概率习题解答5-1

第五章 练习一 （大数定律）

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一．填空题：

31. 设随机变量X数学期望E(X)=12，方差D(X)=9，由切比雪夫不等式估计P{6?X?18}? 4解：P{6?X?18}?P{6?12?X?12?18?1}?P{X?12?6}?1?962?3 4

2. 设随机变量X数学期望E(X)=10，方差D(X)=4，由切比雪夫不等式，若P{X?10?c}?0.04则c?10.

解：P{X?10?c}?4?0.04c?c?10

3. 设随机变量X1,X2,?Xn相互独立且都服从区间（1,15）上的均匀分布，当n→∞时，

Yn?X1?X2???Xnn依概率收敛于8 解：∵E(Xi)?8，∴E(Yn)?E(X1?X2???Xnn)?8

X1?X2???XnnX1,X2,?Xn相互独立同分布，由辛钦大数定律：Yn????8

P4. 设{Xk}是随机变量序列，a为常数，则{Xk}依概率收敛于a是指（A ）

A、任意??0, limP?Xk?a????0； B、limXk?a；

k??k??C、任意??0, limP?Xk?a????1； D、limP?Xk?a??1。

k??k??5. 设随机变量X1,X2,?Xn相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时，X1,X2,?Xn依概率收敛于其共同的数学期望，只要X1,X2,?Xn?（ C ）

A、有相同的数学期望； B、服从同一离散型分布；

C、服从同一均匀分布； D、服从同一连续型分布

解：辛钦大数定律的条件是：随机变量X1,X2,?Xn相互独立同分布，且数学期望存在。

二、解答题：

1. 设随机变量X1,X2,?Xn相互独立且有E(Xi)??，D(Xi)?2，i=1,2,?n,试确定n的取值

第五章 练习一 （大数定律）

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1n12范围，使不等式P{?Xi???}?必定成立。

ni?1231n1n解：∵E(Xi)??，∴E(?Xi)??，D(?Xi)?2/n，

ni?1ni?121n1n?1?8?2 ?n?24 由切比雪夫不等式估计P{?Xi???}?1?2ni?12n3?1????2?2. 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。

解：设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则 E(X)?7300,D(X)?700，

P{5200?X?9400}?P{X?7300?2100}?1?700221002?1?18? 993.设随机变量X和Y数学期望分别为－2和2，方差分别是1和4，而相关系数为－1/2,试利用切比雪夫不等式估计P{X?Y?6}的值。

【解】令Z=X+Y，有 E(X?Y)?E(X)?E(Y)?(?2)?2?0

1D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)?1?4?2(?)14?5?2?3

2所以P{X?Y?6}?1?362?1?111? 12124.将一枚均匀对称的骰子独立地重复抛掷n次，当n→∞时，利用大数定律求n次抛掷出点数的算术平均值Xn依概率收敛的极限。 解：用Xi表示第i次抛掷出点数，则Xn?从同一分布

X1?X2???Xnn3 1/6 4 1/6 5 ，而X1,X2,?Xn相互独立且服

Xi 1 Pi 1/6 2 1/6 6 1/6 7E(Xi)?

21/6 ??由辛钦大数定律：Xn?P7 2

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