平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解（第10讲 策略性博弈与

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平新乔《微观经济学十八讲》第10讲 策略性博弈与纳什均衡

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1．假设厂商A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数，MCA?10，MCB?8，对厂商产出的需求函数是

QD?500?20p

（1）如果厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？ 解：（1）如果厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价格是pB?10??，pA?10，其中?是一个极小的正数。理由如下：

假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为pA和pB，那么必有pA?10，pB?8，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，pA和pB都不会严格大于10。否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足pA?10，pB?10。但是由于pA的下限也是10，所以均衡时pA?10。给定pA?10，厂商B的最优选择是令pB?10??，这里?是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为pA?10，pB?10??。

（2）由于厂商A的价格严格高于厂商B的价格，所以厂商A的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商B的销售量，此时厂商B是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：

maxpq?cq ①

??0其中p?10??，q?500?20??10???，把这两个式子代入①式中，得到：

max?10???8???500?20?10?????

??0解得??0，由于?必须严格大于零，这就意味着?可以取一个任意小的正数，所以厂商B的利润为：??500?20??10??????10???。

（3）这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本，所以

如果厂商B和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10??之间的价格，那么厂商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A的剩余（因为A的利润还是零）。

2．（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A的支付水平，第二个数表示B的支付水平，a、b、c、d是正的常数。如果A选择“下”而B选择“右”，985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

那么：

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表10-1 博弈的支付矩阵

（1）b?1且d?1 （2）c?1且b?1 （3）b?1且c?d （4）b?c且d?1 （5）a?1且b?d 【答案】（3）

【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B选择“右”，“下”是A的最优选择，这就意味着c?d；同样的，给定A选择“下”，“右”也是B的最优选择，这就意味着b?1。

3．史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。

（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。

1（2）如果每一个局中人以的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有

3一纳什均衡。这个对策的值是什么？

解：（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：

表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵

首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1，从而使自己得到3的支付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3，从而使自己得到1，而不是-3。假设约翰选择2，他期望史密斯选择1或者3，以使得自己得到1，而实际上史密斯会选择2，使得约翰得到-3，等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。

（2）假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为x1、x2和1?x1?x2，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：

3x1?x2??1?x1?x2???x1?3x2??1?x1?x2???x1?x2?3?1?x1?x2?

从而解得

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x1?x2?1?x1?x2?1 3类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。

4．假定世界上氪的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氪的需求是

Q?1000?1000p

其中p是每克的价格。

（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量是多少？

（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？

（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？

解：（1）所有拥有者合谋控制氪的价格，此时总的利润函数为：

???1?Q?Q

1000利润最大化的一阶条件为：

d?1?1?Q?0 dQ500??1??解得总供应量为Q?500（克）。此时p?1?500/20?25（克）。

1Q?0.5，每个厂商的供应量为1000（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润最大化问题为：

maxq1525?q1q1 1000根据一阶条件解得：

q1?262.5

可见在其他厂商的供应量为25克的条件下，厂商1增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。

（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。令p?MC，得到氪的价格为零。市场上的总供给量为1000克，每个成员的出售量为50克。

5．在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占优均衡。

表10-3 博弈的支付矩阵

答：对于行为人2而言，R优于M，所以行为人2将会剔除掉M策略，只在R、L这两个策略中进行选择；对于行为人1来说，知道了行为人2会在L、R策略中选择，则U占985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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优于M和D策略。当行为人2知道行为人1选择了U策略时，他则最终会选择L策略。所以，最终的占优均衡为（U，L）。

6．模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用均为0。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。

答：（1）该题的支付矩阵（表10-4）为：

表10-4 划拳博弈的支付矩阵

（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。这是因为：

对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在当且仅当在同一栏中出现两个下划线。由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。

（3）记游戏者1分别选择各个策略的概率为?p1,p2,p3,p4?，游戏者2分别选择各个策略的概率为?q1,q2,q3,q4?。

当游戏者2分别以概率?q1,q2,q3,q4?选择四个策略时，游戏者1的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：

1?q2???1??q4???1??q1?1?q3???1??q2?1?q4?1?q1???1??q3

1又因为q1?q2?q3?q4?1，可以得到：q1?q2?q3?q4?。

4同理，当对于游戏者1分别以概率?p1,p2,p3,p4?选择四个策略时，游戏者2的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：

1?p2???1??p4???1??p1?1?p3???1??p2?1?p4?1?p1???1??p3

又因为p1?p2?p3?p4?1，可以得到：p1?p2?p3?p4?因此混合策略纳什均衡为：（?1，?2），其中

1。 4?1??，，，?，?2??，，，?

?4444??4444?

7．巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的高端（高质量），还是去低端985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

?1111??1111?

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（低质量）。相应的利润由如下收益矩阵（表10-5）给出：

表10－5 巧克力商的博弈

（1）如果有的话，哪些结果是纳什均衡？

（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？ （3）合作的结果是什么？

（4）哪个厂商从合作的结果中得好处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个厂商多少好处？

解：（1）纳什均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益分别为（100，800）和（900，600）。

（2）如果1选择低，则有min??20,900???20；如果1选择高，则有min?100,50??50。 因此如果1想要最大化它的最小支付，其最优决策为：

max?min??20,900?,min?100,50???max??20,50??50

所以1会选择高。类似的分析表明2也会选择高，因此两个人都采用最大最小策略的均衡结果为（高，高），相应的支付为（50，50）。

（3）如果双方进行合作，那么他们的目标就是总利润最大化，这样最终的结果就是（低，高），相应的支付为（900，600）。

（4）厂商1从合作的结果中获得的好处多。为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡（高，低），厂商1应当给厂商2一笔800?600?200的支付。

8．考虑在c，f，g，三个主要汽车生产商之间的博弈。每一个厂商可以生产要么大型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。即，对于每一个厂商i，i?c，f，g，他的行动集合为AI??SM,LG?。用?i代表i所选择的行动，?iAI，?I??c,?f,?g?代表厂商i的利润。假设，每个厂商的利润函数定义如下：

?i??，如果?j?LG，j?c，f，g；

?，如果?j?SM， j?c，f，g； ?，如果?i?LG，且?j?SM，j?i； ?，如果?i?SM，且?j?LG，j?i；

?，如果?i??j?LG，且?k?SM，j?k?i；

β，如果?i??j?SM，且?k?LG，j?k?i；

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（1）当??????0时，是否存在纳什均衡？请证明。 （2）当??????0时，是否存在纳什均衡？请证明。 证明：该博弈的支付矩阵如表10-6和10-7所示。

表10-6 G汽车厂生产SM型汽车

表10-7 G汽车厂生产LG型的汽车

（1）该博弈存在纳什均衡。首先考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将得到数量为?的利润。因为?????，所以任何厂商只要选择和其他两个工厂生产不同型号的产品，就可以获得更高的利润，所以三家工厂生产相同的产品不是纳什均衡。如果三个工厂生产不同的产品，比如说??c,?f,?g???SM,LG,SM?，因为?????，所以C厂已经获得了它可能获得的最高利润，因此它不会背叛；给定其他厂商的选择，F厂生产LG型号的汽车只能获得数量为?的利润，高于它生产SM型号的汽车获得的数量为?的利润，所以F厂也不会背叛；给定其他厂商的选择，G厂在生产两种型号的汽车之间是没有差异的，因为无论那种情况下，他都只能获得数量为?的利润，所以G厂同样不会背叛。

综上可知??c,?f,?g???SM,LG,SM?是一个纳什均衡。类似的分析表明，只要三个工厂生产不同的产品，就是纳什均衡。

（2）只要三个工厂生产的汽车型号不完全相同，这样的结果就是纳什均衡。分析类似于第（1）问。

9．考虑下列策略型博弈（表10-8）：

表10-8 博弈的支付矩阵

请问，该博弈里有几个均衡？为什么？ 答：（1）该博弈的纯策略均衡为（D，R）。

（2）下面分析混合策略均衡。设参与人A分别选择策略U、M和D的概率为?p1,p2,p3?；设参与人B分别选择策略L、M和R的概率为?q1,q2,q3?；下面分三种情况讨论：

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①达到混合均衡时，如果参与人A分别选择策略U、M和D的概率都严格大于零，那么他选择策略U、M和D的期望收益就要相等，即：q1?2q2??2q1?q2?q3

从而解得q1?q2??q3，矛盾，所以对参与人B而言，不存在使得q1，q2，q3同时大于零的混合均衡；对参与人A也有类似的结论成立。

②尽管如此，以上的分析并不能说明不存在混合均衡。因为达到均衡时，有可能存在参与人选择某一行动的概率为零的可能。对A而言，在U、M、D三个行动中选择某一行动的概率等于零的情况共有三种可能。对B也是一样，这样均衡时共有九种可能的情况，下面分别讨论：

a．A选择行动D的概率为零，B选择行动R的概率为零，即p3?q3?0，从而得到如表10-9所示的支付矩阵：

表10-9 博弈的支付矩阵

达到均衡时，A选择M和U应当得到相同的期望支付，即q1?2q2??2q1?q2，整理得到q1?q2；又因为q3?0，所以q1?q2?1。从而解得q1?q2?0.5；同理可得p1?p2?0.5。所以?q1?0.5,q2?0.5,q3?0?和?p1?0.5,p2?0.5,p3?0?就是一个混合均衡。

b．A选择行动D的概率为零，B选择行动M的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

c．A选择行动D的概率为零，B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

d．A选择行动M的概率为零，B选择行动R的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

e．A选择行动M的概率为零，B选择行动M的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

f．A选择行动M的概率为零，B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

g．A选择行动U的概率为零，B选择行动R的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

h．A选择行动U的概率为零，B选择行动M的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

i．A选择行动U的概率为零，B选择行动L的概率为零，采用类似于①的做法可知，在这种情况下，不存在混合均衡。

综合上述分析可知，唯一的混合均衡就是：?A??0.5,0.5,0?，?B??0.5,0.5,0?。 ③均衡时，如果A选择某两个行动的概率都等于零，即A只能选择一个行动。这就要求在B的行动中，至少有一对行动可以给自己带来相同的支付，但是由支付矩阵可知，这一条件并不满足，这样均衡时，B也只能选择一个行动，这就退化成了纯策略均衡。所以A选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡是不存在的；同理B选择某两个行动的概率都等于零的混合均衡也是不存在的。

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综合上述分析可知，该博弈只有唯一的混和均衡，即：

?q1?0.5,q2?0.5,q3?0?和?p1?0.5,p2?0.5,p3?0?

10．考虑如表10-10和10-11所示的策略型博弈

表10-10 参与人3选择A时的支付矩阵

表10-11 参与人3选择B时的支付矩阵

每一格左边的数字是游戏者1的得益，中间的数字为游戏者2的得益，右边的数字为游戏者3的得益。游戏者3的策略是选A矩阵或选B矩阵。

（1）上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？为什么？

（2）如果三个游戏者中可以有两个人结盟共同对付另一个人，会出现什么结果？ 解：（1）上述博弈中有两个纯策略纳什均衡。它们分别为（U，L，A）和（D，R，。对任意的参与人，给定其他两个参与者的行动，他的占优行动用下划线表示出来，由B）

此可以得到这两个纯策略纳什均衡。

（2）若三人中有两人结盟，则不外乎下面三种情况：

①参与人1和2结盟，支付矩阵如表10-12所示，该博弈的均衡是（DR，B）。

表10-12 参与人1和2结盟后博弈的支付矩阵

②参与人1和3结盟，支付矩阵如表10-13所示，该博弈的均衡是（UA，L）和（DB，。 R）

表10-13 参与人1和3结盟后博弈的支付矩阵

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③参与人2和3结盟，支付矩阵如表10-14所示，该博弈的均衡是（LA，U）和（RB，。 D）

表10-14 参与人2和3结盟后博弈的支付矩阵

若参与人1和2结盟，博弈的结果只能是（D，R，B）。由于结果（U，L，A）对应的支付对每个人而言都优于（D，R，B）对应的支付，所以不结盟至少可以使每个人的境况和参与人1，2结盟时一样好，所以不结盟相对参与人1和2而言反而更优。

若参与人1和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。 若参与人2和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。

综合上述分析可知，在这个博弈中，任何两方都不会有结盟的动机。

11．在表10-15所示的策略型博弈里，什么是占优解？什么是纯策略纳什（Nash）均衡解？

表10-15 博弈的支付矩阵

解：（1）这个博弈没有占优均衡。理由如下：在这个问题中，对于游戏者1而言，T占优于D，因此可以将D排除掉。此时博弈的支付矩阵如表10-16所示。当游戏者1的可选策略只有T和M时，对游戏者2而言，R占优于M，因此可以把M排除掉，此时博弈的支付矩阵如表10-17所示。至此，用剔除法寻找占优均衡的方法无法继续进行，所以这个博弈没有占优均衡。

表10-16 排除掉D以后的支付矩阵

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表10-17 排除掉M以后的支付矩阵

（2）纯策略纳什均衡为（M，L），（T，R）。由表10-17可知，当游戏者2选择L时，游戏者1的最优策略为M，当游戏者2选择R时，游戏者1的最优策略是T。同样，当游戏者1选择T时，游戏者2的最优策略是R，当游戏者1选择M时，游戏者2的最优策略为L。因此，纯策略纳什均衡为（M，L），（T，R），此时游戏者得到的支付为（3，4），（4，2）。

12．判断对错，并简要说明理由。 （1）占优均衡一定是纳什均衡。

（2）在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么两个人都会抵赖。 （3）一个将军有两个纯策略，要么把所有的部队从陆地运输，要么把所有的部队从海洋上运输。那么把1/4的部队从陆地运输，把其余3/4的部队从海洋运输构成一个混合策略。

答：（1）正确。理由如下：如果在博弈中，每个参与人都有自己的占优策略，这就意味着对任何一个参与人而言，无论其他参与人的策略如何，该参与人的占优策略对他而言都是最优的，特别地，当其他的参与人也选择自己的占优策略时，该参与人的占优策略对他还是最优的，根据纳什均衡的定义，可知占优均衡一定是纳什均衡。

（2）错误。理由如下：在囚徒困境中，如果每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么对每个囚犯而言，坦白将是他的最优选择。如果两个囚犯都这样考虑，那么均衡的结果就是两个人都坦白。

（3）错误。因为混合策略是在纯策略集合上确定的一个概率分布，而在本题中，将军分割军队的决定事实上是扩大了纯策略的集合，即将军的决定仍然是一个纯策略。

13．一个小镇中，有N个人，每人有100元钱，如果每人都向一个集资箱中捐一笔钱（可以为零）而共收集到F元，那么从一个基金中拿出相同数量的钱放入集资箱，最后当集资被分配时，每人获得2F/N元，求解这一博弈的均衡。

解：假设参与人i的捐款为Fi，他的收益为?i，又记F?i?F?Fi，那么给定F?i?F，参与人i的收益为：

?i?i??i2i2?i?2?F?F?Fi???1?Fi?F NN?N???特别地，?i是Fi的线性函数，所以：

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（1）当N?2时，（2）当N?2时，

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2?1?0，所以参与人i的最优选择是Fi?0。 N2?1?0，所以无论参与人的捐款数量为多少，都不会影响他的收N益，从而Fi??0,???。

（3）当N?1时，

2?1?0，这时参与人的捐款数量会趋向于正无穷，即Fi???。 N由于所有行动者的行为相同，所以当N?2时，纳什均衡为Fi?0，i?1，2，?，N； 当N?2时，纳什均衡为Fi??0,???，i?1，2；

当N?1时，纳什均衡为Fi???。

14．Frank和Nancy约定下一周的某一天在小镇的咖啡厅见面，但他们如此兴奋以至于忘记了在哪一个咖啡厅约会，所幸的是小镇上只有两个咖啡厅，“夕阳”和“海湾”，并且他们知道彼此的偏好。事实上，如果二人都去了“夕阳”，Frank的效用是3而Nancy的效用是2，如果二人都去了“海湾”，Frank的效用是2而Nancy的效用是3，如果二人去的地方不同，则效用水平都是0。

（1）这一博弈存在纯策略纳什均衡吗？存在混合均衡吗？ （2）这一博弈存在占优策略均衡吗？ 答：（1）这一博弈存在纯策略纳什均衡和混合均衡。 ①此博弈的支付矩阵如表10-18所示，根据支付矩阵可知该博弈的纯策略均衡为两个人都去相同的咖啡厅，即：（夕阳，夕阳）和（海湾，海湾）。

表10-18 约会博弈的支付矩阵

②假设Frank去夕阳咖啡厅的概率为p，那么他去海湾咖啡厅的概率就是1?p，均衡时的概率应当使得Nancy去夕阳或海湾咖啡厅的期望效用相等，即：

2p?3?1?p?

解得p?0.6，则1?p?0.4，即Frank去夕阳餐厅的概率为0.6，去海湾餐厅的概率为0.4；同理可得Nancy去夕阳餐厅的概率为0.4，去海湾餐厅的概率为0.6。

（2）这一博弈不存在占优策略均衡。若Nancy选择去夕阳，则Frank的最优策略是去夕阳；若Nancy去海湾，则Frank的最优策略是去海湾，因此对于Frank而言不存在占优策略。同样，对于Nancy来说也不存在一个占优策略，因此这一博弈不存在占优策略均衡。

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