高一数学(人教新课标A版)对数与对数函数 教师版
更新时间:2023-09-20 03:20:01 阅读量: 小学教育 文档下载
对数与对数函数
一、目标认知学习目标
自然对数;
1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与
2.掌握对数函数的概念、图象和性质.
重点
对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用;理解对数函数的定义,掌握对数函数的图象和性质.
难点
正确使用对数的运算性质;底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
二、知识要点梳理
知识点一、对数及其运算
我们在学习过程遇到2x=4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2x=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果其中a叫做对数的底 数,N叫做真数.
,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b.
2.对数恒等式: 3.对数
(1)0和负数没有对数,即 (2)1的对数为0,即 (3)底的对数等于1,即
(二)常用对数与自然对数
具有下列性质: ; ; .
通常将以10为底的对数叫做常用对数,.以e为底的对数叫做自然
对数,
(三)对数式与指数式的关系
.
由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
(四)积、商、幂的对数 已知 (1)
;
推
广
:
(2) (3)
(五)换底公式
.
;
同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a≠1, M>0的前提下有: (1)
, 即
,
令 logaM=b, 则有ab=M, (ab)n=Mn,即 即:
.
(2)
,令logaM=b, 则有ab=M, 则有
即, 即,即
当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
.
知识点二、对数函数
1.函数y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数.
2.在同一坐标系内,当a>1时,随a的增大,对数函数的图像愈靠近x轴;当0
随a的增大而远离x轴.(见图1)
(1)对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R (2)对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像过点(1,0)
(3)当a>1时,
三、规律方法指导
容易产生的错误
(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0 且a11, N>0, b?R)容易记错. (2)关于对数的运算法则,要注意以下两点:
一是利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围,即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,因为虽然log2(-3)(-5)是存在的,但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.
二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面
的等式是错误的:
loga(M±N)=logaM±logaN, loga(M·N)=logaM·logaN,
loga.
(3)解决对数函数y=logax (a>0且a11)的单调性问题时,忽视对底数a的讨论.
(4)关于对数式logaN的符号问题,既受a的制约又受N的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习时参考. 以1为分界点,当a, N同侧时,logaN>0;当a,N异侧时,logaN<0. 经典例题透析
类型一、指数式与对数式互化及其应用
1.将下列指数式与对数式互化:
(1);(2);(3);(4);(5);
(6).
思路点拨:运用对数的定义进行互化.
解:(1);(2);(3);(4);(5);
(6). 总结升华:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三:
【变式1】求下列各式中x的值:
(1) (2) (3)lg100=x (4)
思路点拨:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
解:(1)
(2)
(3)10x=100=102,于是x=2; (4)由
;
;
.
类型二、利用对数恒等式化简求值
2.求值:
解:
总结升华:对数恒等式数形式;③其值为真数.
举一反三: 【变式1】求
.
中要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对
的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)
思路点拨:将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算. 解:
.
类型三、积、商、幂的对数
3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解:(1)原式=lg32=2lg3=2b (2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b (4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a
(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
举一反三: 【变式1】求值
(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
(1) 解: (1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】已知3a=5b=c,
,求c的值.
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