立体几何基础题题库一A
更新时间:2024-07-04 12:34:01 阅读量: 综合文库 文档下载
立体几何基础题题库一(有详细答案)
1、二面角??l??是直二面角,A??,B??,设直线AB与?、?所成的角分别为∠1和∠2,则 (A)∠1+∠2=900 (B)∠1+∠2≥900 (C)∠1+∠2≤900 (D)∠1+∠2<900 解析:C
??1A?2B?如图所示作辅助线,分别作两条与二面角的交线垂直的线,则∠1和∠2
分别为直线AB与平面?,?所成的角。根据最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角??ABO??2??ABO??1?90??2??1?90
2. 下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的一个...图是
SPSPRQQPPSSPS??PPRPQRPQRSSSSPRRSPQRPQQQRRPRQPPSRSSRPSQR
QSQQRR
QSQR
Q
(A) (B) (C) (D) D
解析: A项:PS?底面对应的中线,中线平行QS,PQRS是个梯形
D'PSC'A'B'RDACB项: 如图
QB
C项:是个平行四边形 D项:是异面直线。
3. 有三个平面?,β,γ,下列命题中正确的是
(A)若?,β,γ两两相交,则有三条交线 (B)若?⊥β,?⊥γ,则β∥γ
(C)若?⊥γ,β∩?=a,β∩γ=b,则a⊥b (D)若?∥β,β∩γ=?,则?∩γ=? D
解析:A项:如正方体的一个角,三个平面相交,只有一条交线。 B项:如正方体的一个角,三个平面互相垂直,却两两相交。
a???C项:如图
b
4. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等,则动点P所在曲线的形状为
ABOPABABOPB1ABADCBPD1C1PPB1O C
A1B1
A1
A1
A1B1
A1B1
D'A'B'C'PDACB解析:B1C1?平面AB1?B1C1?PB,,如图:P点到定点B的距离与到定直线AB的距离相等,建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。
5. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是
(A)4条 (B)6条 (C)8条 (D)10条 C
D'A'B'C'A'D'B'C'DACADC解析:如图共8条。
B这样的直线有4条,另外,这样的
B直线也有4条,
6. 设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB?AC?0,AC?AD?0,AB?AD?0,则△BCD是
(A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定 C
解析:假设AB为a,AD为b,AC为c,且a?b?c则,BD=
ACD=c?b,BC=a?b,
2222a?c22acbBD如图
C则BD为最长边,根据余弦定理
?cos?DCB?a?c22???22c?b222???222a?b22?2?0??DCB最大角为锐角。所以△
2a?c?c?bBCD是锐角三角形。 7.设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若a?b,a??,则b//? ③a??,???,则a//? 其中正确的命题的个数是
A.0个
B.1个
②若a//?,???,则a?? ④若a?b,a??,b??,则??? C.2个
D.3个
( )
( )
B 解析:注意①中b可能在α上;③中a可能在α上;④中b//α,或b??均有???, 故只有一个正确命题
8.如图所示,已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为2,底 面边长为3,E是SA的中点,则异面直线BE与SC 所成角的大小为 ( ) A.90° C.45°
B.60° D.30°
B 解析:平移SC到S?B,运用余弦定理可算得BE?S?E?S?B?2.
9. 对于平面M与平面N, 有下列条件: ①M、N都垂直于平面Q; ②M、N都平行于平面Q; ③ M内不共线的三点到N的距离相等; ④ l, M内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤ l, m是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
CB只有②、⑤能判定M//N,选B
A10. 已知正三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B⊥CB1,则A1B与AC1 所成的角为
(A)45 (B)60 (C)900 (D)1200
C解析:作CD⊥AB于D,作C1D1⊥A1B1于D1,连B1D、AD1,易知ADB1D1是平行四边形,由三垂线定理得A1B⊥AC1,选C。
11. 正四面体棱长为1,其外接球的表面积为
32520
0
C1A1B1A.3π B.π C.π D.3π
解析:正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。(可连成四个小棱锥得证
12. 设有如下三个命题:甲:相交直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内;乙:直线l、m中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交. 当甲成立时,
A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件
C.乙是丙的充分且必要条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
解析:当甲成立,即“相交直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内”时,若“l、m中至少有
一条与平面β相交”,则“平面α与平面β相交.”成立;若“平面α与平面β相交”,则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立.选(C). 13. 已知直线m、n及平面?,其中m∥n,那么在平面?内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集.其中正确的是 .
解析:(1)成立,如m、n都在平面内,则其对称轴符合条件;(2)成立,m、n在平面?的同一侧,且它们到?的距离相等,则平面?为所求,(4)成立,当m、n所在的平面与平面?垂直时,平面?内不存在到m、n距离相等的点
14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为( )
A.3
B.1或2
C.1或3
D.2或3
解析:C 如三棱柱的三个侧面。
15.若a、b为异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是
A.相交
B.异面
C.平行
( )
D. 异面或相交
解析:D 如正方体的棱长。
16.在正方体A1B1C1D1—ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为 A.
?6 ( )
B.
?4
C.
?3 D.
?2
解析:DB1D在平面AC上的射影BD与AC垂直,根据三垂线定理可得。
17.如图,点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
D'PSC'A'B'RDC解析:C A,B选项中的图形是平行四边形,而D选项中可见图:
AQB
18.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C为其上的三个点,则在正方体盒子中,∠ABC等于 ( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
AC
B解析:B 如图
★右图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: 解析:D
DEMB①AB与CD所在直线垂直; ③AB与MN所在直线成60°角; 其中正确命题的序号是 A.①③
B.①④
②CD与EF所在直线平行 ④MN与EF所在直线异面 C.②③
( )
D.③④
FNAC
19.线段OA,OB,OC不共面,?AOB=?BOC=?COA=60?,OA=1,OB=2,OC=3,则△ABC是
A.等边三角形
( )
B非等边的等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
2
2
2
2
2
2
2
2
2
解析:B. 设 AC=x,AB=y,BC=z,由余弦定理知:x=1+3-3=7,y=1+2-2=3,z=2+3-6=7。 ∴ △ABC是不等边的等腰三角形,选(B).
20.若a,b,l是两两异面的直线,a与b所成的角是则?的取值范围是
A.[
?5?6,6?3,l与a、l与b所成的角都是?,
( )
??6,2
??3,2] B.[] C.[
?5?3,6] D.[]
解析:D
解 当l与异面直线a,b所成角的平分线平行或重合时,a取得最小值时,a取得最大值
?2?6,当l与a、b的公垂线平行
,故选(D).
21.小明想利用树影测树高,他在某一时刻测得长为1m的 竹竿影长0.9m,但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建 筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子上了墙如图所 示.他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的 影高1.2m, 求树高的高度(太阳光线可看作为平行光线) _______. 4.2米
CDCE1.2CE10.9
解析:树高为AB,影长为BE,CD为树留在墙上的影高,?BE=2.7?1.08?3.78米,树高AB=
10.9??,CE=1.08米,树影长
BE=4.2米。
AD22.如图,正四面体
A?BCD(空间四边形的长及两对角线的长都相等)
中,E,F分别是棱AD,BC的中点, 则
BCAE四条边
EBFCD
EF和AC所成的角的大小是________.
解析:设各棱长为2,则EF=2,取AB的中点为M,cos?MFE?23.OX,OY,OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直 线,点P到这三条直线的距离分别为3,4,7,则OP长 为_______.
22.即???4.
解析:在长方体OXAY—ZBPC中,OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZ?OZ,
222222
PY?OY,PX?OX,有 OX+OZ=49,OY=OX=9, OY+OZ=16, 得 OX2+OY2+OZ2=37,OP=37.
24.设直线a上有6个点,直线b上有9个点,则这15个点,能确定_____个不同的平面.
解析: 当直线a,b共面时,可确定一个平面; 当直线a,b异面时,直线a与b上9个点可确定9个不同平面,直线b与a上6个点可确定6个不同平面,所以一点可以确定15个不同的平面. 25. 在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.求证:EF和AD为异面直线. 解析:假设EF和AD在同一平面?内,?(2分),则A,B,E,F??;??(4分)又A,E?AB,∴AB??,∴B??,??(6分)同理C????(8分)故A,B,C,D??,这与ABCD是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线.
26. 在空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD的中点,若AC + BD = a ,AC?BD =b,求EG?FH.
解析:四边形EFGH是平行四边形,????(4分)
BDFCGEH22A
1212EG?FH=2(EF?FG)=
2222(AC?BD)?22(a?2b)
2
27. 如图,在三角形⊿ABC中,∠ACB=90o,
AC=b,BC=a,P是⊿ABC 所在平面外一点,PB⊥AB,点,AB⊥MC,求异面直MC与PB间的距离. 解析:作MN//AB交PB于点N.(2分)∵PB⊥AB,∴PB⊥MN。
APM是PA的中
MNB(4分)又
CAB⊥MC,∴MN⊥MC.(8分)MN即为异面直线MC与PB的公垂线段,(10分)其长度就是MC与PB之间的距离, 则得MN=
12AB=12a?b.
2228. 已知长方体ABCD—A1B1C1D1中, A1A=AB, E、F分别是BD1和AD中点.
(1)求异面直线CD1、EF所成的角; (2)证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.
(1)解析:∵在平行四边形BAD1C1中,E也是AC1的中点,∴EF//C1D,(2分)
∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.(C14分)又 A1A=AB,长方体的侧面ABB1A1,CDD1C1都是正方形 ,∴D1C?CD1
∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.(7分) (2)证:设AB=AA1=a, ∵D1F=
a?2D1B1A1ECFADB
AD42?BF,∴EF⊥BD1.(9
分)
由平行四边形BAD1C1,知E也是AC1的中点,且点E是长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心,(12分)∴EA=ED,∴EF⊥AD,又EF⊥BD1,∴EF是异面直线BD1AD的公垂线.(14分)
C1D1与
B1A1ECFADB
29. ⊿ABC是边长为2的正三角形,在⊿ABC所在平面点P,PB=PC=
72D
外有一E是
,PA=
32,延长BP至D,使BD=7,PBC的中点,求AE和CD所成角的大小和这两条直线离.
解析:分别连接PE和CD,可证PE//CD,(2分)则∠PEAAE和CD所成角.(4分)在Rt⊿PBE中,
间的距
CEAB即是
PB=
72,BE=1,∴PE=
323?34?94=1. 322。在⊿AEP中,AE=3,cos?AEP?2?3?∴∠AEP=60o,即AE和CD所成角是60o.(7分)
∵AE⊥BC,PE⊥BC,PE//DC,∴CD⊥BC,∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段,(12分)它们之间的距离为1.(14分)
30. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体的棱A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1的中点,试证:E,F,G,H,M,N六点共面.
解析:∵EN//MF,∴EN与MF 共面?,(2分)又∵EF//MH,∴EF和MH共面?.(4分)∵不共线的三点E,F,M确定一个平面,(6分)∴平面?与?重合,∴点H??。(8分)同理点G??.(10分)故E,F,G,H,M,N六点共面.
31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时,它们的交线有 D
解析:分类:1)当两个平面平行,第三个平面与它们相交时,有两条交线; 2)当三个平面交于一条
直线时,有一条交线,故选D
32.两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是
A.4个
2( ) D.1条或2条
A.1条 B.2条 C.3条
C.6个
( ) D.8个
B.5个
解析:C 如四棱锥的四个侧面,C4?6个。
33..在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M,则 ( )
A.M一定在直线AC上 B.M一定在直线BD上
C.M可能在AC上,也可能在BD上 D.M不在AC上,也不在BD上
解析:∵平面ABC∩平面ACD=AC,先证M∈平面ABC,M∈平面ACD,从而M∈AC
A
34. .用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形,则这个多边形的边数最多是 . 解析:6条
35. 已知:a??,b??,a?b?A,P?b,PQ//a. 求证:PQ??..(12分)
本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.
解析:∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面?,?直线a??,点P??.
?p?b,b??,?p??
又?a????与?重合?PQ??
36. 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线。(12分) 本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法 解析:∵A、B、C是不在同一直线上的三点 ∴过A、B、C有一个平面? 又?AB???P,且AB??
?点P既在?内又在?内,设????l,则p?l.
同理可证:Q?l,R?l
?P,Q,R三点共线.37. 已知:平面??平面??a,b??,b?a?A,c??且c//a, 求证:b、c是异面直线
解析:反证法:若b与c不是异面直线,则b∥c或b与c相交
(1)若b//c.?a//c,?a//b这与a?b?A矛盾(2)若b,c相交于B,则B??,又a?b?A,?A???AB??,即b??这与b???A矛盾?b,c是异面直线.
38. 在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点,EF=3,求AD与BC所成角的大小
(本题考查中位线法求异面二直线所成角)
解析:取BD中点M,连结EM、MF,则
EM//AD,且EM?在?MEF中,?EF???EMF?120??12AD?1,MF//BC且MF?3,由余弦定理得12BC?1,EM2cos?EMF??MF2?EF22?EM?MF?1?1?32??12
?异面直线AD,BC所成角的大小为6039. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别为棱AA1和BB1的中点,求异面直线CM与D1N所成角的正弦值.(14分)
(本题考查平移法,补形法等求异面二直线所成角)
解析:取DD1中点G,连结BG,MG,MB,GC得矩形MBCG,记MC∩BG=0 则BG和MC所成的角为异面直线CM与D1N所成的角.
?MC2
?MA2?AC2?(32a)(设正方体的棱长为2a)BC?a?cos?BOC?19?sin?BOC?45959
而CM与D1N所成角的正弦值为4
40. 如图,P是正角形ABC所在平面外一点,M、N分别是AB和PC的中点,且PA=PB=PC=AB=a。 (1)求证:MN是AB和PC的公垂线 (2)求异面二直线AB和PC之间的距离
解析:(1)连结AN,BN,∵△APC与△BPC是全等的正三角形,又N是PC的中点 ∴AN=BN
又∵M是AB的中点,∴MN⊥AB 同理可证MN⊥PC
又∵MN∩AB=M,MN∩PC=N ∴MN是AB和PC的公垂线。
(2)在等腰在角形ANB中,?AN?BN?32a,AB?a,?MN?AN2?(12AB)2?22a
即异面二直线AB和PC之间的距离为
22a.
41空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一条直线上,那么经过其中三个点的平面 [ ] A.可能有3个,也可能有2个 B.可能有4个,也可能有3个 C.可能有3个,也可能有1个 D.可能有4个,也可能有1个
解析:分类,第一类,四点共面,则有一个平面,第二类,四点不共面,因为没有任何三点共线,则任何三点都确定一个平面,共有4个。. 42. 下列命题中正确的个数是 [ ] ①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形
③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:命题①是正确的,因为三角形的三个顶点不共线,所以这三点确定平面。
命题②是错误,因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动,就形成了空间四边形。命题③也是错误,它是上一个命题中比较特殊的四边形。
命题④是正确的,因为矩形必须是平行四边形,有一组对边平行,则确定了一个平面。 43. 如果一条直线上有一个点不在平面上,则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。 解析:如果有两个,则直线就在平面内,那么直线上的所有点都在这个平面内,这就与已知有一个点不在平面上矛盾,所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。
44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点,如果连结这两点的直线与已知直线_______,则它们在同一平面内。答案:相交或平行
解析:根据推论2,推论3确定平面的条件。
45. 三角形、四边形、正六边形、圆,其中一定是平面图形的有________3个。
解析:三角形的三个顶点不在一条直线上,故可确定一个平面,三角形在这个平面内;圆上任取三点一定不在一条直线上,这三点即确定一个平面,也确定了这个圆所在的平面,所以圆是平面图形;而正六边形内接于圆,故正六边形也是平面图形;而四边形就不一定是平面图形了,它的四个顶点可以不在同一平面内。
46. 三条平行直线可以确定平面_________个。答案:1个或3个
解析:分类、一类三线共面,即确定一个平面,另一类三线不共面,每两条确定一个,可确定3个。 47. 画出满足下列条件的图形。 (1)α∩β=1,a (2)α∩β=a,b
α,b
β,a∩b=A
β,b∥a
解析:如图1-8-甲,1-8-乙
48.经过平面?外两点A,B和平面?垂直的平面有几个? 解析:一个或无数多个。
当A,B不垂直于平面?时,只有一个。 当A,B垂直于平面?时,有无数多个。
49. 设空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点,若AB=122,CD=4 2,且四边形EFGH的面积为12 3,求AB和CD所成的角.
解析: 由三角形中位线的性质知,HG∥AB,HE∥CD,∴ ∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.
12∵ EFGH是平行四边形,HG= AB=62,
HE=
12 ,CD=23,
D∴ SEFGH=HG·HE·sin∠EHG=12123.
226 sin∠EHG,∴ 12 6sin∠EHG
HCG=
EFB∴ sin∠EHG=,故∠EHG=45°.
A∴ AB和CD所成的角为45°
注:本例两异面直线所成角在图中已给,只需指出即可。
22
50. 点A是BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=和BC所成的角。(如图)
AD,求异面直线AD
A解析:设G是AC中点,连接DG、FG。因D、F分别是AB、点,故EG∥BC且EG=
12
CD中
BC,FG∥AD,且FG=
12AD,由异面直
EGBFCD线所所成由余
成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC角,即∠EGF为所求。由BC=AD知EG=GF=弦定理可得cos∠EGF=0,即∠EGF=90°。
12AD,又EF=AD,
注:本题的平移点是AC中点G,按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线,然后在△EFG中求角。通常在出现线段中点时,常取另一线段中点,以构成中位线,既可用平行关系,又可用线段的倍半关系。
51. 已知空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 求:AM与CN所成的角的余弦值; 解析:(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E,则∠CNE 为AM与CN所成的角。
∵N为AD的中点, NE∥AM省 ∴NE= 设正四面体的棱长为1, 则NC= 在Rt△MEC中,CE2=ME2+CM2=
1231612AM且E为MD的中点。
34716·3214= =
且ME=
12MD=
34
+
∴cos∠CNE=
CN2?NE2?CE2(?34)?(2?34234?)?342716??232?CN?NE,
又∵∠CNE ∈(0,
?2)
23∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
注:1、本题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长,再回到△CEN中求角。
2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、F分别是BC、AD上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7,
AFFD?BEEC?13。求异面直线AB与CD所成的角。
解析:在BD上取一点G,使得
BGGD?13,连结EG、FG
C 在ΔBCD中,
EGCD?BEBC?14BEEC?BGGD,故EG//CD,并且
EBAFGD,
所以,EG=5;类似地,可证FG//AB,且
FGAB?DFAD?34,
故FG=3,在ΔEFG中,利用余弦定理可得 cos∠
D1A1DOACBC1B1EFGE=
EG2?GF2?EF22?EG?GF?3?5?72?3?5222??12,故∠FGE=120°。
另一方面,由前所得EG//CD,FG//AB,所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角,于是AB与CD所成的角等于60°。
53. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=c,AB=a,AD=b,且a>b.求AC1与BD所成的角的余弦.
12解一:连AC,设AC∩BD=0,则O为AC中点,取C1C的中点F,连OF,则OF∥AC1且OF=所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中,OB=BE=
12b?2AC1,
212a?b22,OF=
12a?b?c22,
14c2,由余弦定理得
D1A1C1O1B1FCOAGDB1cos∠OB=4(a?b)?2?1422142(a?b?c)?(b?2222214c)2=
a?b22222
22)a?b?a?b?c222(a?b)(a?b?c解二:取AC1中点O1,B1B中点G.在△C1O1G中,∠C1O1G即AC1与DB所成的角。
解三:.延长CD到E,使ED=DC.则ABDE为平行四边形.AE∥BD,所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角.连EC1,在△AEC1 中,AE=
a?b,AC1=
22222a?b?c,C1E=
22222224a?c由余弦定理,得
b?a2222222cos∠EAC1=
(a?b)?(a?b?c)?(4a?c)2?a?b?22a?b?c222=<0
22)(a?b)(a?b?c所以∠EAC1为钝角.
a?b2222222根据异面直线所成角的定义,AC1与BD所成的角的余弦为
(a?b)(a?b?c)54. 已知AO是平面?的斜线,A是斜足,OB垂直?,B为垂足,则 直线AB是斜线在平面?内的射影,设AC是?内的任一条解析:设AO与AB所成角为?1,AB与AC所成角为?2,角为?,则有cos??cos?1?cos?2。
A'直线,
OAO与AC所成
BC'在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC= ∠ACB=90,AC?2,BC?1,2问)
?AC3,SB?29,求异面直线SC与AB所成角的大小。(略去了该题的
由SA⊥平面ABC知,AC为SC在平面ABC内的射影, 设异面直线SC与AB所成角为?, 则 cos??cos?SCA?cos?BAC, 由AC?2,BC?AB?3,SB?29 得
SACB17,SA?23,SC?2
∴ cos?SCA?12 , cos?BAC?2,
17∴ cos??1717, 即异面直线SC与AB所成角为 arccos1717。
55. 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且
?C?A11CB??C1CD??BCD?60,证明 C1C?BD。
B1C1D1(略去了该题的2,3问)
BA解析: 设CH,则CH为CH1在平面ABCD内射影为1C在平面ABCDCD射影,
∴ cos?C1CD?cos?C1CH?cos?DCH, ∴ cos?C1CB?cos?C1CH?cos?BCH,
由题意 ?C1CD??C1CB, ∴cos?DCH?cos?BCH。 又 ∵?DCH,?BCH?[0,?)
∴?DCH??BCH, 从而CH为?DCB的平分线, 又四边形ABCD是菱形, ∴CH?BD ∴C?1C与BD所成角为90, 即C1C?BD
56.. 在正四面体ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点, 求异面直线AE与CF所成角的大小。 解析: 连接BF、EF,易证AD⊥平面BFC, ∴ EF为AE在平面BFC内的射影, 设AE与CF所成角为?,
A∴ cos??cos?AEF?cos?CFE,
F设正四面体的棱长为a,则AE?CF?BF?3BD2a ,
EC显然 EF⊥BC, ∴ EF?22a ,
内的
∴ cos?AEF?EFAE?63, cos?AFE?EFCF?63,
∴ cos??23, 即AE∴与CF所成角为 arccos23。
57. 三棱柱OAB?O1A1B1,平面OBB1O1⊥平面OAB,
?O1OB?60,?AOB?90,且OB?OO1?2,OA???3,求异面直线A1B与AO1所成角的大小,
(略去了该题的1问)
解析: 在平面BO1内作BC?OO1于C ,连A1C,
A1O1B1由平面BOO1B1?平面AOB,?AOB?90? 知,
OCBAO⊥平面BOO1B1, ∴ AO?BC, 又 AO?OO1?O, ∴ BC⊥平面AOO1A1, ∴ A1C为A1B在平面AOO1A1内的射影。
A设A1B与AO1所成角为?,A1C与AO1所成角为?2, 则cos??cos?BA1C?cos?2, 由题意易求得 BC?A1CA1B3,A1C?2,A1B?7 ,
∴ cos?BA1C??27,
在矩形AOO1A1中易求得A1C与AO1所成角?2的余弦值:cos?2?17714,
∴ cos??cos?BA1C?cos?2?17,
即A1B与AO1所成角为 arccos。
58. 已知异面直线a与b所成的角为50,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角均是30的直线有且只有( )
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
??解析: 过空间一点P作a'∥a,b'∥b,则由异面直线所成角的定义知:a'与b'的交角为50?,过P与a',b'成等角的直线与a,b亦成等角,设a',b'确定平面?,a',b'交角的平分线为l,则过l且与?垂直的平面(设为?)内的任一直线l'与a',b'成等角(证明从略),由上述结论知:l'与a',b'所成角大于或等于l与a',b'所成角25?,这样在?内l的两侧与a',b'成30?角的直线各有一条,共两条。在a',b'相交的另一个角130?内,同样可以作过130?角平分线且与?垂直的平面?,由上述结论知,?内任一直线与a',b'所成角大于或等于65?,所以?内没有符合要求的直线,因此过P与a,
b成30?的直线有且只有2条,故选(B)
59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能 解析:D
60. l1、l2是两条异面直线,直线m1、m2与l1、l2都相交,则m1、m2的位置关系是(A.异面或平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 解析:D
61. 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有几条 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10 解析:A
62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是 ( )
A.48对 B.24对 C.12对 D.6对
)
解析:B
D'A'B'C'
DCAB棱AA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算
一次,共有24对.
63.. 正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是( ) A.45° B.60° C.90° D.120°
D'C'B'A'DAC解析:B
∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°
B 64.异面直线a、b,a⊥b,c与a成30°角,则c与b成角的范围是 ( )
?A.
?3,?2? B.
??6,?2?
2?3?C.
?6,2?3? D.
??3,?
c2c1b解Ab成角的最小值是60°
直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与
65..如图,空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动,则P、Q的最短距离为( )
A .12 B.22 C.34 D.32 解析:B
当M,N分别为中点时。
因为AB, CD为异面直线,所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理,连接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN为AB,CD
2-BM24422的公垂线。因为AN=BN=所以在RT△BMN中,MN=求异面直线的距离通常利用定义来求,它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直;再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步,而忽略第一步。
3BN=3-1=266. 空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=√3,则AD,BC所成的角为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
cos?EMF=12+12-?3?22?1?1=-12A解B注:面直线所成角的概念,范围及求法,需注意的是,异面直线所不能是钝角,而利用平行关系构造可求解的三角形,可能是钝形,望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过67. 直线a是平面α的斜线,b在平α内,已知a与b成60°
BEMD考察异成的角角三角程。 的角,
FC且b与a在平α内的射影成45°角时,a与α所成的角是( )
aAA.45° B.60° C.90° D.135°
?OCbB解A
A∈a,A在?内的射影是C,则AC⊥?于C,AB⊥b于B,则OB⊥平面ABC?OB⊥BCOCOB∵cos?AOC= cos?AOB=cos60?=OAOAOBOCcos?BOC=cos45?=∴cos?AOC=OCOA=cos?AOBcos?BOC=cos60?cos45?=22∴?AOC=45? 68. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线,α与β交于l,m和n与l既不垂直,
也不平行,那么m和n的位置关系是 A.可能垂直,但不可能平行 B.可能平行,但不可能垂直 C.可能垂直,也可能平行
D.既不可能垂直,也不可能平行
解析:这种结构的题目,常常这样处理,先假设某位置关系成立,在此基础上进行推理,若无矛盾,且推理过程可逆,就肯定这个假设;若有矛盾,就否定这个假设。 设m//n,由于m在β外,n在β内, ∴m//β
而α过m与β交于l ∴m//l,这与已知矛盾, ∴m不平行n.
设m⊥n,在β内作直线α⊥l, ∵α⊥β, ∴a⊥α, ∴m⊥a.
又由于n和a共面且相交(若a//n 则n⊥l,与已知矛盾) ∴m⊥β,
∴m⊥l与已知矛盾, ∴m和n不能垂直. 综上所述,应选(D).
69. 如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E、F分别是AD、DD1的中点,则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于
解析:为了作出二面角E-BC1-C的平面角,需在一个面内取一点,过该点向另一个面引垂线(这是用
三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤)。
从图形特点看,应当过E(或F)作面BCC1的垂线.
解析:过E作EH⊥BC,垂足为H. 过H作HG⊥BC1,垂足为G.连EG. ∵面ABCD⊥面BCC1,而EH⊥BC ∵EH⊥面BEC1,
EG是面BCC1的斜线,HG是斜线EG在面BCC1内的射影.
∵HG⊥BC1,
∴EG⊥BC1, ∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在Rt△BCC1中:sin∠C1BC= 在Rt△BHG中:sin∠C1BC= ∴HG= 而EH=1,
在Rt△EHG中:tg∠EGH= ∴∠EGH=arctg
=
(设底面边长为1).
故二面角E-BC1-C 等于arctg.
70. 将边长为1的正方形ABCD,沿对角线AC折起,使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为
解析:设AC、BD交于O点,则BO⊥AC 且DO⊥AC,在折起后,这个垂直关系不变,因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角. 由于△DOB中三边长已知,所以可求出∠BOD:
这是问题的一方面,另一方面为了求体积,应求出高,这个高实际上是△DOB中,OB边上的高DE,理由是:
∵DE⊥OB
∴DE⊥面ABC.
由cos∠DOB= ∴DE=
,知sin∠DOE=
∴
应选(B)
71. 球面上有三个点A、B、C. A和B,A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的
.如果球的半径是R,那么球心到截面ABC的距离等于
解析:本题考查球面距离的概念及空间想像能力.
如图所示,圆O是球的大圆,且大圆所在平面与面ABC垂直,其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径,弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离,OE是球的半径,因此,欲求OD,需先求出截
面圆ABC的半径.
下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B间球面距离是大圆周长的
,所以∠AOB=
×2π=
,
同理∠AOC=,∠BOC=.
∴|AB|=R, |AC|=R, |BC|=.
222
在△ABC中,由于AB+AC=BC.
∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径.
∴|ED|=
从而|OD|=. 故应选B.
72. 如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,该图中,互相垂直的面有
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 答案(D)
解析:要找到一个好的工作方法,使得计数时不至于产生遗漏
73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心,那么AB和DM所成的角等于______
解析:90°连CM交AB于N,连DN,易知N是AB中点,AB⊥CN,AB⊥DN. 74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证MN⊥面PCD.(12分) 解析:
(1)取PD中点E,又N为PC中点,连NE,则NE//CD,NE?12CD.又?AM//CD,AM?12CD,?AM//NE,?四边形AMNE为平行四边形??MN//AE?PA?平面ABCD?CD?PACD?面ABCD???CD?平面ADP??CD?AD???AE?平面ADP??CD?AE.(注:或直接用三垂线定理
?(2)当?PDA?45?时,Rt?PAD为等腰直角三角形则AE?PD,又MN//AE,?MN?PD,PD?CD?D
MN?平面PCD.75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。 如图:(1)证明:PQ∥平面AA1B1B;
(2)求线段PQ的长。(12分)
,
?(1)证法一:取AA1,A1B1的中点M,N,连结MN,NQ,MP?MP//AD,MP?12AD,NQ//A1D1,NQ?12A1D1?MP//ND且MP?ND?四边形PQNM为平行四边形?PQ//MN?MN?面AA1B1B,PQ?面AA1B1B?PQ//面AA1B1B证法二:连结AD1,AB1,在?AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B的中点?PQ//AB,且PQ12AB1?PQ?面AA1B1B,AB1?面AA1B1B?PQ//面AA1B1B(2)方法一:PQ?MN?方法二:PQ?12AB1?22A1Ma.2?A1N2?22a
评注:本题提供了两种解法,方法一,通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”;方法二,通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”,从而证得“线面平行”。本题证法较多。
76. 如图,已知????l,EA??于A,EB??于B,a??,a?AB.
求证a∥l
解析:
EA??,EB???l?EA?????l?平面EAB????ll?EB??又?a??,EA??,?a?EA又?a?AB?a?平面EAB?a//l.
77. .如图,ABCD为正方形,过A作线段SA⊥面ABCD,又过A作与SC垂直的平面交SB、
SC、SD于E、K、H,求证:E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。(12分) 解析:
?SA?平面ABCD???SA?BCBC?平面ABCD?又?AB?BC,SA?AB?A,?BC?平面SAB?BC?AE?SC?平面AHKE?SC?AE又BC?SC?C?AE?平面SBC?AE?SB,即E为A在SB上的射影.用理可证,H是点A在SD上的射影.
78. 在正方体ABCD—A1B1C1D1,G为CC1的中点,O为底面ABCD的中心。 解析:
BD?平面A1AD??A1A?BD?????BD?A1OAC?BDA1O?面A1AO??又?A1OOGA1G22求证:A1O⊥平面GBD(14分)
?A1A?AO222?a?(222a)?232a2
?OC?CG22?(2a2322a)?()?a224222?A1C1?C1G2?(2a)?(2a22)?94a2?A1O?OG2?A1G?A1O?OG又BD?OG?0A1O?平面GBD79. 如图,已知a、b是两条相互垂直的异面直线,其公垂线段AB的长为定值m,定长为n(n>m)
的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动,M、N分别是AB、PQ的中点。 解析:
(1)求证:AB⊥MN;
(2)求证:MN的长是定值(14分)
(1)取PB中点H,连结HN,则HN//b又?AB?b?AB?HN同理AB?MH?AB?平面MNH?AB?平面MNH?AB?MN(2)?b?AB???b?平面PAB?b?PB.b?a?2在Rt?PBQ中,BQ2?PQ?PB2222?n?PB?(1)?PB?m?(2)2222在Rt?PBA中,PA?PB?AB(1),(2)两式相加PA?BQ?a?b,??MHN?90?MN?MH2?22?n?m22
?(PA2)?(2?NH2BQ2)?212n?m(定值)2280. 已知:平面?与平面?相交于直线a,直线b与?、?都平行,求证:b∥a. 证明:在a上取点P,b和P确定平面?设?与?交于a?,?与?交于a?? ∵ b∥?且b∥? ∴ b∥a?且b∥a??
∴ a?与a??重合,而a???, a????,实际上是a?、a??、a三线重合, ∴ a∥b.
81. 有三个几何事实(a,b表示直线,?表示平面),① a∥b,② a∥?,③ b∥?.其中,a,b在面?外.
用其中两个事实作为条件,另一个事实作为结论,可以构造几个命题?请用文字语言叙述这些命题,并判断真伪.正确的给出证明,错误的举出反例. 解析:Ⅰ: a∥b a∥? ?b∥? b在?外 Ⅱ:a∥b
b∥? ?a∥? a在?外
Ⅰ、Ⅱ是同一个命题:两条平行直线都在一个平面外,若其中一条与平面平行,则另一条也与该平面平行.
证明:过a作平面?与?交于a? ∵ a∥? ∵ a∥a? 而a∥b
∴ b∥a?且b在?外,a?在?内 ∴ b∥?. Ⅲ:a∥?
?a∥b b∥?
命题:平行于同一个平面的两条直线平行, 这是错的,如右图
82. 两个平面同时垂直于一条直线,则两个平面平行. 已知:?、?是两个平面,直线l⊥?,l⊥?,垂足分别为A、B. 求证:?∥?思路1:根据判定定理证.
l证法1:过l作平面??,
γ Aδ E?∩?=AC,?∩?=BD,
过l作平面?,
? CB? DF?∩?=AE,?∩?=BF,
l⊥??l⊥AC
l⊥??l⊥BD ?AC∥BD?AC∥?, l、AC、BD共面
同理AE∥?,AC∩AE≠??,AC,AE???,故?∥?. 思路2:根据面面平行的定义,用反证法.
证法2:设?、?有公共点P 则l与P确定平面?, 且?∩?=AP,?∩?=BP. l⊥??l⊥AP l⊥??l⊥BP
l、AP、BP共面,于是在同一平面内过一点有两条直线AP、BP都与l垂直,这是不可能的. 故?、?不能有公共点,∴ ?∥?.
83. 已知:a、b是异面直线,a?平面?,b?平面?,a∥?,b∥?. 求证:?∥?.
证法1:在a上任取点P, 显然P∈b. 于是b和点P确定平面?. 且??与??有公共点P ∴ ??∩?=b′ 且b′和a交于P, ∵ b∥??, ∴ b∥b′ ∴ b′∥? 而a∥?
这样??内相交直线a和b′都平行于? ∴ ?∥?.
证法2:设AB是a、b的公垂线段, 过AB和b作平面??,
b′
??∩?=b′,
过AB和a作平面??,
?∩?=a′.
a∥??a∥a′ b∥??b∥b′
∴AB⊥a?AB⊥a′,AB⊥b?AB⊥b′ 于是AB⊥??且AB⊥?,∴ ?∥?.
84. 已知a、b、c是三条不重合的直线,α、β、r是三个不重合的平面,下面六个命题: ①a∥c,b∥c?a∥b; ②a∥r,b∥r?a∥b; ③α∥c,β∥c?α∥β; ④α∥r,β∥r?α∥β; ⑤a∥c,α∥c?a∥α; ⑥a∥r,α∥r?a∥α. 其中正确的命题是
(A) ①④ (C) ①②③
(B) ①④⑤ (D) ①⑤⑥
( )
解析:由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确;若两条不重合的直线同平行于一个平面,它们可能平行,也可能异面还可能相交,因此命题②错误;平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行,也可能相交,命题③错误;平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行,命题④正确;若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面,那么这条直线与这个平面或平行,或直线在该平面内,因此命题⑤、⑥都是错的,答案选A.
85. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,M、N分别是A1B1,AB的中点,P点在线段B1C上,则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )
(A) 垂直 (B) 平行
(C) 相交但不垂直 (D) 要依P点的位置而定
P
解析:由题设知B1M∥AN且B1M=AN, 四边形ANB1M是平行四边形, 故B1N∥AM,B1N∥AMC1平面.
又C1M∥CN,得CN∥平面AMC1,则平面B1NC∥AMC1,NP?平面B1NC, ∴ NP∥平面AMC1. 答案选B.
86. 已知:正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a. (1) 求证:平面A1BD∥平面B1D1C; (2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离. 证明:(1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ∵ BB1平行且等于DD1,
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形, ∴ BD∥B1D1, ∴ BD∥平面B1D1C. 同理 A1B∥平面B1D1C, 又A1B∩BD=B,
∴ 平面A1BD∥平面B1D1C
解:(2) 连AC1交平面A1BD于M,交平面B1D1C于N. AC是AC1在平面AC上的射影,又AC⊥BD, ∴ AC1⊥BD, 同理可证,AC1⊥A1B,
∴ AC1⊥平面A1BD,即MN⊥平面A1BD, 同理可证MN⊥平面B1D1C.
∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离,
设AC、BD交于E,则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E.
∵ M∈平面A1BD,M∈AC1?平面A1C, ∴ M∈A1E. 同理N∈CF.
在矩形AA1C1C中,见图9-21(2),由平面几何知识得
MN?13AC1,
∴ MN?33a.
评述:当空间图形较为复杂时,可以分解图形,把其中的平面图形折出分析,利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系.证明面面平行,主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线,或者使用反证法.
87. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面边长为8,对角线B1C=10,D为AC的中点. (1) 求证AB1∥平面C1BD;
(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离. 证明:(1) 设B1C∩BC1=O. 连DO,则O是B1C的中点.
在△ACB1中,D是AC中点,O是B1C中点. ∴ DO∥AB1,
又DO?平面C1BD,AB1?平面C1BD, ∴ AB1∥平面C1BD.
解:(2) 由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,D是AC中点, ∴ BD⊥AC,且BD⊥CC1, ∴ BD⊥平面AC1,
平面C1BD⊥平面AC1,C1D是交线. 在平面AC1内作AH⊥C1D,垂足是H, ∴ AH⊥平面C1BD,
又AB1∥平面C1BD,故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离. 由BC=8,B1C=10,得CC1=6, 在Rt△C1DC中,DC=4,CC1=6, sin?C1DC?64?622?313
在Rt△DAH中,∠ADH=∠C1DC
121313∴ AH?AD?sin?C1DC?.
即AB1到平面C1BD的距离是
121313.
评述:证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线,如本题的DO.本题的第(2)问,实质上进行了“平移变换”,利用AB1∥平面C1BD,把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离.
88. 已知:直线a∥平面?.求证:经过a和平面?平行的平面有且仅有一个.
证:过a作平面与?交于a?,在?内作直线b?与a?相交,在a上任取一点P,在b?和P确定的平面内,过P作b∥b?.b在?外,b?在?内, ∴ b∥? 而a∥?
∴ a,b确定的平面?过a且平行于?. ∵ 过a,b的平面只有一个,
∴ 过a平行于平面?的平面也只有一个
89. 已知平面?、?、?、?.其中?∩?=l,?∩?=a,?∩?=a?,a∥a?,?∩?=b,?∩?=b?,b∥b?
上述条件能否保证有?∥??若能,给出证明,若个反例,并添加适当的条件,保证有?∥?. 不足以保证?∥?. 如右图.
b'ba'l不能给出一
??a??如果添加条件a与b是相交直线,那么?∥?. 证明如下: a∥a??a∥? b∥b??b∥?
∵ a,b是?内两条相交直线, ∴ ?∥?.
90. 三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行. 已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c. 求证:a、b、c相交于同一点,或a∥b∥c. 证明:∵α∩β=a,β∩γ=b ∴a、b?β ∴a、b相交或a∥b.
(1)a、b相交时,不妨设a∩b=P,即P∈a,P∈b 而a、b?β,a?α
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点 又∵α∩γ=c 由公理2知P∈c
∴a、b、c都经过点P,即a、b、c三线共点. (2)当a∥b时
∵α∩γ=c且a?α,a?γ ∴a∥c且a∥b ∴a∥b∥c
故a、b、c两两平行.
由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.
说明:此结论常常作为定理使用,在判断问题中经常被使用.
91. 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上,且B1E=BF. 求证:EF∥平面BB1C1C.
证法一:连AF延长交BC于M,连结B1M. ∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴
AF?DFFMBF
又∵BD=B1A,B1E=BF ∴DF=AE ∴
AFFM?AEB1E
∴EF∥B1M,B1M?平面BB1C1C ∴EF∥平面BB1C1C.
证法二:作FH∥AD交AB于H,连结HE ∵AD∥BC
∴FH∥BC,BC?BB1C1C ∴FH∥平面BB1C1C 由FH∥AD可得
BF?BHBDBA
又BF=B1E,BD=AB1 ∴
B1E?BHAB1BA
∴EH∥B1B,B1B?平面BB1C1C ∴EH∥平面BB1C1C,
EH∩FH=H
∴平面FHE∥平面BB1C1C
EF?平面FHE
∴EF∥平面BB1C1C
说明:证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个平面内.
92. 已知:平面α∥平面β,线段AB分别交α、β于点M、N;线段AD分别交α、β于点C、D;线段BF分别交α、β于点F、E,且AM=m,BN=n,MN=p,△FMC面积=(m+p)(n+p),求:END的面积. 解析:如图,面AND分别交α、β于MC,ND,因为α∥β, 故MC∥ND,同理MF∥NE,得 ∠FMC=∠END,
∴ND∶MC=(m+p):m和EN∶FM=n∶(n+p)
1S△END∶S△FMC=212?EN?ND?sinEND
?FM?MC?sinFMC得S△END=
ENFM?NDMC×S△FMC
nm=
nn?p?m?pm·(m+p)(n+p)=(m+p)2
∴△END的面积为
nm(m+p)2平方单位.
在B1C93. 如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点N在BD上,点M上,并且CM=DN. 求证:MN∥平面AA1B1B.
解析:本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”,即在ABB1A1内找一条直线与MN平行,除上面的证法外,还可以连长交直线BA于点P,连B1P,就是所找直线,然后再设法证B1P.
平面CN并延明MN∥
分析二:要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”,因此,本题也可设法过MN作一个平面,使此平面与平面ABB1A1平行,从而证得MN∥平面ABB1A1.
94. 已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点,EF交AC于M,GC垂直于ABCD所在平面.
(1)求证:EF⊥平面GMC.
(2)若AB=4,GC=2,求点B到平面EFG的距离.
解析:第1小题,证明直线与平面垂直,常用的方法是判定定理;第2小题,如果用定义来求点到平面的距离,因为体现距离的垂线段无法直观地画出,因此,常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题. 解:
(1)连结BD交AC于O,
∵E,F是正方形ABCD边AD,AB的中点,AC⊥BD, ∴EF⊥AC.
∵AC∩GC=C, ∴EF⊥平面GMC.
(2)可证BD∥平面EFG,由例题2,正方形中心O到平面EFG
95. 已知:ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,E是SC上一点.
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