用叠加法求挠度和转角
更新时间:2023-09-01 01:22:01 阅读量: 教育文库 文档下载
用叠加法求挠度和转角
当材料在线弹性范围内工作时,梁的挠度、转角均与载荷成线性关系.而且弯曲变形是很小的.因此,当梁上同时作用几种载荷时,任一载荷引起的变形,不会受到其他载荷的影响,即每种载荷对弯曲变形的影响是各自独立的。所以,几种载荷同时作用下梁的挠度和转角,等于各种载荷单独作用下挠度和转角的代数和,这就是求解弯曲变形的叠加法.当只需确定某些指定截面的挠度和转角时,应用叠加法是比较方便的.下面举例说明.
例 7-3 图 7-8 所示简支梁,承受均布载荷 q 和集中力偶 M0 作用,已知 M0 =ql2 。试求跨度中点的挠度 fc 和 A 截面的转角 θA 。
解:利用叠加法求解时,首先将 q , M0 同时作用下的简支梁 ( 图 7 -8a ) ,分解为 q 作用下的简支梁 ( 图 7-8b) 和 M0 作用下的简支梁 ( 图 7 -8c ) ,然后,由表 7.1 查取结果叠加。
从表的第 9 栏查得均布载荷 q 作用下的中点挠度和 A 端面转角分别为
由表 7.1 第 5 栏查得集中力偶 M0 作用下的中点挠度和 A 端面转角分别为
用叠加法求挠度和转角
用叠加法求挠度和转角
叠加以上结果,求得 q , M0 同时作用下的中点挠度和 A 截面转角为
fc 为负值,表示挠度向下.θA 为负值,表示 A 截面顺时针转动.
例 7-4 简支梁如图 7 — 10a 所示,在 2a 的长度上对称地作用有均布载荷 q. 试求梁中点挠度和梁端面的转角.
用叠加法求挠度和转角
解:利用叠加法求解。由于简支梁上的载荷对跨度中点 C 对称,故 C 截面的转角应为零.因而从 C 截面取出梁的一半,可将其简化为悬臂梁,如图 7 — 10b 所示。梁上作用有均布载荷 q 和支座 B 的反力 RB = qa.这样,悬臂梁上 B 端面的挠度在数值上等于原梁中点 C 的挠度,但符号相反, B 端面的转角即为原梁 B 端面的转角.经这样处理后,应用叠加原理求解比较方便.
由表 7 · 1 的第 2 栏查得,当集中力 RB (=qa) 作用时 ( 图 7 — 10c ) , B 端面的转角和挠度分别为
由表 7 · 1 的第 4 栏查得,当均布载荷 q 作用时 ( 图 7 — 10d) , E 截面的转角和挠度分别为
由于 EB 梁段上无载荷作用,所以 q 引起 B 点的转角和挠度分别为
用叠加法求挠度和转角
=
=
叠加上述结果,可得 B 端面的转角和挠度分别为
于是,原梁 ( 图 7 — 10a ) 中点 C 的挠度 fc 为
例 7-6 某一变截面外伸梁如图 7 — 11a 所示. AB 、 BC 段的抗弯刚度分别为 EI1 和 EI2 ,在 C 端面处受集中力 P 作用,求 C 端面的挠度和转角.
用叠加法求挠度和转角
解:由于外伸梁是变截面的,故不能直接应用表 7 . 1 中的结果.为此,必须将外伸梁分为 AB 、 BC 两段来研究.首先假设梁的外伸段 BC 是刚性的,研究由于简支梁 AB 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角.然后,再考虑由于外伸段 BC 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角.最后将其两部分叠加,得 C 截面的实际变形.
由于假设 BC 段为刚性,故可将 P 力向简支梁 AB 的 B 端简化,得 P 和 Pa .P 力可由 B 支座的反力平衡,不会引起简支梁的弯曲变形。集中力偶 Pa 引起 B 截面的转角 ( 图 7 — 11 b) 由表 6 . 1 查得
它引起 C 截面的转角和挠度分别为
在考虑 BC 段的变形时,可将其看作悬臂梁 ( 图 7 — 11c ) ,由表 6 · 1 查得,在 P 力作用下 C 截面的转角和挠角分别为
将图 7 — 11b 、 c 中的变形叠加后,求得 C 端面实际的转角和挠度分别为
用叠加法求挠度和转角
例 7-7 在悬臂梁 AB 上作用线性分布载荷,如图 7-12 所示.试求自由端 B 点的挠度.
解:本例同样可以应用叠加法求解.将图中 dx 微段上载荷 qdx 看作集中力,查表 7 · 1 的第 3 栏求得微段载荷 qdx 作用下自由端 B 截面的挠度为
根据题意,线性分布载荷的表达式为
(1)
(2)
按照叠加原理,自由端 B 点的挠度应为 dfB 的积分.将 (2) 式代入 (1) 式,积分得
fB 为负号,表示方向向下.
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