拉普拉斯变换也傅里叶变换的关系

拉普拉斯变换也傅里叶变换的关系

§4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 主要内容引言 引言 从函数拉氏变换求傅氏变换 从函数拉氏变换求傅氏变换

重点:从函数拉氏变换求傅氏变换 重点: 难点:判断函数傅氏变换的存在 难点:

拉普拉斯变换也傅里叶变换的关系

一,引言, 我们在引出拉氏变换 时 是针对 f (t ) 不满足绝对 , 可积条件 对其乘以一个衰减因子 e 演变为拉氏变换σt

, 作傅氏变换 ,

[ f (t)] = F[ f (t) eσ t u(t)] = F(s) s=σ + jω L

由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系

σ , 当 0 > 0时 收敛边界落于s 右半平面σ , s 当 0 < 0时 收敛边界落于左半平面, 当σ 0 = 0时 收敛边界位于虚轴

拉普拉斯变换也傅里叶变换的关系

傅氏变换与拉氏变换的区别和联系当t < 0 f (t ) = 0双边拉氏变换 s = σ + jω ∞< t < ∞

σ <0

单边拉氏变换 s = σ + jω 0< t <∞

傅氏变换 s = jω ∞< t < ∞

L[ f (t )] = F f (t )u(t )eσt (s = σ + jω)

[

]

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1. 当σ 0 > 0时,收敛边界落于s 平面右半边f (t ) = eα t u(t ) (α > 0)1 其拉氏变换: F(s) = s α 收敛域: σ > αeα t u(t )

jω

O

t

Oα

σ

F(ω)不存在,不能由 (s)求F(ω). 不存在, F

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s 2. 当σ0 < 0时,收敛边界落于平面左半边

f (t ) = eα t u(t ) (α > 0) 1 F(s) = 收敛域:σ > α α+s 衰减函数,傅氏变换是存在 存在: 衰减函数,傅氏变换是存在:F( jω) =eα t u(t )

F( jω) =F(s) s= jω

1 α + jω

jω

O

t

α

0

σ

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σ , 3. 当 0 = 0时 收敛边界位于虚轴

F(s)是存在的, (ω)与F(s)之间不再是简单的置换 , F 是存在的, 关系 异函数项 . 因为傅氏变换中包括奇

例如: (t ) = u(t ) 例如: f1 1 F(s) = ,F( jω) = πδ(ω) + jω s

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若收敛坐标σ F(s)的收敛域为Re[ 的收敛域为Re 若收敛坐标σ0=0,F(s)的收敛域为Re[s]>0,F(s) 的收敛域不包含jω轴 F(s)在jω轴上不收敛 若令s=jω 轴上不收敛. s=jω, 的收敛域不包含 jω轴, 故 F(s) 在 jω 轴上不收敛 . 若令 s=jω , jω F(s)不等于F(jω).和虚轴上都有极点, 不等于F(jω) 则F(s)不等于F(jω).和虚轴上都有极点,并且虚轴上的极点 个一阶极点jβ (i=1 展开为部分分式, 为m个一阶极点jβi(i=1, 2, …, m).将F(s)展开为部分分式, , m). F(s)展开为部分分式 表示为

Kn F(s) = Fa (s) + ∑ n=1 s jβn式中, (s)表示左半平面极点对应的分式 表示左半平面极点对应的分式. (s)的原函数 式中,Fa(s)表示左半平面极点对应的分式.令Fa(s)的原函数 (t), F(s)的原函数为 为fa(t),则F(s)的原函数为

N

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f (t) = L1[F(s)] = fa (t) + ∑Kne jωntu(t) = fa(t) + fM (t)n=1

N

其中 fM (t) = ∑Kne jωntu(t)n=1

N

f (t)

的傅里叶变换为

F( jω) = F[ f (t)] = F[ fa (t)] + F[ fM (t)]由于 fa (t)是F 的原函数, 的极点在左半面, (s)的原函数,并且 Fa (s)的极点在左半面,故 a

F[ fa (t)] = Fa (s) s= jω

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根据傅里叶变换的线性性质和频移性质,并且由于ε(t)的傅里 根据傅里叶变换的线性性质和频移

性质,并且由于 的傅里

1 叶变换为 叶变换为 πδ(ω) + 因此得 , jωN

1 F[ fM (t)] = ∑kn πδ(ω ωn ) + jω jωn n=1 N

1 F( jω) = Fa (s) s= jω + ∑Kn πδ(ω ωn ) + jω jωn n=1 N N Kn = Fa (s) s= jω + ∑ +∑Knπδ(ω ωn ) n=1 jω jωn n=1

F( jω) = F(s) s= jω + ∑Knπδ(ω ωn )n=1

N

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已知f(t)=e tε(t) ε(t)的单边拉氏变换为 例 :已知f(t)=e-2tcos t ε(t)的单边拉氏变换为

s +2 F(s) = (s + 2)2 +1求 解

f (t) 傅里叶变换 F( jω).F(S)的收敛坐标 σ0

= 2

,即σ0

<0

.因此

jω + 2 F( jω) = 2 ( jω + 2) +1

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另一方面,根据傅里叶变换的调制定理, 另一方面,根据傅里叶变换的调制定理,由于

1 F[e ε (t)] = jω + 22t

所以有

F( jω) = F[e2tε (t) cost] 1 1 1 jω + 2 = + = ( jω + 2)2 +1 2 j(ω +1) + 2 j(ω +1) + 2

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思考题 根据函数拉氏变换,如何判断它的傅氏变 根据函数拉氏变换, 换是否存在? 换是否存在?

本章小结

拉普拉斯变换也傅里叶变换的关系

1 例1 已知: F(s) = , 求f (0+ ) = ? s f (0+ ) = lim f (t ) = lim sF(s) = 1t →0+ s→∞

即单位阶跃信号的初始值为1 即单位阶跃信号的初始值为 BACK 2s 例2 F(s) = ,求f (0+ ) = ? s +1 f (t )中有 δ (t )项 2 2s 2s 2 ∵F(s) = = +2 s +1 s +1 2 ∴ f (0+ ) = lim[sF(s) ks] = lims 2 2s s→∞ s→∞ s + 1 2s 2 = lim = lim = 2 s→∞ s + 1 s→∞ 1 1+ s ∴ f (0 ) = 2+

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初值定理证明由原函数微分定理可知 BACK d f (t ) sF(s) f (0 ) = L dt ∞ d f (t ) est dt =∫ 0 dt 0+ d f (t ) ∞ d f (t ) st e dt + ∫ est d t =∫ 0 0+ dt dt ∞ d f (t ) est d t = f (0+ ) f (0 ) + ∫ 0+ dt ∞ d f (t ) est dt ∴sF(s) = f (0+ ) + ∫ 0+ dt ∞ d f (t ) st ∞ d f (t ) lim∫ e dt = ∫ limest d t = 0 s→∞ 0+ dt 0+ dt s→∞

[

]

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时移特性例题【例1】 已知 f (t ) = tu(t 1),求F(s) 】 1 1 s = 2 + e s s π 【例2】 已知 (t ) 2 cos t + u(t ),求F(s). f = 4

BACK

F(s) = L[tu(t 1)] = L[(t 1)u(t 1) + u(t 1)]

4 s 1 s 1 F(s) = = 2 2 1+ s 1+ s 1+ s2

f (t ) = 2 cos t cos

π

2 sin t sin

π4

= cos t sin t

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BACK 已知系统的框图如下, 已知系统的框图如下,请写出此系统的系统函数和 描述此系统的微分方程. 描述此系统的微分方程. 1 E(s) + R(s)

s

3

1 s H(s) = = 1+ 1 3 s + 3 s

1

R(s) 1 H(s) = = E(s) s + 3

sR(s) + 3R(s) = E(s)

d r(t ) ∴ + 3r(t ) = e(t ) dt

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d2 r(t ) d r(t ) d2 e(t ) de(t ) 已知系统 +5 + 6r(t ) = 2 +6 ,激励为 2 2 dt dt dt dt e(t ) = (1+ et )u(t ),求系统的冲激响应(t )和零状态响应rzs (t ). h

(1)在零起始状态下,对原方程两端取拉氏变换 在零起始状态下, 在零起始状态下 BACK s2 R(s) + 5sR(s) + 6R(s) = 2s2 E(s) + 6sE(s)

R(s) 2s 4 则 H(s) = = = 2 ∴h(t ) = 2δ (t ) 4e2t u(t ) E(s) s + 2 s+2 2s 2s + 1 2(2s + 1) 6 2 ∴ RZS (s) = = = s + 2 s(s + 1) (s + 2)(s + 1) s + 2 s + 1

(2) ∵rzs (t ) = h(t ) e(t ) 或 RZS (s) = H(s) E(s)

∴rZS (t ) = 2et u(t ) + 6e2t u(t )

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例 题BACK 如图所示

反馈系统, 如图所示反馈系统,子系统的系统函数 F(s) X(s) 1 G(s) = G(s) ∑ + (s 1)(s + 2) k 当常数k满足什么条件时 系统是稳定的? 满足什么条件时, 当常数 满足什么条件时,系统是稳定的?Y(s)

加法器输出端的信号 输出信号

X(s) = F(s) kY(s)

Y(s) = G(s) X(s) = G(s)F(s) kG(s)Y(s)

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则反馈系统的系统函数为G(s) Y (s) 1 = = 2 H(s) = s + s 2+ k F(s) 1+ kG(s) H(s)的极点 1 9 p1,2 = ± k 2 4 为使极点均在s左半平面 左半平面, 为使极点均在 左半平面,必须 9 系统稳定性 4 k > 0 9 k < 0 OR 4 1 + 9 k < 0 2 4 时系统是稳定的. 可得 k > 2,即k > 2时系统是稳定的.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6jyj.html