高等代数与解析几何1~4章习题答案

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. n?2时，n级的奇排列共

n !个. （ √ ） 2二、填空题

1. 排列(15342 )的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?2 的逆序数是 n(n－1) . 2. 设行列式D?aijn?n,则a11A11?a12A12?...?a1nA1n= D ，a11A51?a12A52?...?a1nA5n= 0 .

?x12323xx23. 行列式D＝的展开式中x4的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 12x?33x122x

4. 排列j1j2?j8的逆序数是9，则排列 j8j7?j1 的逆序数是 19 .

75. 设D?6232?13?2，则M11?M12?M13?M14= 240 . 41948?127?8

二、证明题

2?20?0002?000?0???0?000?2123?n?1n3. Dn??22?（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

0??2122?2222?24. Dn?223?2（提示：爪型行列式）

?????222?n高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组

一、 判断题

1. 如果矩阵A有r阶子式大于零,那么rank(A)?r.（ ×） 2. 如果矩阵A没有非零子式，那么rank(A)?0.（√ ） 3. 如果矩阵A的r阶子式都等于零,那么rank(A)?r.（ √） 4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）

5. 若n元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n.（√ ） 三、填空题

??10000? 1. 4?5矩阵A的秩为2， 则A的标准形为___?01000????00000?____________. ??00000??? 2 若n元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .

三、计算与证明题

??x1?x2?x3?2x4?x5?0,1. 求齐次线性方程组??3x1?x3?x4?x5?0,x 的一般解. ?x1?4x2?3x3?7x4?55?0,??3x2?2x3?5x4?4x5?0解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得

??11121?121???31?1??11121??11A＝01254??????0?3?2?5????1?14375???4????03??00000????0??03254???03254???03254??????00000?????0?0取x3,x4,x5为自由未知量，得其一般解为：……

?2x1?x2?x3?x4?1,2. 解线性方程组??4x1?2x2?2x3?x4?2,

??2x1?x2?x3?x4?1. 解 方程组的增广矩阵为：

?21?11?1? B =

??42?2 1? 2???，….……………………………….. 2分 ?21?1?1?1??对B做行初等变换：

0113312503030000?1?43???3?0?0?? ?21?10?1?B=?0001 ? 0??0000?0从而得方程组的解为……

??，…………………………….....…… 6分 ???3. 设a1,a2,?,an是数域K中互不相同的数，b1,b2,?,bn是数域K中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K上的多项式f?x??c0?c1x?c2x2???cn?1xn?1 使f?ai??bi, i?1,2,...,n.

证明:要证有唯一的数域K上的多项式f?x??c0?c1x?c2x2???cn?1xn?1 使f?ai??bi

?i?1,2,?,n?,即要证有唯的一组数c0,c1,c2,...,cn?1,使得

?f(a1)?c0?c1a1?c2a12?...?cn?1a1n?1?b1?2n?1?f(a2)?c0?c1a2?c2a2?...?cn?1a2?b2??...2n?1?f(a)?c?ca?ca?...?ca?bnn01n2nn?1n?即证方程组

…… (2分)

?x0?a1x1?a12x2?...?a1n?1xn?1?b1?2n?1?x0?a2x1?a2x2?...?a2xn?1?b2? …… (4分) ?...2n?1?x?ax?ax?...?an1n2nxn?1?bn?0有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式

1a11a2D?1a3??1ana12?a1n?12n?1a2?a22n?1 ……(5分) a3?a3???2n?1an?anDT是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,D?DT?1?i?j?n?(aj?ai) ……(7分)

又a1,a2,?,an是数域K中互不相同的数,故D?0,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)

4. 设a1,a2,...,an是互不相同的数，b是任意数，证明线性方程组

x1?x2?...?xn?1??a1x1?a2x2?...?anxn?b? ???n?1n?1n?1n?1??a1x1?a2x2?...?anxn?b只有唯一解，并求出这个解.

证明:

观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式

1D=

1a2????1an 是n阶范德蒙德行列式 …… (4分) ?a1?a1n?1n?1n?1a2?an因此，D=

1?j?i?n?(ai?aj)，由于a1,a2,...,an是互不相同的数，所以D?0，根据克莱姆法则知此线性

Dk,k?1,2,...,n,其中Dk是将系数行列式D的第k列换成 D方程组只有唯一解, xk?(1,b,b2,...,bn?1)T， …… (7分)

显然Dk依然是n阶范德蒙德行列式，且Dk的值只是将D的值中ak的地方换成b，因此

xk?

(an?b)...(ak?1?b)(b?ak?1)...(b?a1),k?1,2,...,n (10分)

(an?ak)...(ak?1?ak)(ak?ak?1)...(ak?a1)? x1?x2?x3? 0,?5. 假设有齐次线性方程组? x1?2x2?x3? 0 ,

? p x?x?x? 0,123?当p为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。

解 |A|=

111121= 1- p，…………………………...…………. .4分

p11当 |A|?0，即 p?1，方程组有唯一解。……………..………….…. 6分

?111??101?????，……………………………. 9分

p = 1时，121010????????111???000??方程组的解为：………

6. 问常数k取何值时, 方程组

?x1???x1?x?1?x2?kx2?x2?kx3?x3?2x3 无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。

解 A = -（k+1）（k - 4）。……………………….…….….………. ...3分

当 A?0，即 k?-1，且 k ? 4 时，方程组有唯一解。.………. ...5分

?4?k2??4

1?14?1?k = -1时，?1 ?111??11?0??0?10??，方程组无解.…...8分 45????1?12?4?????0?2??k = 4时，?1144???1 4116??114??2?4??1?1??0 11???000方程组的解为：…………

3?8???4?4??，……………..…..10分 0??

高代与解几第二章自测题（四）——方程组解的情况

一、判断题

1. 若?1,?2,?3是某齐次线性方程组的一个基础解系，则?1??2,?2??3,?3??1也是该齐次线性方程组的一个基础解系.（√）

2. A?(aaj)m?n, A，的列向量组的秩小于n，则以A为系数矩阵的线性方程组有 无数多解。（×）

3. n?2, A?(aaj)n?n, |A |?n?1,，则以A为系数矩阵的线性方程组有唯一解。（√）

二、填空题

1. 若n元齐次线性方程组的基础解系含有3个解向量,且该方程组系数矩阵的秩为10，则n=____13_____. 2. 若?,?是10元非齐次线性方程组的2个不同的解向量,且该方程组系数矩阵的秩为9，则其一般解为

??k(???),k为任意常数.

三、计算与证明题

?x1?x2?x3?2x4?x5?0,?3x1?x3?x4?x5?0,?3. 求齐次线性方程组?的一个基础解系及全部解.

?x1?4x2?3x3?7x4?5x5?0,??3x2?2x3?5x4?4x5?0

解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得

?1??3A＝?1??0??1??0??0??0?1043113221??11121????1?1??0?3?2?5?4? ……(2分) ????7503254?????54??03254??1121??3254? …(4分)

0000??0000??可知系数矩阵的秩是2，从而方程组的基础解系含n?r?5?2?3个解向量．……(6分)

解下面的齐次线性方程组：

?x1?x2?x3?2x4?x5?0, ?3x?2x?5x?4x?0.345?2取x3,x4,x5为自由未知量，令x3?1,x4?0,x5?0,得

?1?(?1/3,?2/3,1,0,0)T；再令

令

x3?0,x4?1,x5?0,得

?2?(?1/3,?5/3,0,1,0)T；再

x3?0,x4?0,x5?1,得

?3?(1/3,?4/3,0,0,1)T．则?1,?2,?3即为方程组的一个基础解系，从而所求齐次线性方程组的全部解为

k1?1?k2?2?k3?3，其中k1,k2,k3为任意常． ……(10分 )

6. 设?1,?2,?,?t是某非齐次线性方程组的任意t个解，证明: 当k1?k2???kt?1 时，

??k1?1?k2?2???kt?t也是该方程组的一个解．

证明 设?0是该非齐次线性方程组的一个特解，?1,?2,...,?r是它的导出组的一个基础解系，则由非齐次线性方程组的解的结构理论知，

?i??0?li1?1?li2?2?...?lir?r,lij?K,i?1,2,...,t,j?1,2,...,r …… (4分)

从而

k1?1?k2?2???kt?t

=k1(?0?l11?1?l12?2?...?l1r?r)???kt(?0?lt1?1?lt2?2?...?ltr?r)… (5分) =(k1?k2?...?kr)?0?=?0?t?i?1kili1?1?...??i?1kilir?r

ttt?i?1kili1?1?...??i?1kilir?r

…… (8分)

由非齐次线性方程组的解的结构理论知??k1?1?k2?2???kt?t仍是该线性方程组的一个解.

…… (10分)

7. 设?0是某非齐次线性方程组的一个解，?1,?2,...,?r是它的导出组的一个基础解系，证明：?是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在r+1个数ki(i?0,1,2,...,r),?ri?0ki?1，使得

??k0?0?k1(?0??1)?k2(?0??2)?...?kr(?0??r) 线性相关.

证明: 首证充分性

设??k0?0?k1(?0??1)?k2(?0??2)?...?kr(?0??r)，其中

?ri?0ki?1，则

??(k0?k1?...?kr)?0?k1?1?k2?2?...?kr?r??0?k1?1?k2?2?...?kr?r，由?0是该非齐次线性方

程组的一个解，?1,?2,...,?r是它的导出组的一个基础解系以及非齐次线性方程组的解的结构理论知，?是这个非齐次线性方程组的解. …… (5分)

下证必要性

设?是这个非齐次线性方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构理论知, ???0?l1?1?l2?2?...?lr?r,因此，

??(1?l1?l2?...?lr)?0?l1(?0??1)?l2(?0??2)?...?lr(?0??r)，令 ki?li(i?1,2,...,r)，k0?1?l1?l2?...?lr，则

??k0?0?k1(?0??1)?k2(?0??2)?...?kr(?0??r)，且?i?0ki?1.

…… (5分)

4. 解线性方程组

r?2x1?x2?x3?x4?1,??4x1?2x2?2x3?x4?2, ?2x?x?x?x?1.?1234

解 方程组的增广矩阵为：

?21?11?1? B =

?42?2 1? 2??21?1?1?1对B做行初等变换：

??，….……………………………….. 2分 ????21?10?1?B??0001 ? 0??0000?0r??，………………………….....…… 8分 ???从而得方程组的解为

??????x1x2x3x4??0???= ?1??0????0?1???2?? + c1??0????0??0??1?? + c2??1????0????，c1,c2为可取任意值的参???数。.……………………….....…… 10分

5. 问常数k取何值时, 方程组

?x1???x1?x?1?x2?kx2?x2?kx3?x3?2x3无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。

?4?k2??4

解 A = -（k+1）（k - 4）。…………….…….….…………………. ...3分 当 A?0，即 k?-1，且 k ? 4 时，方程组有唯一解。…………. ...5分

1?14?1?k = -1时，?1 ?111???1?12?4144??1??k = 4时，?1 4116????1?12?4????11?0???0????0?2??114???0 11??000?103??，方程组无解。...7分 ??8??454??4?，……………..…..9分 0??方程组的一般解解为：

[x1，x2，x3] T = [0，4，0] T + t [-3，-1，1] T，

t为可取任意值的参数。……………………………..……….……..…....10分

6. 证明 构造矩阵

?1??a11A??a21????a?n?1,11a12a22?an?1,21???a1n??a2n? ，则矩阵A的第一行元素的代数余子式依次为

?????an?1,n???A11?M1,A12??M2,...,A1n?(?1)n?1Mn

(1)根据行列式展开式的性质，从第二行起，每一行元素与第一行对应元素的代数余子式相乘相加的等于零，有ai1A11?ai2A12?...?ainA1n?0,i?1,2,...,n?1，亦即 ai1M1?ai2(?M2)?...?ain((?1)n?1Mn)?0,i?1,2,...,n?1 这说明 (M1,?M2,...,(?1)n?1Mn)是方程组的一个解…… (5分)

(2) 如果这个线性方程组的系数矩阵的秩是n?1，而它含未知量的个数是n，故，此齐次线性方程组的基础解系所含向量个数是1，进而知任何一个非零解向量都构成一个基础解系.

而此线性方程组的系数矩阵的秩是n?1，由秩的定义知，存在一个n?1阶子式不等于零，又(M1,M2,...M,n)系数矩阵的全部n?1阶子式，因此存在Mj?0,j?{1,2,...,n}).结合（1）的结论知

(M1,?M2,...,(?1)n?1Mn)是方程组的一个非零解，从而就是它的一个基础解系，所以方程组的解全是

(M1,?M2,...,(?1)n?1Mn)的线性组合，即它的倍数…… (5分)

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