河南省郑州市登封一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2014-2015学年河南省郑州市登封一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（） A． A?B B． C?B C． D?C D．A?D 2．（5分）函数y=（2k+1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（） A． k＞

3．（5分）给出函数①f1（x）=x；②f2（x）=lgx；③y=2﹣2；④y=2+2．其中是偶函数的有（） A． 4个 B． 3个 C． 2个 D．1个 4．（5分）下列函数中与函数f（x）=x相同的是（） A．

5．（5分）函数y=a+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（） A． （0，1） B． （1，1） C． （2，0） D．（2，2） 6．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（） A． logab?logcb=logca B． logab?logca=logcb C． loga（bc）=logab?logac D． loga（b﹣c）=logab﹣logac

7．（5分）下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的是（） A． y=log2x

8．（5分）已知函数 A． x0＞8

B． x0＜0或x0＞8

x

x﹣2

2

x

﹣x

B． k＜ C． k＞﹣ D．k＜﹣

x﹣x

B． C． D．

B． y=﹣ C． y=2

x

D．y=x

2

若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（） C． 0＜x0＜8

D．x0＜0或0＜x0＜8

9．（5分）为了求函数f（x）=2+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数

f（x）的部分对应值，如下表所示： x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 f（x） ﹣0.8716 ﹣0.5788 ﹣0.2813 0.2101 0.32843 0.64115

x

则方程2+3x=7的近似解（精确到0.1）可取为（）

A． 1.32

10．（5分）函数y=

B． 1.39 C． 1.4 D．1.3

的图象大致是（）

A．

B．

3

C． D．

11．（5分）已知函数f（x）=ax+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））=（） A． ﹣5 B． ﹣1 C． 3 D．4

12．（5分）设a=

，b=log2.51.7，c=

，则（）

D．b＞c＞a

A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． a＞c＞b

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）3=2的解x=．

14．（5分）已知集合A=

x

，B={y|y=x，x∈A}，A∪B=．

2

15．（5分）已知f（x）的图象如图，则f（x）的解析式为．

16．（5分）函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续不断，且函数f（x）在（a，b）内仅有一个零点，则乘积f（a）?f（b）的符号为．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知全集U=R，函数y=

（4﹣x）的定义域为集合A．

（1）求集合A；

（2）集合B={x|2＜x≤10}，求韦恩图中阴影部分表示的集合C．

18．（12分）（1）化简（2）计算log2

19．（12分）已知函数f（x）=x+（2a﹣1）x﹣3，x∈[﹣2，3]． （1）当a=2时，求函数f（x）的值域；

（2）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

2

（a＞0，b＞0）（结果写成分数指数幂形式）；

+log212﹣log242的值．

20．（12分）设函数f（x）=4﹣

x

．

（1）用定义证明f（x）在（﹣2，+∞）上是增函数；

（2）求f（x）的零点的个数．

21．（12分）设函数f（x）=

．

（1）画出f（x）＞x的图象，根据图象直接写出f（x）＞x的解集（用区间表示）； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由． 22．（12分）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费．若每月用水量不超过最低限量am时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c元；若用水量超过am时，除了付同上的

3

基本费和定额损耗费外，超过部分每m付b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：

3

3

根据上表中的数据，求a、b、c．

2014-2015学年河南省郑州市登封一中高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（） A． A?B B． C?B C． D?C D．A?D

考点： 交集及其运算． 专题： 计算题．

分析： 直接利用四边形的关系，判断选项即可．

解答： 解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D?A， 矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B?A，C?A， 正方形是矩形，所以C?B． 故选B．

点评： 本题考查集合的基本运算，几何图形之间的关系，基础题． 2．（5分）函数y=（2k+1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（）

A． k＞ B． k＜ C． k＞﹣ D．k＜﹣

考点： 函数单调性的性质． 专题： 规律型．

分析： 由于x的次数为一次，故函数为单调函数时，一次项的系数小于0，由此可得解． 解答： 解：∵函数y=（2k+1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数 ∴2k+1＜0

∴k＜故选D．

点评： 本题考查函数的单调性，一次函数的单调性的判断，关键在于看一次项系数的正负，属于基础题

3．（5分）给出函数①f1（x）=x；②f2（x）=lgx；③y=2﹣2；④y=2+2．其中是偶函数的有（） A． 4个 B． 3个 C． 2个 D．1个

考点： 对数函数的图像与性质；函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用偶函数的定义，对①②③④逐个判断即可．

22

解答： 解：①∵f1（x）=x，定义域为R，f1（﹣x）=x=f1（x）， ∴f1（x）为偶函数；

②∵函数的定义域为{x|x＞0}，定义域不关于原点对称， ∴f2（x）为非奇非偶函数；

﹣x﹣xxx

③∵y=2﹣2的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）=﹣（2﹣2）=﹣f（x），

﹣xx

∴y=2﹣2为奇函数

﹣xx﹣xx

④y=2+2定义域为R，f（﹣x）=2+2=f（x），

x﹣x

∴y=2+2为偶函数．

综上所述，偶函数的个数是2个． 故选C．

点评： 本题考查函数的奇偶性的判断，奇偶函数的定义域关于原点对称是判断的前提，属于中档题． 4．（5分）下列函数中与函数f（x）=x相同的是（）

2x﹣xx﹣x

A． B． C． D．

考点： 判断两个函数是否为同一函数． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 分别判断每个函数的定义域和对应法则是否和f（x）=x一致即可．

解答： 解：A.B.C.D.

=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不相同．

=|x|，对应法则不相同．

=x，定义域和对应法则都和f（x）=x相同．

=x，定义域为{x|x≠0}，定义域不相同．

故选：C．

点评： 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的主要依据是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可，比较基础．

5．（5分）函数y=a A． （0，1）

x﹣2

+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）

B． （1，1） C． （2，0）

D．（2，2）

考点： 指数函数的单调性与特殊点． 专题： 计算题．

分析： 根据a=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=a+1解析式中的指数部分为0，即可得

x﹣2

到函数y=a+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标． 解答： 解：∵当X=2时

y=a+1=2恒成立

x﹣2

故函数y=a+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2） 故选D

0

点评： 本题考查的知识点是指数函数的单调性与特殊点，其中指数的性质a=1（a≠0）恒成立，是解答本题的关键． 6．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（） A． logab?logcb=logca B． logab?logca=logcb C． loga（bc）=logab?logac D． loga（b﹣c）=logab﹣logac

考点： 对数的运算性质． 专题： 计算题；探究型．

分析： 取特值验证排除A、C、D，利用对数的换底公式证明B成立． 解答： 解：取a=2，b=4，c=2，

0x﹣2

x﹣2

则logab?logcb=log24?log24=2×2=4，logca=log22=1，∴A不成立； loga（bc）=log28=3，logab?logac=log24?log22=2×1=1，∴C不成立； 取a=2，b=3，c=2，

则loga（b﹣c）=log21=0，logab﹣logac=log23﹣log22=log23﹣1，∴D不成立； 而

．

故恒成立的是B． 故选：B．

点评： 本题考查了对数的运算性质，考查了对数的换底公式，运用了特值验证思想方法，是基础题．

7．（5分）下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的是（） A． y=log2x

B． y=﹣

C． y=2

x

D．y=x

2

考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由题意可得函数f（x）为R上的增函数，逐一判断各个选项中的函数是否满足这一条件，从而得出结论．

解答： 解：由题意可得函数f（x）为R上的增函数，由于y=log2x 的定义域为（0，+∞），故不满足条件，故排除A．

由于y=﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），不是R，故排除B．

由于y=2的定义域为R，且为R上的增函数，故满足条件．

2

由于y=x在R上没有单调性，故排除D， 故选：C．

点评： 本题主要考查函数的单调性的定义，属于基础题．

8．（5分）已知函数

若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（）

x

A． x0＞8 B． x0＜0或x0＞8 C． 0＜x0＜8 D．x0＜0或0＜x0＜8

考点： 对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点． 专题： 计算题；压轴题；分类讨论．

分析： 通过对函数f（x）在不同范围内的解析式，得关于x0的不等式，从而可解得x0的取值范围．

解答： 解：①当x≤0时，f（x0）=

＞3，

∴x0+1＞1，

∴x0＞0 这与x≤0相矛盾， ∴x∈?．

②当x＞0时，f（x0）=log2x0＞3， ∴x0＞8 综上：x0＞8 故选A．

点评： 本题主要考查对数函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是个基础题．

9．（5分）为了求函数f（x）=2+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值，如下表所示： x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 f（x） ﹣0.8716 ﹣0. 5788 ﹣0.2813 0.2101 0.32843 0.64115 则方程2+3x=7的近似解（精确到0.1）可取为（） A． 1.32 B． 1.39 C． 1.4

考点： 二分法求方程的近似解． 专题： 函数的性质及应用．

x

x

D．1.3

分析： 由图表可知，函数f（x）=2+3x﹣7的零点介于1.375到1.4375之间，方程2+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间，结合精确度和选项可得答案．

解答： 解：由图表可知，函数f（x）=2+3x﹣7的零点介于1.375到1.4375之间，

x

故方程2+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间， 由于精确到0.1，结合选项可知1.4符合题意， 故选C

点评： 本题考查二分法求方程的近似解，涉及精确度，属基础题．

x

xx

10．（5分）函数y=的图象大致是（）

A． B． C． D．

考点： 函数的图象．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据指数函数和幂函数的图象和性质，得到答案，注意函数的定义域和值域．

解答： 解：y=

3

x

的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）排除A，

当x＞0时，x＞0，3﹣1＞0，故y＞0，

3x

当x＜0时，x＜0，3﹣1＜0，故y＞0，排除B，

3x

当x趋向于无穷大时，x增长速度不如3﹣1增长的快，故所对应的y的值趋向于0，排除D． 只有C符合， 故选：C

点评： 本题主要考查函数图象的识别和判断，正确理解指数函数和幂函数的性质是关键，属于基础题．

11．（5分）已知函数f（x）=ax+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））=（） A． ﹣5 B． ﹣1 C． 3 D．4

考点： 函数奇偶性的性质；函数的值．

专题： 计算题；压轴题；方程思想；函数的性质及应用．

3

分析： 由题设条件可得出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，再引入g（x）=ax+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函数的性质即可得到关于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值

解答： 解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0， ∴lg（log210）与lg（lg2）互为相反数 则设lg（log210）=m，那么lg（lg2）=﹣m

3

令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（﹣m）=﹣g（m）， ∴f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1

∴f（﹣m）=g（﹣m）+4=﹣g（m）+4=3． 故选C．

点评： 本题考查函数奇偶性的运用及求函数的值，解题的关键是观察验证出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，审题时找准处理条件的方向对准确快速做题很重要

3

12．（5分）设a= A． a＞b＞c

，b=log2.51.7，c=B． b＞a＞c

，则（） C． a＞c＞b

D．b＞c＞a

考点： 对数值大小的比较． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵a===＞1，

1＞b=log2.51.7＞

=，c==，

∴a＞b＞c． 故选：A．

点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

x

13．（5分）3=2的解x=log32．

考点： 函数的零点．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 运用对数式与指数式间的互化，进行求解即可． 解答： 解：根据对数式与指数式间的互化，可得：

x

原方程3=2的解x=log32， 故答案为：log32．

点评： 本题主要考查了指数式与对数式之间的互化，属于基础题．

14．（5分）已知集合A=

考点： 并集及其运算． 专题： 集合．

分析： 利用并集的性质求解．

，B={y|y=x，x∈A}，A∪B=

2

．

解答： 解：∵集合A=∴A∪B=故答案为：

． ．

，B={y|y=x，x∈A}={

2

}，

点评： 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．

15．（5分）已知f（x）的图象如图，则f（x）的解析式为f（x）=．

考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 当0≤x≤1时，函数的图象是平行于x轴的线段，故f（x）=﹣1； 当1＜x≤2时，函数的图象是过点（1，﹣1）、（2，0）的线段，设f（x）=kx+b，用待定系数法解出k、b．

解答： 解：当0≤x≤1时，函数的图象是平行于x轴的线段，故f（x）=﹣1； 当1＜x≤2时，函数的图象是过点（1，﹣1）、（2，0）的线段，

设f（x）=kx+b，∴，解得k=1，b=﹣2，故f（x）=x﹣2；

∴．

故答案为：f（x）=

点评： 本题主要考查根据图象求函数的解析式，如果知道函数的类别，待定系数法是常用的方法；此外，函数的表达式因自变量取值的不同而不同时，应分段表示． 16．（5分）函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续不断，且函数f（x）在（a，b）内仅有一个零点，则乘积f（a）?f（b）的符号为小于等于．

考点： 函数的零点．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 结合函数的零点的判定定理，从而得出结论．

解答： 解：由于“函数f（x）在区间[a，b]上恰有一个零点”，根据零点定理可得，f（a）f（b）＜0，

或者f（a）=0或f（b）=0， 故f（a）?f（b）≤0， 故答案为：小于等于．

点评： 此题主要考查零点定理的应用，是一道基础题；

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知全集U=R，函数y=（4﹣x）的定义域为集合A．

（1）求集合A；

（2）集合B={x|2＜x≤10}，求韦恩图中阴影部分表示的集合C．

考点： 对数函数的定义域；Venn图表达集合的关系及运算． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0求解不等式组得答案； （2）阴影部分表示的集合C=（CUA）∩B，由交、补集运算得答案．

解答： 解：（1）由题得，解得﹣1≤x＜4，

∴A={x|﹣1≤x＜4}；

（2）由韦恩图知阴影部分表示的集合C=（CUA）∩B， 又由（1）得CUA={x|x＜﹣1或x≥4}，

∴C=（CUA）∩B={x|x＜﹣1或x≥4}∩{x|2＜x≤10}={x|4≤x≤10}．

点评： 本题考查了函数定义域的求法，考查了交集及其运算，关键是对图中阴影部分的表示，是基础题．

18．（12分）（1）化简（2）计算log2

（a＞0，b＞0）（结果写成分数指数幂形式）；

+log212﹣log242的值．

考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）利用分数指数幂的运算法则即可得出； （2）利用对数的运算法则即可得出．

解答： 解：（1）原式==，

（2）原式=．

点评： 本题考查了分数指数幂的运算法则、对数的运算法则，属于基础题．

19．（12分）已知函数f（x）=x+（2a﹣1）x﹣3，x∈[﹣2，3]． （1）当a=2时，求函数f（x）的值域；

（2）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

2

考点： 二次函数的图象；二次函数的性质．

分析： （1）当a=2时，先求二次函数的对称轴，再判断对称轴是否在[﹣2，3]，然后求其值域；

（2）先求二次函数的对称轴x=﹣以﹣

＞﹣2．

2

，由于函数f（x）在[﹣2，3]存在单调递减区间，所

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=x+3x﹣3，x∈[﹣2，3]，对称轴x=﹣∈[﹣2，3]， ∴f（x）min=f（﹣）=﹣﹣3=﹣∴函数f（x）的值域为[﹣

2

，f（x）max=f（3）=15，

，15）．…（6分）

．

，+∞）单调递增．

（2）函数 f（x）=x+（2a﹣1）x﹣3的对称轴为x=﹣∴函数f（x）在区间（﹣∞，﹣

2

）单调递减，在区间 （﹣

又∵f（x）=x+（2a﹣1）x﹣3，x∈[﹣2，3]存在单调递减区间…（10分） ∴﹣

＞﹣2 解得

．…（12分）

点评： 本题主要考查二次函数的对称轴和值域以及二次函数的单调性．

20．（12分）设函数f（x）=4﹣

x

．

（1）用定义证明f（x）在（﹣2，+∞）上是增函数； （2）求f（x）的零点的个数．

考点： 根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）利用函数的单调性的定义证明f（x）在（﹣2，+∞）上是增函数．

（2）利用函数零点的判定定理证得f（x）在区间内有零点，再根据f（x）在（﹣

2，+∞）上是增函数，可得f（x）在（﹣2，+∞）内仅有一个零点．

解答： 解：（1）证明：设x1＞x2＞﹣2，由于函数（fx）=4﹣

，

x

，则，

所以（fx1）﹣（fx2）=

=．

∵x1＞x2＞0，y=4是增函数，∴（x2）＞0，

∴f（x）在（﹣2，+∞）上是增函数． （2）函数

的定义域为x∈R且x≠﹣2，

x

，∴f（x1）﹣f

当x∈（﹣2，+∞）时，∵，，

∴，∴f（x）在区间内有零点．

又由（1）知f（x）在（﹣2，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣2，+∞）内仅有一个零点． 又x＜﹣2时，

，∴f（x）的零点的个数为1．

点评： 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数零点的判定定理，方程的根的存在

性及个数判断，属于基础题．

21．（12分）设函数f（x）=

．

（1）画出f（x）＞x的图象，根据图象直接写出f（x）＞x的解集（用区间表示）； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）根据二次函数的作图方法进行作图，然后看图说话即可； （2）根据函数的奇偶性的判断方法进行判断． 解答： （1）如图：

f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞） …（6分），

22

（2）当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣（﹣x）﹣4（﹣x）=﹣x+4x=﹣f（﹣x）…（8分）

22

当x=0时，f（0）=（0）﹣4×0=0=﹣（﹣0）+4（﹣0）=﹣f（﹣0），

22

当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）﹣4（﹣x）=x+4x=﹣f（﹣x）， ∴对任意的x∈R有f（﹣x）=﹣f（﹣x）成立，

∴结合奇函数的定义知f（x）为奇函数…．…（12分）

点评： 本题主要考查函数图象的作法和函数的奇偶性，属于基础题． 22．（12分）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费．若每月用水量不超过最低限量33

am时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c元；若用水量超过am时，除了付同上的

3

基本费和定额损耗费外，超过部分每m付b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：

根据上表中的数据，求a、b、c．

考点： 分段函数的应用． 专题： 应用题．

分析： 本题考查的知识点是分段函数的应用，由题目中，水费=基本费+超额费+损耗费．若

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每月用水量不超过最低限量am时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c元；若用水量

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超过am时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每m付b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．我们不难构造出分段函数的解析式（含参数），再将其它数据代入即可求出参数．

解答： 解：设每月用水量为xm，支付费用为y元，则有：

由表知第二、第三月份的水费均大于13元，

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故用水量15m，22m均大于最低限量am， 于是就有

，

3

解之得b=2，从而2a=c+19（3）

再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am， 不妨设9＞a，将x=9代入（2）式， 得9=8+2（9﹣a）+c，即2a=c+17， 这与（3）矛盾．∴9≤a．

从而可知一月份的付款方式应选（1）式， 因此，就有8+c=9，得c=1． 故a=10，b=2，c=1．

点评： 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．其解题步骤一般为：①根据函数类型设出函数的解析式（其中系数待定）②根据题意构造关于系数的方程（组）③解方程（组）确定各系数的值④将求出的系数值代入求出函数的解析式．

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