） ∴m⊥β,

∴m⊥l与已知矛盾， ∴m和n不能垂直. 综上所述，应选（D）.

69. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于

解析：为了作出二面角E-BC1-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用

三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。

从图形特点看，应当过E（或F）作面BCC1的垂线.

解析：过E作EH⊥BC，垂足为H. 过H作HG⊥BC1，垂足为G.连EG. ∵面ABCD⊥面BCC1，而EH⊥BC ∵EH⊥面BEC1，

EG是面BCC1的斜线，HG是斜线EG在面BCC1内的射影.

∵HG⊥BC1，

∴EG⊥BC1， ∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在Rt△BCC1中：sin∠C1BC= 在Rt△BHG中：sin∠C1BC= ∴HG= 而EH=1，

在Rt△EHG中：tg∠EGH= ∴∠EGH=arctg

=

（设底面边长为1）.

故二面角E-BC1-C 等于arctg.

70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为

解析：设AC、BD交于O点，则BO⊥AC 且DO⊥AC，在折起后，这个垂直关系不变，因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角. 由于△DOB中三边长已知，所以可求出∠BOD：

这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是△DOB中，OB边上的高DE，理由是：

∵DE⊥OB

∴DE⊥面ABC.

由cos∠DOB= ∴DE=

，知sin∠DOE=

∴

应选（B）

71. 球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的

.如果球的半径是R，那么球心到截面ABC的距离等于

解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力.

如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截

面圆ABC的半径.

下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得（O是球心）.由于A、B间球面距离是大圆周长的

，所以∠AOB=

×2π=

，

同理∠AOC=，∠BOC=.

∴|AB|=R， |AC|=R， |BC|=.

222

在△ABC中，由于AB+AC=BC.

∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径.

∴|ED|=

从而|OD|=. 故应选B.

72. 如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，该图中，互相垂直的面有

A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 答案（D）

解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏

73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于______

解析：90°连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，AB⊥CN，AB⊥DN. 74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. （1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°，求证MN⊥面PCD.(12分) 解析：

(1)取PD中点E,又N为PC中点,连NE,则NE//CD,NE?12CD.又?AM//CD,AM?12CD,?AM//NE,?四边形AMNE为平行四边形??MN//AE?PA?平面ABCD?CD?PACD?面ABCD???CD?平面ADP??CD?AD???AE?平面ADP??CD?AE.(注:或直接用三垂线定理

?(2)当?PDA?45?时,Rt?PAD为等腰直角三角形则AE?PD,又MN//AE,?MN?PD,PD?CD?D

MN?平面PCD.75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。 如图：（1）证明：PQ∥平面AA1B1B；

（2）求线段PQ的长。（12分）

,

?(1)证法一:取AA1,A1B1的中点M,N,连结MN,NQ,MP?MP//AD,MP?12AD,NQ//A1D1,NQ?12A1D1?MP//ND且MP?ND?四边形PQNM为平行四边形?PQ//MN?MN?面AA1B1B,PQ?面AA1B1B?PQ//面AA1B1B证法二:连结AD1,AB1,在?AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B的中点?PQ//AB,且PQ12AB1?PQ?面AA1B1B,AB1?面AA1B1B?PQ//面AA1B1B(2)方法一:PQ?MN?方法二:PQ?12AB1?22A1Ma.2?A1N2?22a

评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较多。

76. 如图，已知????l,EA??于A,EB??于B,a??,a?AB.

求证a∥l

解析：

EA??,EB???l?EA?????l?平面EAB????ll?EB??又?a??,EA??,?a?EA又?a?AB?a?平面EAB?a//l.

77. ．如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、

SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。（12分） 解析：

?SA?平面ABCD???SA?BCBC?平面ABCD?又?AB?BC,SA?AB?A,?BC?平面SAB?BC?AE?SC?平面AHKE?SC?AE又BC?SC?C?AE?平面SBC?AE?SB,即E为A在SB上的射影.用理可证,H是点A在SD上的射影.

78. 在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。 解析：

BD?平面A1AD??A1A?BD?????BD?A1OAC?BDA1O?面A1AO??又?A1OOGA1G22求证：A1O⊥平面GBD（14分）

?A1A?AO222?a?(222a)?232a2

?OC?CG22?(2a2322a)?()?a224222?A1C1?C1G2?(2a)?(2a22)?94a2?A1O?OG2?A1G?A1O?OG又BD?OG?0A1O?平面GBD79. 如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n（n>m）

的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点。 解析：

（1）求证：AB⊥MN；

（2）求证：MN的长是定值（14分）

(1)取PB中点H,连结HN,则HN//b又?AB?b?AB?HN同理AB?MH?AB?平面MNH?AB?平面MNH?AB?MN(2)?b?AB???b?平面PAB?b?PB.b?a?2在Rt?PBQ中,BQ2?PQ?PB2222?n?PB?(1)?PB?m?(2)2222在Rt?PBA中,PA?PB?AB(1),(2)两式相加PA?BQ?a?b,??MHN?90?MN?MH2?22?n?m22

?(PA2)?(2?NH2BQ2)?212n?m(定值)2280. 已知：平面?与平面?相交于直线a，直线b与?、?都平行，求证：b∥a． 证明：在a上取点P，b和P确定平面?设?与?交于a?，?与?交于a?? ∵ b∥?且b∥? ∴ b∥a?且b∥a??

∴ a?与a??重合，而a???， a????，实际上是a?、a??、a三线重合， ∴ a∥b．

81. 有三个几何事实(a，b表示直线，?表示平面)，① a∥b，② a∥?，③ b∥?．其中，a，b在面?外．

用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例． 解析：Ⅰ： a∥b a∥? ?b∥? b在?外 Ⅱ：a∥b

b∥? ?a∥? a在?外

Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．

证明：过a作平面?与?交于a? ∵ a∥? ∵ a∥a? 而a∥b

∴ b∥a?且b在?外，a?在?内 ∴ b∥?． Ⅲ：a∥?

?a∥b b∥?

命题：平行于同一个平面的两条直线平行， 这是错的，如右图

82. 两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行． 已知：?、?是两个平面，直线l⊥?，l⊥?，垂足分别为A、B． 求证：?∥?思路1：根据判定定理证．

l证法1：过l作平面??，

γ Aδ E?∩?＝AC，?∩?＝BD，

过l作平面?，

? CB? DF?∩?＝AE，?∩?＝BF，

l⊥??l⊥AC

l⊥??l⊥BD ?AC∥BD?AC∥?， l、AC、BD共面

同理AE∥?，AC∩AE≠??，AC，AE???，故?∥?． 思路2：根据面面平行的定义，用反证法．

证法2：设?、?有公共点P 则l与P确定平面?， 且?∩?＝AP，?∩?＝BP． l⊥??l⊥AP l⊥??l⊥BP

l、AP、BP共面，于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直，这是不可能的． 故?、?不能有公共点，∴ ?∥?．

83. 已知：a、b是异面直线，a?平面?，b?平面?，a∥?，b∥?． 求证：?∥?．

证法1：在a上任取点P， 显然P∈b． 于是b和点P确定平面?． 且??与??有公共点P ∴ ??∩?＝b′ 且b′和a交于P， ∵ b∥??， ∴ b∥b′ ∴ b′∥? 而a∥?

这样??内相交直线a和b′都平行于? ∴ ?∥?．

证法2：设AB是a、b的公垂线段， 过AB和b作平面??，

b′

??∩?＝b′，

过AB和a作平面??，

?∩?＝a′．

a∥??a∥a′ b∥??b∥b′

∴AB⊥a?AB⊥a′，AB⊥b?AB⊥b′ 于是AB⊥??且AB⊥?，∴ ?∥?．

84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥c?a∥b； ②a∥r，b∥r?a∥b； ③α∥c，β∥c?α∥β； ④α∥r，β∥r?α∥β； ⑤a∥c，α∥c?a∥α； ⑥a∥r，α∥r?a∥α． 其中正确的命题是

(A) ①④ (C) ①②③

(B) ①④⑤ (D) ①⑤⑥

( )

解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A．

85. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )

(A) 垂直 (B) 平行

(C) 相交但不垂直 (D) 要依P点的位置而定

P

解析：由题设知B1M∥AN且B1M=AN， 四边形ANB1M是平行四边形， 故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．

又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，则平面B1NC∥AMC1，NP?平面B1NC， ∴ NP∥平面AMC1． 答案选B．

86. 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a． (1) 求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离． 证明：(1) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， ∵ BB1平行且等于DD1，

∴ 四边形BB1D1D是平行四边形， ∴ BD∥B1D1， ∴ BD∥平面B1D1C． 同理 A1B∥平面B1D1C， 又A1B∩BD=B，

∴ 平面A1BD∥平面B1D1C

解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于N． AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD， ∴ AC1⊥BD， 同理可证，AC1⊥A1B，

∴ AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD， 同理可证MN⊥平面B1D1C．

∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，

设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E．

∵ M∈平面A1BD，M∈AC1?平面A1C， ∴ M∈A1E． 同理N∈CF．

在矩形AA1C1C中，见图9－21(2)，由平面几何知识得

MN?13AC1，

∴ MN?33a．

评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．

87. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点． (1) 求证AB1∥平面C1BD；

(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离． 证明：(1) 设B1C∩BC1=O． 连DO，则O是B1C的中点．

在△ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点． ∴ DO∥AB1，

又DO?平面C1BD，AB1?平面C1BD， ∴ AB1∥平面C1BD．

解：(2) 由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， ∴ BD⊥AC，且BD⊥CC1， ∴ BD⊥平面AC1，

平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交线． 在平面AC1内作AH⊥C1D，垂足是H， ∴ AH⊥平面C1BD，

又AB1∥平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离． 由BC=8，B1C=10，得CC1=6， 在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6， sin?C1DC?64?622?313

在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC

121313∴ AH?AD?sin?C1DC?．

即AB1到平面C1BD的距离是

121313．

评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1∥平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．

88. 已知：直线a∥平面?．求证：经过a和平面?平行的平面有且仅有一个．

证：过a作平面与?交于a?，在?内作直线b?与a?相交，在a上任取一点P，在b?和P确定的平面内，过P作b∥b?．b在?外，b?在?内， ∴ b∥? 而a∥?

∴ a，b确定的平面?过a且平行于?． ∵ 过a，b的平面只有一个，

∴ 过a平行于平面?的平面也只有一个

89. 已知平面?、?、?、?．其中?∩?=l，?∩?=a，?∩?=a?，a∥a?，?∩?=b，?∩?=b?，b∥b?

上述条件能否保证有?∥?？若能，给出证明，若个反例，并添加适当的条件，保证有?∥?． 不足以保证?∥?． 如右图．

b＇ba＇l不能给出一

??a??如果添加条件a与b是相交直线，那么?∥?． 证明如下： a∥a??a∥? b∥b??b∥?

∵ a，b是?内两条相交直线， ∴ ?∥?．

90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行. 已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c. 求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c. 证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b ∴a、b?β ∴a、b相交或a∥b.

(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b 而a、b?β，a?α

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点 又∵α∩γ＝c 由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点. (2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且a?α，a?γ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.

由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.

说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.

91. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF. 求证：EF∥平面BB1C1C.

证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M. ∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴

AF?DFFMBF

又∵BD＝B1A，B1E＝BF ∴DF＝AE ∴

AFFM?AEB1E

∴EF∥B1M，B1M?平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.

证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE ∵AD∥BC

∴FH∥BC，BC?BB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得

BF?BHBDBA

又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴

B1E?BHAB1BA

∴EH∥B1B，B1B?平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C，

EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C

EF?平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.

92. 已知：平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于点M、N；线段AD分别交α、β于点C、D；线段BF分别交α、β于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积. 解析：如图，面AND分别交α、β于MC，ND，因为α∥β， 故MC∥ND，同理MF∥NE，得 ∠FMC＝∠END，

∴ND∶MC＝（m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)

1S△END∶S△FMC＝212?EN?ND?sinEND

?FM?MC?sinFMC得S△END＝

ENFM?NDMC×S△FMC

nm＝

nn?p?m?pm·(m+p)(n+p)=(m+p)2

∴△END的面积为

nm(m+p)2平方单位.

在B1C93. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M上，并且CM=DN. 求证:MN∥平面AA1B1B.

解析：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证B1P.

平面CN并延明MN∥

分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN∥平面ABB1A1.

94. 已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．

（1）求证：EF⊥平面GMC．

（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．

解析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题． 解：

（1）连结BD交AC于O，

∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD， ∴EF⊥AC．

∵AC∩GC＝C， ∴EF⊥平面GMC．

（2）可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG

95. 已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一点．

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