《数学建模》课程设计题目淮阴工学院 - 图文

数理学院计算科学专业2011级

《数学建模》课程设计指导书

淮阴工学院数理学院数学专业教研室

2013年12月

要求

1、选题要求，学号是1号的选A组第1题，2号选A组第2题，以此类推，23号选A组第23题，24号回头选A组第1题。如果对上面的题目把握不大或不感兴趣的，可以在B组题目中任选一题。

2、答卷论文内容包括：摘要（100——300字，含研究的问题、建模的方法及模型、模型解法和主要结果），问题分析与假设，符号说明，问题分析，模型建立，计算方法设计和实现（框图及计算机输出的计算结果），结果的分析和检验，优缺点和改进方向等。用软件求解的，请在附件中附上算法程序。

3、论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 4、第一页为封面（自己下载），写上学号、姓名、第二页为论文标题和摘要，从第三页开始是论文正文。论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。

5、论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号宋体字，行距用单倍行距。

6、引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：

[编号] 作者．书名[M]．出版地：出版社，出版年 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：

[编号] 作者．论文名[J]．杂志名，卷期号：起止页码，出版年 参考文献中网上资源的表述方式为：

[编号] 作者．资源标题．网址，访问时间（年月日）。

论文提交：于2013年1月6日上午11:00前将论文打印装订成册交王小才老师，同时将论

文的文档以“学号后三位+姓名”命名上网发到shumozy@163.com邮箱

注：2013年1月6日下午答辩

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课程设计题目 A组

1、生产计划

高校现有一笔资金100万元，现有4个投资项目可供投资。

项目A：从第一年到底四年年初需要投资，并于次年年末回收本利115%。

项目B：从第三年年初需要投资，并于第5年末才回收本利135%，但是规定最大投资总额不超过40万元。

项目C：从第二年年初需要投资，并于第5年末才回收本利145%，但是规定最大投资总额不超过30万元。

项目D：五年内每年年初可以买公债，并于当年年末归还，并可获得6%的利息。 (1) 试为该校确定投资方案，使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。

(2) 该校在第3年有个校庆，学校准备拿出8万元来筹办，又应该如何安排投资方案，使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。

2、投资方案的确定

现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化：以便适时调整生产率，获取最大收益。

某生产厂家年初要制定生产策略，已预测其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b＝1万单位／月的速度递增。若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间(月)的库存保管费

C2?0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短缺损失费C3?0.4元。假定生产率每调整

一次带有固定的调整费C1?1万元，试问该厂如何制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小?

3、高速公路修建费用问题

A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南90公里和正东120公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图1给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。已知每个地形带的造价如下：

地形带 造价（万元/公里） 平原 500 高地 800 高山 1200 已知图中AC、CD、DE、EF、FO的距离分别为：22、17、13、16、22（单位：公里），P点坐标为：(44, 60)（坐标系原点为O，OB为X轴，OA 为Y轴）

3

你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？

(a) 当道路转弯是，角度至少为1400。 (b) 道路必须通过一个已知地点（如P）。

4、调度问题

为了向本市居民提供更好的服务，市政府决定修建一个小型体育馆。提供竞标，一家建筑公司得此项目，并且希望为了尽快完工，下表列出了工程中的主要任务，时间以周计算。有些任务只有在某些任务完成后，才可以进行。需要解决下面的问题：

(1)最早能在什么时间完成工程？给出该公司的安排表。

(2)市政府希望能提前完成工程，为此，市政府决定：工期每缩短一周，则向该公司支付3万元奖励。为了缩短工期，公司需要雇用更多地工人，并且租用更多地设备（表中额外支出部分，单位:万元）。如果公司希望获利最大，应该在何时完成工程，给出该公司的安排表。

施工数据

任务 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

描述 工地布置 场地平整 打地基 道路网管 底层施工 主场地施工 更衣室分离 看台布置 顶部施工 照明 阶梯安装

耗时 2 16 9 8 10 6 2 2 9 5 3

先决条件

1 2 2 3 4，5 4 6 4，6 4 6

4

最大缩短时间

0 3 1 2 2 1 1 0 2 1 1

每周额外开支

0 3 2.6 1.2 1.7 1.5 0.8 0 4.2 2.1 1.8

12 13 14 15 16 17 18

封顶 更衣室布置 售票处施工 第二通道 信号实施 草坪 交付使用

2 1 7 4 3 9 1

9 7 2 4，14 8，11，14

12 17

0 0 2 2 1 3 0

0 0 2.2 1.2 0.6 1.6 0

5、生产策略问题

某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80

2台．每季度的生产费用为f?x??ax?bx（单位:元）, 其中x是该季度生产的台数．若交货

后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问:

(1)工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低． (2) 讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释．

6、湖水污染问题

某湖湖水容量为 V=1012 m3，上游下游各有一年流量为 Q=1011m3 的河水流进流出该湖。20年前, 上游建了某工厂,生产中使用某有害物质。近来发现湖水中这种有害物质浓度已达0.03毫克/m3，河水污染浓度达到了0.05 毫克/m3. 环保部门提出该工厂整改， 并拟处罚款。

（1） 该厂辩称: 过去排放废水从未使河水污染超过环保要求的0.001,只是最近疏忽, 才使河水污染, 请求从轻发落。试建立数学模型对湖水污染问题作出分析。 （2）若现在停止污染让湖水自然净化，需要多少年才能达到环保要求。

7、Volterra模型

下面的表1和表2给出了田鼠及其天敌之间每隔1个月观测到数量。试着建立田鼠及其天敌这两个种群数量关系的数学模型，模型中要求考虑到种群之间的竞争。

表1 田鼠的数量记录表：（单位为千只）

29.7000 99.2019 144.7156 74.9854 116.6285

29.6534 122.3196 127.3501 76.5339 121.3502

31.5031 145.7059 111.7164 79.6933 124.2751

35.3332 165.3623 98.9564 84.2752 125.2014

41.4587 177.9409 89.0685 90.0458 124.2236

50.3534 180.9546 81.9934 96.6527 121.6431

62.6911 174.6864 77.4999 103.6542 117.9125

79.0331 161.5734 75.2421 110.5259 113.5976

表2田鼠的天敌的数量：（单位为千条）

1.6000 1.0233

1.4833 1.0290

1.3765 1.0594

1.2812 1.1156

5

1.1985 1.1942

1.1295 1.2881

1.0759 1.3865

1.0397 1.4765

1.5487 1.4413 1.2998

1.5970 1.3994 1.3183

1.6198 1.3622 1.3423

1.6196 1.3309 1.3693

1.6009 1.3071 1.3967

1.5692 1.2920 1.4219

1.5294 1.2859 1.4429

1.4856 1.2887 1.4583

8、三人追逐问题

假设等边三形ABC（边长为100米）的三个顶点各有一人，分别为甲、乙、丙。在某一时刻，三人同时出发以匀速1 m/s沿顺时针方向追逐下一人，并且在任意时刻他们始终保持追逐的方向是对准追逐目标。

(1) 请建立其微分方程模型，试确定每个人的行进路线,计算每个人跑过的路程和经历的时间.

(2) 考虑用计算机仿真的思想, 模拟三人的运动轨迹,并且把仿真结果与第1问比较，进一步谈谈如何仿真结果的误差。

9、一年生植物的繁殖

一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，不考虑腐烂，被人为掠取。这些种子如果可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过三个冬天。现在在一片空地上种上x0?500颗某种生植物。记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b, 活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（3岁种子）比例仍也为b,

0,a7,0.1?4,0.a2,20.?1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2，3岁种子发芽率a3。。设c?1a3?为固定， b是变量，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。

10、公司选址问题

某个公司拟在淮安市淮阴区、清河区、清浦区开分店，经考察，三个区共有7个位置点Ai（i?1,2,?,7）可供选择，且公司决定：淮阴区只能在A1,A2,A3中至多选两个，清河区则在A4,A5中至少选一个，清浦区在A6,A7中至少选一个。 如果选用Ai，设备投资估计为bi万元，每年可获利润估计为ci万元，问在投资总额不超过B万元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？假设投资总额B?1000万元，设备投资估计bi与每项投资每年获利ci见下表：

i bi（万元） ci（万元）

1 150 25 2 180 46 3 300 60 6

4 400 96 5 300 55 6 100 17 7 80 16

11、混合泳接力赛队员游姿安排

某游泳队拟选用 甲，乙，丙，丁四名游泳队员组成一个4?100m混合泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。甲，乙，丙，丁 四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩(至少3种模型与解法)。

成绩 甲 乙 丙 丁 自由泳/s 60 63 61 59 蛙泳/s 71 70 72 72 蝶泳/s 63 67 68 64 仰泳/s 70 69 69 64 12、生产计划问题

对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。

表1

产 品 I II III

该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、2.7小时。因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。

季 度 1 1500 1500 1000 2 1000 1500 2000 3 2000 1200 1500 4 1200 1500 2500 13、制作最小运费表

XX公司在A,B,C,D,E,F,G,H的8个供货站点，各个站点之间的运费由下表所示（“—“表示这两个站点之间不可直达）：

供货站点 A B C D E F G H A 0 3.8 — — — — — B 3.8 0 5.4 — — — — C — 0 6.6 — — — — D 5.4 6.6 0 4.7 — — E — — — 4.7 0 9 — F — — — — 9 0 — 4.1 G — — — 5.3 — 0 H — — — — 4.1 6.21 10.1 — 10.1 — 10.2 — 10.2 5.3 6.21 0 该公司想算出一张任意两个站点之间最小运费的表出来，试着作出这样一张表来(要给出算

7

法、框图、模型、程序)。

14、最廉价飞机线路的选择

北京的一科技公司由于业务的需要，其总经理每周要往返于总公司与各个子公司之间，其出行所乘坐的交通工具是飞机，各个城市间的飞机线路，及票价如下表

城市 北京 天津 南京 青岛 上海 广州 深圳 西安 武汉 杭州 北京 0 50 INF 40 25 10 12 14 INF 15 天津 50 0 15 20 INF 25 20 INF 17 16 南京 INF 15 0 10 20 INF INF 26 28 INF 青岛 40 20 10 0 10 25 32 22 18 21 上海 25 INF 20 10 0 55 16 INF 21 24 广州 10 25 INF 25 55 0 17 24 INF 25 深圳 12 20 INF 32 16 17 0 16 27 18 西安 14 INF 26 22 INF 24 16 0 18 19 武汉 INF 17 28 18 21 INF 27 18 0 20 杭州 15 16 INF 21 24 25 18 19 20 0 (注：数字代表价格，INF表示城市之间没有线路。) 问怎样才能算出一张任意城市间的最廉价路线表。

15、船票价格

某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时，当船速为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用（不论速度如何）都是每小时480元，，若公司打算从每个乘客身上获得利润10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格。

16、生产方案安排

某厂生产A，B两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数如下表：

加工时数 机床 A B 有效时数

（1）求收入最大的生产方案；

8

甲 乙 丙 丁 2 1 4 0 2 2 0 1 240 200 180 140 单 价 （百元/件） 2 3 产品 （2）若引进新产品C，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C的单价多少时才宜投产？当C的单价为4百元时，求C投产后的生产方案。

（3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如下。问应如何安排生产。

产品 精加工时间 A B 2 2.4 有效时数 248 17、考试安排

某校经预赛选出A、B、C、D四名学生，将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛。此次竞赛的四门功课考试在同一时间进行，因而每人只能参加一门，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。设下表是四名学生选拔时的成绩，问应如何组队较好？(至少3种模型与解法)。

课程 学生 数学 90 85 93 79 物理 95 89 91 85 化学 78 73 88 84 外语 83 80 79 87

A B C D

18、生产方案安排

已知某厂生产有关参数： 单位消耗 产品 甲 乙 丙 单价（元）

（1）求最优生产方案；

（2）根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产方案； （3）因E滞销，计划停产，求相应生产方案；

（4）根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案； （5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案；

（6）若限定生产A至少1000件，生产B至少200件，求相应生产方案。

9

A B C D E 0.1 0 0.2 0.3 0.1 0.2 0.2 0.1 0 0.3 0 0.3 0 0.2 0.1 4 3 6 5 8 限额 （公斤） 600 500 300 原料 19、投资组合问题

某投资公司经理欲将50万元基金用于股票投资，股票的收益是随机的。经过慎重考虑，他从所有上市交易的股票中选择了3种股票作为候选的投资对象，从统计数据的分析得到：股票A每股的年期望收益为5元，标准差（均方差）为2元；股票B每股的年期望收益为8元，标准差为6元；股票C每股的年期望收益为10元，标准差也为10元；股票A，B收益的相关系数为5/24，股票A，C收益的相关系数为-0.5，股票B，C收益的相关系数为-0.25。目前股票A，B，C的市价分别为20元，25元，30元。

（1）如果该投资人期望今年得到至少20%的投资回报，应如何投资可使风险最小（这里用收益的方差或标准差衡量风险）？ （2）投资回报率与风险的关系如何？

20、设备更新问题：

企业使用一台设备，每年年初，企业领导就要确定是购置新的，还是继续使用旧的.若购置新设备，就要支付一定的购置费用；若继续使用，则需支付一定的维修费用.现要制定一个五年之内的设备更新计划，使得五年内总的支付费用最少.

已知该种设备在每年年初的价格为：

第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 11 11 12 12 13

使用不同时间设备所需维修费为： 使用年限 0－1 1－2 2－3 3－4 4－5 维修费 5 6 m-3 m m+8

21、水塔问题

有一个几何形状不规则的水塔（如图1所示），它可以看成是曲线ABC绕垂线z旋转而成，水塔高12米,上顶圆的半径为9米，下底圆的半径为3米

(1) 测得水面高度h与水平截面圆的半径的r关系如下表1所示：拟合出曲线ABC满足的方程r?r(h)。

(2) 由流体力学的知识知道：水塔水流速度v与水面高度h有下面的有关系为： v?a2g(h?b) ，其中g=9.8m/s为重力加速度, a 为流速的系数， 利用表2中的数据，拟合a,b 的数值。

图1 水塔形状

(3) 计算该水塔的容积是多少？

(4) 该水塔装满了水，以后不再向水塔中放水。在底部有一个截面为0.02平方米的小孔，试给出水塔中水全部流完需要多长时间？

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表1 水面高度h与水平截面圆的半径的r 关系 单位：米 h r 0 3.00 1 3.78 2 4.40 3 4.91 4 5.32 5 5.68 6 6.00 7 6.33 8 6.68 9 7.80 10 7.60 11 8.23 12 9

表2 水面高度h与水流速度v的关系 单位：立方米/小时 h 12 11 10.27 10 9.90 9 9.51 8 9.10 7 8.68 6 8.23 5 7.76 4 7.26 3 6.72 2 6.14 1 5.49 v

10.63 22、阿拉斯加海滨的鲑鱼种群增长问题。

生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus增长模型

dp(t)?0.003p(t) dt其中t以分钟计。在t?0时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是0.001p2(t)，其中p(t)是t时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。

（1）考虑到两种因素，试修正Malthus模型。

（2）假设在t?0是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数p(t)，并问t??时会发生什么情况？

23、服装销售问题

某服装公司欲订购一批冬装出售，每件冬装的加工费用不确切，估计如下：

单件成本 概率 概率分别为：

18 19 20 21 500 0.05 0.05 0.10 0.20 600 0.10 0.15 0.20 0.30 700 0.25 0.40 0.30 0.35 800 0.40 0.25 0.20 0.10 900 0.20 0.15 0.10 0.05 7 0.05 8 0.15 9 0.2 10 0.3 11 0.25 12 0.05 已知该种服装的销售量与定价有关，当定价为18，19，20，211元时，预测各种销售数字的试用模拟的方法决定该公司的冬装订购数与定价，使得利润最大? 如果订货多于销售,每件处理价格为6元。(要给出算法、框图、模型、程序)。

B组

1、牧场的管理

11

有一块108平方米面积的草场，管理者要估计在这片草场如何安排放羊使得10年的收益最大？

为解决这些问题调查了如下的背景材料： (1)本地环境下这一品种草的日生长率为

季节 日生长率(g/m2)

冬 春 夏 秋

0 3 7 4

(2)草的需求量 成年羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量(kg)为

季节 成年羊 羊羔

冬 春 夏 秋 2.05 2.40 1.15 1.30 0 1.00 1.65 0

为了解决冬季羊群的对草的需求，需要夏季要贮存一定的草供冬季之用。 (3)羊的繁殖率 每只母羊的平均繁殖率为

年龄 产羊羔数

0~1 1~2 2~3 3~4 4~ 0 1.8 2.4 2.0 1.8

(4)羊的存活率 不同年龄段的羊的自然存活率(指存活一年)为

年龄 存活率

0~1 1~2 2~3 3~4 4~5

0.6 0.98 0.95 0.80 0.7

(5)一般在秋季把成年羊卖掉，不同年龄段的羊由于重量不一样，因此价格不一样，下表给出不同年龄段的每只羊的价格。

年龄 价格(元)

0~1 1~2 2~3 3~4 4~ 400 600 900 1300 1500

一般满5岁的羊在秋季全部卖掉。为了保持羊群的繁殖，要求成年公羊在成年羊中所占比重不低于0.1。

2、电力公司发电计划

某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所示。

水源A 水库A 发电站A 水库B 发电站B 水源B

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已知发电站A可以将水库A的1万m3的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万m3的水转换为200千度电能。发电站A，B每个月的最大发电能力分别是60000千度，35000千度，每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A，B的其他有关数据如下（单位：万立方米）

水库最大蓄水量 水源流入水量 本月 下月 水库A 2000 200 130 1200 1900 水库B 1500 40 15 800 850 水库最小蓄水量 水库目前蓄水量

请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度＝103千瓦时） 3、投资风险决策

某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。

表1 项目投资额及其利润 单位：万元

项目编号 投资额 年利润 上 限

A1 6700 1139 34000 A2 6600 1056 27000 A3 4850 727.5 30000 A4 5500 1265 22000 A5 5800 1160 30000 A6 4200 714 23000 A7 4600 1840 25000 A8 4500 1575 23000 请帮该公司解决以下问题：

（1）就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？

（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A4，A5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A2，A6，A7，A8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？

（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。

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表2

项目编号 风险率(%) A1 32 A2 15.5 A3 23 A4 31 A5 35 A6 6.5 A7 42 A8 35

4、高层办公楼电梯问题

商用写字楼在早上8点35分到9点15分这段时间里，上班的人陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海。常常碰到再５分钟就迟到但电梯等了好长时间还没来的情况，候梯的人焦急万分。所以，公司强烈要求电梯设计一个合理有效的调度运行方案。

第一问：假如现有6部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到达，减少候梯时间。 各层楼的人数(不包括第一层楼)见表1 (1) 数据

表l 各楼层人数（个）一览表

楼层 1 2 3 4 5 6 7 8 楼层 — 208 177 222 130 181 191 236 楼层 9 10 11 12 13 14 15 16 人数 楼层 236 17 139 18 272 19 272 20 272 2l 270 22 300 23 264 24 人数 200 200 200 200 207 207 207 207 楼层 25 26 27 28 29 30 人数 205 205 140 136 132 132 (2)第一层的高度为7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为3．9l m； (3)电梯的最大速度是304.8／min，

电梯的速度由0线性增加到全速，其加速度为1.22m／s2；

(4)电梯的容量为19人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间(如果考虑的话)为上面3部分时间总和的10％； (5)底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；

第二问：

如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，你能不能给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8，304.8，365.8m／min）。

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5、气象站点的删除问题

某市有12个县，每个县有一个气象观测站，每个气象观测站测得的年降水量即为该县的年降水量。10年来各观测站测得的年降水量如下表。

表1 年降水量表

地点 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 1 276.2 251.6 192.7 246.2 291.7 466.5 258.6 453.4 158.5 324.8 2 324.5 287.3 433.2 232.4 311 158.9 327.4 365.5 271 406.5 3 158.6 349.5 289.9 243.7 502.4 223.5 432.1 357.6 410.2 235.7 4 412.5 297.4 366.3 372.5 254 425.1 403.9 258.1 344.2 288.8 5 292.8 227.8 466.2 460.4 245.6 251.4 256.6 278.8 250 192.6 6 258.4 453.6 239.1 158.9 324.8 321 282.9 467.2 360.7 284.9 7 334.1 321.5 357.4 298.7 401 315.4 389.7 355.2 376.4 290.5 8 303.2 451 219.7 314.5 266.5 317.4 413.2 228.5 179.4 343.7 9 292.9 466.2 245.7 256.6 251.3 246.2 466.5 453.6 159.2 283.4 10 243.2 307.5 411.1 327 289.9 277.5 199.3 315.6 342.4 281.2 11 159.7 421.1 357 296.5 255.4 304.2 282.1 456.3 331.2 243.7 12 331.2 455.1 353.2 423 362.1 410.7 387.6 407.2 377.7 411.1 为了节省开支，预计至少减少3个气象观测站，问题是减少哪些观测站既可以节省开支，又可以使得该市年降水量的信息量损失较小。试着回答下面问题。

(1) 计算出12个气象观测站的年降水量的均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图。 (2) 计算出12个气象观测站之间的相关系数。

(3) 分析(1)(2)的计算结果、那些气象观测站点可以考虑被删除？（提示：①标准差越大的站点，其个性特征就越明显，因而包含的信息就越多，在同等条件下应该优先考虑删除标准差小的站点；②相关系数比较大的变量应该优先考虑被删除） (4)根据线性回归分析，选出被删除气象观测站点最佳的组合。

(5)分析你的结果，当删除(4)中你得到气象观测站点，计算降水信息损失了多少？你的结果是否令你满意？（提示：定义信息损失比率为：?i?剩余方差，yi为该站点10年降水量的平均值）

6、养鱼方案

某地有一池塘，其水面面积约为100?100m2，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。 （1）鱼的存活空间为1kg/m2；

（2）每1kg鱼每需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg；

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?iyi，其中?i为(4)中相应回归方程的

（3）鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼；

（4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长成为鱼，成鱼的重量为

2kg；

（5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；

?/kg??q<0.2ì0a?6a0.2￡q<0.75??/kg??q （6）若为鱼重，则此种鱼的售价为 Q?í8a?/kg??0.75￡q<1.5???/kg?1?.5￡q￡2?10a（7）该池内只能投放鱼苗。

7、草原鼠患问题

在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。

老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草25—40公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，洞道纵横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。

更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。就像有句名言所说的那样：大自然不可以被模仿和重复。而这才是我们之所以对鼠害之类忧心忡忡的真正原因。那么，我们还能做些什么呢？也许只有不停地灭鼠种草了。有科学家说，人类自打开始灭鼠的第一天起，就背上了一个日益沉重的包袱。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。

问题1. 在自然生长状态下(也就是没有天敌)，老鼠数量随时间的变化趋势如附件1所示，建立老鼠的种群增长模型。 并且考虑用灭鼠药杀死老鼠的效果。当在某一时间加入一定量的灭鼠药，一开始效果很明显，老鼠的生长率为负值，老鼠数量下降快，但由于自然环境的削减作用，老鼠药对老鼠生长率的抑制作用逐渐减小，直至失去作用。假设老鼠药的药效函数对老鼠生长率的抑制函数如下。

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10?? 单位：月 r*(t)?r?1?2?1?t??其中r为老鼠的自然增长率。请计算老鼠药的有效灭鼠时间，和消灭老鼠量，并且花出老鼠的种群增长情况。

问题2. 我们引入老鼠的天敌后，老鼠和老鼠天敌的数量数量随时间的变化趋势如附件2所示，试建立模型刻画两个种群的增长情况。现在考虑用老鼠药消灭老鼠。所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。假设对老鼠对老鼠生长率的抑制函数问题1中所示。对老鼠天敌的死亡率作用如下：

5?? 单位 r*?(t)?r??1?2??1?t?其中r为老鼠的天敌的自然死亡率。 试评价灭鼠效果。

问题3 在问题2中，我们不考虑用灭鼠药，而考虑用人工种植牧草考虑采用人工种植牧草的方法来控制老鼠的数量。鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。假设人工种植牧草的药效函数对老鼠生长率的抑制函数为r*(t)?r?1?m(t)?（ 单位：年）其中

ì?10?0.51???1?t2?,0￡t￡15,???m(t)?í

0.5?,t?15??t?14试建立模型评价灭鼠效果。

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