河南省郑州市登封一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
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2014-2015学年河南省郑州市登封一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则() A. A?B B. C?B C. D?C D.A?D 2.(5分)函数y=(2k+1)x+b在(﹣∞,+∞)上是减函数,则() A. k>
3.(5分)给出函数①f1(x)=x;②f2(x)=lgx;③y=2﹣2;④y=2+2.其中是偶函数的有() A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.1个 4.(5分)下列函数中与函数f(x)=x相同的是() A.
5.(5分)函数y=a+1(a>0且a≠1)的图象必经过点() A. (0,1) B. (1,1) C. (2,0) D.(2,2) 6.(5分)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是() A. logab?logcb=logca B. logab?logca=logcb C. loga(bc)=logab?logac D. loga(b﹣c)=logab﹣logac
7.(5分)下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈R,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”的是() A. y=log2x
8.(5分)已知函数 A. x0>8
B. x0<0或x0>8
x
x﹣2
2
x
﹣x
B. k< C. k>﹣ D.k<﹣
x﹣x
B. C. D.
B. y=﹣ C. y=2
x
D.y=x
2
若f(x0)>3,则x0的取值范围是() C. 0<x0<8
D.x0<0或0<x0<8
9.(5分)为了求函数f(x)=2+3x﹣7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数
f(x)的部分对应值,如下表所示: x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 f(x) ﹣0.8716 ﹣0.5788 ﹣0.2813 0.2101 0.32843 0.64115
x
则方程2+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为()
A. 1.32
10.(5分)函数y=
B. 1.39 C. 1.4 D.1.3
的图象大致是()
A.
B.
3
C. D.
11.(5分)已知函数f(x)=ax+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=() A. ﹣5 B. ﹣1 C. 3 D.4
12.(5分)设a=
,b=log2.51.7,c=
,则()
D.b>c>a
A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.(5分)3=2的解x=.
14.(5分)已知集合A=
x
,B={y|y=x,x∈A},A∪B=.
2
15.(5分)已知f(x)的图象如图,则f(x)的解析式为.
16.(5分)函数f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,且函数f(x)在(a,b)内仅有一个零点,则乘积f(a)?f(b)的符号为.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知全集U=R,函数y=
(4﹣x)的定义域为集合A.
(1)求集合A;
(2)集合B={x|2<x≤10},求韦恩图中阴影部分表示的集合C.
18.(12分)(1)化简(2)计算log2
19.(12分)已知函数f(x)=x+(2a﹣1)x﹣3,x∈[﹣2,3]. (1)当a=2时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
2
(a>0,b>0)(结果写成分数指数幂形式);
+log212﹣log242的值.
20.(12分)设函数f(x)=4﹣
x
.
(1)用定义证明f(x)在(﹣2,+∞)上是增函数;
(2)求f(x)的零点的个数.
21.(12分)设函数f(x)=
.
(1)画出f(x)>x的图象,根据图象直接写出f(x)>x的解集(用区间表示); (2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由. 22.(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的,某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量am时,只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c元;若用水量超过am时,除了付同上的
3
基本费和定额损耗费外,超过部分每m付b元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示:
3
3
根据上表中的数据,求a、b、c.
2014-2015学年河南省郑州市登封一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则() A. A?B B. C?B C. D?C D.A?D
考点: 交集及其运算. 专题: 计算题.
分析: 直接利用四边形的关系,判断选项即可.
解答: 解:因为菱形是平行四边形的特殊情形,所以D?A, 矩形与正方形是平行四边形的特殊情形,所以B?A,C?A, 正方形是矩形,所以C?B. 故选B.
点评: 本题考查集合的基本运算,几何图形之间的关系,基础题. 2.(5分)函数y=(2k+1)x+b在(﹣∞,+∞)上是减函数,则()
A. k> B. k< C. k>﹣ D.k<﹣
考点: 函数单调性的性质. 专题: 规律型.
分析: 由于x的次数为一次,故函数为单调函数时,一次项的系数小于0,由此可得解. 解答: 解:∵函数y=(2k+1)x+b在(﹣∞,+∞)上是减函数 ∴2k+1<0
∴k<故选D.
点评: 本题考查函数的单调性,一次函数的单调性的判断,关键在于看一次项系数的正负,属于基础题
3.(5分)给出函数①f1(x)=x;②f2(x)=lgx;③y=2﹣2;④y=2+2.其中是偶函数的有() A. 4个 B. 3个 C. 2个 D.1个
考点: 对数函数的图像与性质;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用偶函数的定义,对①②③④逐个判断即可.
22
解答: 解:①∵f1(x)=x,定义域为R,f1(﹣x)=x=f1(x), ∴f1(x)为偶函数;
②∵函数的定义域为{x|x>0},定义域不关于原点对称, ∴f2(x)为非奇非偶函数;
﹣x﹣xxx
③∵y=2﹣2的定义域为R,关于原点对称,f(﹣x)=﹣(2﹣2)=﹣f(x),
﹣xx
∴y=2﹣2为奇函数
﹣xx﹣xx
④y=2+2定义域为R,f(﹣x)=2+2=f(x),
x﹣x
∴y=2+2为偶函数.
综上所述,偶函数的个数是2个. 故选C.
点评: 本题考查函数的奇偶性的判断,奇偶函数的定义域关于原点对称是判断的前提,属于中档题. 4.(5分)下列函数中与函数f(x)=x相同的是()
2x﹣xx﹣x
A. B. C. D.
考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 分别判断每个函数的定义域和对应法则是否和f(x)=x一致即可.
解答: 解:A.B.C.D.
=x,定义域为{x|x≥0},定义域不相同.
=|x|,对应法则不相同.
=x,定义域和对应法则都和f(x)=x相同.
=x,定义域为{x|x≠0},定义域不相同.
故选:C.
点评: 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的主要依据是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可,比较基础.
5.(5分)函数y=a A. (0,1)
x﹣2
+1(a>0且a≠1)的图象必经过点()
B. (1,1) C. (2,0)
D.(2,2)
考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题.
分析: 根据a=1(a≠0)时恒成立,我们令函数y=a+1解析式中的指数部分为0,即可得
x﹣2
到函数y=a+1(a>0且a≠1)的图象恒过点的坐标. 解答: 解:∵当X=2时
y=a+1=2恒成立
x﹣2
故函数y=a+1(a>0且a≠1)的图象必经过点(2,2) 故选D
0
点评: 本题考查的知识点是指数函数的单调性与特殊点,其中指数的性质a=1(a≠0)恒成立,是解答本题的关键. 6.(5分)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是() A. logab?logcb=logca B. logab?logca=logcb C. loga(bc)=logab?logac D. loga(b﹣c)=logab﹣logac
考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;探究型.
分析: 取特值验证排除A、C、D,利用对数的换底公式证明B成立. 解答: 解:取a=2,b=4,c=2,
0x﹣2
x﹣2
则logab?logcb=log24?log24=2×2=4,logca=log22=1,∴A不成立; loga(bc)=log28=3,logab?logac=log24?log22=2×1=1,∴C不成立; 取a=2,b=3,c=2,
则loga(b﹣c)=log21=0,logab﹣logac=log23﹣log22=log23﹣1,∴D不成立; 而
.
故恒成立的是B. 故选:B.
点评: 本题考查了对数的运算性质,考查了对数的换底公式,运用了特值验证思想方法,是基础题.
7.(5分)下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈R,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”的是() A. y=log2x
B. y=﹣
C. y=2
x
D.y=x
2
考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 由题意可得函数f(x)为R上的增函数,逐一判断各个选项中的函数是否满足这一条件,从而得出结论.
解答: 解:由题意可得函数f(x)为R上的增函数,由于y=log2x 的定义域为(0,+∞),故不满足条件,故排除A.
由于y=﹣的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),不是R,故排除B.
由于y=2的定义域为R,且为R上的增函数,故满足条件.
2
由于y=x在R上没有单调性,故排除D, 故选:C.
点评: 本题主要考查函数的单调性的定义,属于基础题.
8.(5分)已知函数
若f(x0)>3,则x0的取值范围是()
x
A. x0>8 B. x0<0或x0>8 C. 0<x0<8 D.x0<0或0<x0<8
考点: 对数函数的单调性与特殊点;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论.
分析: 通过对函数f(x)在不同范围内的解析式,得关于x0的不等式,从而可解得x0的取值范围.
解答: 解:①当x≤0时,f(x0)=
>3,
∴x0+1>1,
∴x0>0 这与x≤0相矛盾, ∴x∈?.
②当x>0时,f(x0)=log2x0>3, ∴x0>8 综上:x0>8 故选A.
点评: 本题主要考查对数函数的单调性,及分段函数,在解不等式时注意分类讨论,是个基础题.
9.(5分)为了求函数f(x)=2+3x﹣7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如下表所示: x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 f(x) ﹣0.8716 ﹣0. 5788 ﹣0.2813 0.2101 0.32843 0.64115 则方程2+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为() A. 1.32 B. 1.39 C. 1.4
考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 函数的性质及应用.
x
x
D.1.3
分析: 由图表可知,函数f(x)=2+3x﹣7的零点介于1.375到1.4375之间,方程2+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间,结合精确度和选项可得答案.
解答: 解:由图表可知,函数f(x)=2+3x﹣7的零点介于1.375到1.4375之间,
x
故方程2+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间, 由于精确到0.1,结合选项可知1.4符合题意, 故选C
点评: 本题考查二分法求方程的近似解,涉及精确度,属基础题.
x
xx
10.(5分)函数y=的图象大致是()
A. B. C. D.
考点: 函数的图象.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据指数函数和幂函数的图象和性质,得到答案,注意函数的定义域和值域.
解答: 解:y=
3
x
的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)排除A,
当x>0时,x>0,3﹣1>0,故y>0,
3x
当x<0时,x<0,3﹣1<0,故y>0,排除B,
3x
当x趋向于无穷大时,x增长速度不如3﹣1增长的快,故所对应的y的值趋向于0,排除D. 只有C符合, 故选:C
点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断,正确理解指数函数和幂函数的性质是关键,属于基础题.
11.(5分)已知函数f(x)=ax+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=() A. ﹣5 B. ﹣1 C. 3 D.4
考点: 函数奇偶性的性质;函数的值.
专题: 计算题;压轴题;方程思想;函数的性质及应用.
3
分析: 由题设条件可得出lg(log210)与lg(lg2)互为相反数,再引入g(x)=ax+bsinx,使得f(x)=g(x)+4,利用奇函数的性质即可得到关于f(lg(lg2))的方程,解方程即可得出它的值
解答: 解:∵lg(log210)+lg(lg2)=lg1=0, ∴lg(log210)与lg(lg2)互为相反数 则设lg(log210)=m,那么lg(lg2)=﹣m
3
令f(x)=g(x)+4,即g(x)=ax+bsinx,此函数是一个奇函数,故g(﹣m)=﹣g(m), ∴f(m)=g(m)+4=5,g(m)=1
∴f(﹣m)=g(﹣m)+4=﹣g(m)+4=3. 故选C.
点评: 本题考查函数奇偶性的运用及求函数的值,解题的关键是观察验证出lg(log210)与lg(lg2)互为相反数,审题时找准处理条件的方向对准确快速做题很重要
3
12.(5分)设a= A. a>b>c
,b=log2.51.7,c=B. b>a>c
,则() C. a>c>b
D.b>c>a
考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.
解答: 解:∵a===>1,
1>b=log2.51.7>
=,c==,
∴a>b>c. 故选:A.
点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
x
13.(5分)3=2的解x=log32.
考点: 函数的零点.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 运用对数式与指数式间的互化,进行求解即可. 解答: 解:根据对数式与指数式间的互化,可得:
x
原方程3=2的解x=log32, 故答案为:log32.
点评: 本题主要考查了指数式与对数式之间的互化,属于基础题.
14.(5分)已知集合A=
考点: 并集及其运算. 专题: 集合.
分析: 利用并集的性质求解.
,B={y|y=x,x∈A},A∪B=
2
.
解答: 解:∵集合A=∴A∪B=故答案为:
. .
,B={y|y=x,x∈A}={
2
},
点评: 本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题.
15.(5分)已知f(x)的图象如图,则f(x)的解析式为f(x)=.
考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用.
分析: 当0≤x≤1时,函数的图象是平行于x轴的线段,故f(x)=﹣1; 当1<x≤2时,函数的图象是过点(1,﹣1)、(2,0)的线段,设f(x)=kx+b,用待定系数法解出k、b.
解答: 解:当0≤x≤1时,函数的图象是平行于x轴的线段,故f(x)=﹣1; 当1<x≤2时,函数的图象是过点(1,﹣1)、(2,0)的线段,
设f(x)=kx+b,∴,解得k=1,b=﹣2,故f(x)=x﹣2;
∴.
故答案为:f(x)=
点评: 本题主要考查根据图象求函数的解析式,如果知道函数的类别,待定系数法是常用的方法;此外,函数的表达式因自变量取值的不同而不同时,应分段表示. 16.(5分)函数f(x)的图象在区间[a,b]上连续不断,且函数f(x)在(a,b)内仅有一个零点,则乘积f(a)?f(b)的符号为小于等于.
考点: 函数的零点.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 结合函数的零点的判定定理,从而得出结论.
解答: 解:由于“函数f(x)在区间[a,b]上恰有一个零点”,根据零点定理可得,f(a)f(b)<0,
或者f(a)=0或f(b)=0, 故f(a)?f(b)≤0, 故答案为:小于等于.
点评: 此题主要考查零点定理的应用,是一道基础题;
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知全集U=R,函数y=(4﹣x)的定义域为集合A.
(1)求集合A;
(2)集合B={x|2<x≤10},求韦恩图中阴影部分表示的集合C.
考点: 对数函数的定义域;Venn图表达集合的关系及运算. 专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)由根式内部的代数式大于等于0,对数式的真数大于0求解不等式组得答案; (2)阴影部分表示的集合C=(CUA)∩B,由交、补集运算得答案.
解答: 解:(1)由题得,解得﹣1≤x<4,
∴A={x|﹣1≤x<4};
(2)由韦恩图知阴影部分表示的集合C=(CUA)∩B, 又由(1)得CUA={x|x<﹣1或x≥4},
∴C=(CUA)∩B={x|x<﹣1或x≥4}∩{x|2<x≤10}={x|4≤x≤10}.
点评: 本题考查了函数定义域的求法,考查了交集及其运算,关键是对图中阴影部分的表示,是基础题.
18.(12分)(1)化简(2)计算log2
(a>0,b>0)(结果写成分数指数幂形式);
+log212﹣log242的值.
考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)利用分数指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出.
解答: 解:(1)原式==,
(2)原式=.
点评: 本题考查了分数指数幂的运算法则、对数的运算法则,属于基础题.
19.(12分)已知函数f(x)=x+(2a﹣1)x﹣3,x∈[﹣2,3]. (1)当a=2时,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
2
考点: 二次函数的图象;二次函数的性质.
分析: (1)当a=2时,先求二次函数的对称轴,再判断对称轴是否在[﹣2,3],然后求其值域;
(2)先求二次函数的对称轴x=﹣以﹣
>﹣2.
2
,由于函数f(x)在[﹣2,3]存在单调递减区间,所
解答: 解:(1)当a=2时,f(x)=x+3x﹣3,x∈[﹣2,3],对称轴x=﹣∈[﹣2,3], ∴f(x)min=f(﹣)=﹣﹣3=﹣∴函数f(x)的值域为[﹣
2
,f(x)max=f(3)=15,
,15).…(6分)
.
,+∞)单调递增.
(2)函数 f(x)=x+(2a﹣1)x﹣3的对称轴为x=﹣∴函数f(x)在区间(﹣∞,﹣
2
)单调递减,在区间 (﹣
又∵f(x)=x+(2a﹣1)x﹣3,x∈[﹣2,3]存在单调递减区间…(10分) ∴﹣
>﹣2 解得
.…(12分)
点评: 本题主要考查二次函数的对称轴和值域以及二次函数的单调性.
20.(12分)设函数f(x)=4﹣
x
.
(1)用定义证明f(x)在(﹣2,+∞)上是增函数; (2)求f(x)的零点的个数.
考点: 根的存在性及根的个数判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)利用函数的单调性的定义证明f(x)在(﹣2,+∞)上是增函数.
(2)利用函数零点的判定定理证得f(x)在区间内有零点,再根据f(x)在(﹣
2,+∞)上是增函数,可得f(x)在(﹣2,+∞)内仅有一个零点.
解答: 解:(1)证明:设x1>x2>﹣2,由于函数(fx)=4﹣
,
x
,则,
所以(fx1)﹣(fx2)=
=.
∵x1>x2>0,y=4是增函数,∴(x2)>0,
∴f(x)在(﹣2,+∞)上是增函数. (2)函数
的定义域为x∈R且x≠﹣2,
x
,∴f(x1)﹣f
当x∈(﹣2,+∞)时,∵,,
∴,∴f(x)在区间内有零点.
又由(1)知f(x)在(﹣2,+∞)上是增函数,∴f(x)在(﹣2,+∞)内仅有一个零点. 又x<﹣2时,
,∴f(x)的零点的个数为1.
点评: 本题主要考查函数的单调性的判断和证明,函数零点的判定定理,方程的根的存在
性及个数判断,属于基础题.
21.(12分)设函数f(x)=
.
(1)画出f(x)>x的图象,根据图象直接写出f(x)>x的解集(用区间表示); (2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由.
考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)根据二次函数的作图方法进行作图,然后看图说话即可; (2)根据函数的奇偶性的判断方法进行判断. 解答: (1)如图:
f(x)>x的解集为(﹣5,0)∪(5,+∞) …(6分),
22
(2)当x>0时,﹣x<0,f(﹣x)=﹣(﹣x)﹣4(﹣x)=﹣x+4x=﹣f(﹣x)…(8分)
22
当x=0时,f(0)=(0)﹣4×0=0=﹣(﹣0)+4(﹣0)=﹣f(﹣0),
22
当x<0时,﹣x>0,f(﹣x)=(﹣x)﹣4(﹣x)=x+4x=﹣f(﹣x), ∴对任意的x∈R有f(﹣x)=﹣f(﹣x)成立,
∴结合奇函数的定义知f(x)为奇函数….…(12分)
点评: 本题主要考查函数图象的作法和函数的奇偶性,属于基础题. 22.(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的,某地用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量33
am时,只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c元;若用水量超过am时,除了付同上的
3
基本费和定额损耗费外,超过部分每m付b元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示:
根据上表中的数据,求a、b、c.
考点: 分段函数的应用. 专题: 应用题.
分析: 本题考查的知识点是分段函数的应用,由题目中,水费=基本费+超额费+损耗费.若
3
每月用水量不超过最低限量am时,只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c元;若用水量
33
超过am时,除了付同上的基本费和定额损耗费外,超过部分每m付b元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.我们不难构造出分段函数的解析式(含参数),再将其它数据代入即可求出参数.
解答: 解:设每月用水量为xm,支付费用为y元,则有:
由表知第二、第三月份的水费均大于13元,
333
故用水量15m,22m均大于最低限量am, 于是就有
,
3
解之得b=2,从而2a=c+19(3)
再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am, 不妨设9>a,将x=9代入(2)式, 得9=8+2(9﹣a)+c,即2a=c+17, 这与(3)矛盾.∴9≤a.
从而可知一月份的付款方式应选(1)式, 因此,就有8+c=9,得c=1. 故a=10,b=2,c=1.
点评: 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.其解题步骤一般为:①根据函数类型设出函数的解析式(其中系数待定)②根据题意构造关于系数的方程(组)③解方程(组)确定各系数的值④将求出的系数值代入求出函数的解析式.
3
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