用叠加法求挠度和转角

用叠加法求挠度和转角

当材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度、转角均与载荷成线性关系．而且弯曲变形是很小的．因此，当梁上同时作用几种载荷时，任一载荷引起的变形，不会受到其他载荷的影响，即每种载荷对弯曲变形的影响是各自独立的。所以，几种载荷同时作用下梁的挠度和转角，等于各种载荷单独作用下挠度和转角的代数和，这就是求解弯曲变形的叠加法．当只需确定某些指定截面的挠度和转角时，应用叠加法是比较方便的．下面举例说明．

例 7-3 图 7-8 所示简支梁，承受均布载荷 q 和集中力偶 M0 作用，已知 M0 =ql2 。试求跨度中点的挠度 fc 和 A 截面的转角 θA 。

解：利用叠加法求解时，首先将 q , M0 同时作用下的简支梁 ( 图 7 -8a ) ，分解为 q 作用下的简支梁 ( 图 7-8b) 和 M0 作用下的简支梁 ( 图 7 -8c ) ，然后，由表 7.1 查取结果叠加。

从表的第 9 栏查得均布载荷 q 作用下的中点挠度和 A 端面转角分别为

由表 7.1 第 5 栏查得集中力偶 M0 作用下的中点挠度和 A 端面转角分别为

用叠加法求挠度和转角

用叠加法求挠度和转角

叠加以上结果，求得 q , M0 同时作用下的中点挠度和 A 截面转角为

fc 为负值，表示挠度向下．θA 为负值，表示 A 截面顺时针转动．

例 7-4 简支梁如图 7 — 10a 所示，在 2a 的长度上对称地作用有均布载荷 q. 试求梁中点挠度和梁端面的转角．

用叠加法求挠度和转角

解：利用叠加法求解。由于简支梁上的载荷对跨度中点 C 对称，故 C 截面的转角应为零．因而从 C 截面取出梁的一半，可将其简化为悬臂梁，如图 7 — 10b 所示。梁上作用有均布载荷 q 和支座 B 的反力 RB = qa.这样，悬臂梁上 B 端面的挠度在数值上等于原梁中点 C 的挠度，但符号相反， B 端面的转角即为原梁 B 端面的转角．经这样处理后，应用叠加原理求解比较方便．

由表 7 · 1 的第 2 栏查得，当集中力 RB (=qa) 作用时 ( 图 7 — 10c ) ， B 端面的转角和挠度分别为

由表 7 · 1 的第 4 栏查得，当均布载荷 q 作用时 ( 图 7 — 10d) ， E 截面的转角和挠度分别为

由于 EB 梁段上无载荷作用，所以 q 引起 B 点的转角和挠度分别为

用叠加法求挠度和转角

=

=

叠加上述结果，可得 B 端面的转角和挠度分别为

于是，原梁 ( 图 7 — 10a ) 中点 C 的挠度 fc 为

例 7-6 某一变截面外伸梁如图 7 — 11a 所示． AB 、 BC 段的抗弯刚度分别为 EI1 和 EI2 ，在 C 端面处受集中力 P 作用，求 C 端面的挠度和转角．

用叠加法求挠度和转角

解：由于外伸梁是变截面的，故不能直接应用表 7 ． 1 中的结果．为此，必须将外伸梁分为 AB 、 BC 两段来研究．首先假设梁的外伸段 BC 是刚性的，研究由于简支梁 AB 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．然后，再考虑由于外伸段 BC 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．最后将其两部分叠加，得 C 截面的实际变形．

由于假设 BC 段为刚性，故可将 P 力向简支梁 AB 的 B 端简化，得 P 和 Pa ．P 力可由 B 支座的反力平衡，不会引起简支梁的弯曲变形。集中力偶 Pa 引起 B 截面的转角 ( 图 7 — 11 b) 由表 6 ． 1 查得

它引起 C 截面的转角和挠度分别为

在考虑 BC 段的变形时，可将其看作悬臂梁 ( 图 7 — 11c ) ，由表 6 · 1 查得，在 P 力作用下 C 截面的转角和挠角分别为

将图 7 — 11b 、 c 中的变形叠加后，求得 C 端面实际的转角和挠度分别为

用叠加法求挠度和转角

例 7-7 在悬臂梁 AB 上作用线性分布载荷，如图 7-12 所示．试求自由端 B 点的挠度．

解：本例同样可以应用叠加法求解．将图中 dx 微段上载荷 qdx 看作集中力，查表 7 · 1 的第 3 栏求得微段载荷 qdx 作用下自由端 B 截面的挠度为

根据题意，线性分布载荷的表达式为

(1)

(2)

按照叠加原理，自由端 B 点的挠度应为 dfB 的积分．将 (2) 式代入 (1) 式，积分得

fB 为负号，表示方向向下．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6joi.html