高等工程数学题（南理工高等工程数学考题）

南京理工大学

工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3）

（一）矩阵分析

?2?10???A?023一．（6分）设??,求A?,A1,A2值。

?120????2e2t?et?2ttAt二．（8分）已知函数矩阵：e??e?e?3e2t?3et?542e2t?et2e2t?ete2t?etet?e2t??2et?2e2t?， 求矩阵A.。 3et?2e2t???e9t??9t??2，b?t???e? 三．（10分）已知矩阵A?45?0?2?28?? （1）求e；

At?dx?t??Ax?t??b?t?? （2）求解微分方程?dt。

?x?0???1,0,2?T?四．（10分）给定R的两个基

x1??1,0,1? x2??2,1,0? x3??1,1,1?

TT3T y1??1,2,?1? y2??2,2,?1? y3??2,?1,?1?

TTT 定义线性变换：Txi?yi ?i?1,2,3?

（1）写出由基x1,x2,x3到基y1,y2,y3的过渡矩阵； （2）写出T在基x1,x2,x3下的矩阵； （3）写出T在基y1,y2,y3下的矩阵。 五．（8分）给定R2?2?A??aij?2?2aij?R（数域R上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘

2?2??构成的线性空间）的子集 V?A?R （1）证明V是R

2?2?a11?a22?0?

的线性子空间；

（2）求V的一组基与维数。 六．（8分）设A是实反对称矩阵，证明：A的特征值为零或纯虚数。

（二）数值分析

一．（8分）作一个五次多项式H?x?，使得

H?1??3 H?2???1 H?4??3 H??1??2 H??2??1 H???2??2 二．（10分）分析方程 ?x?1?e?1

x存在几个实根，用简单迭代格式求出这些根（精确到四位有效数字），并说明所用迭代

格式是收敛的。 三．（6分）用列主元素法解线性方程组

01??x1??2??3??????1?1??x2???4?。 ?3?12?33??x??9????3???四．（6分）给定线性方程组

??183?1??x1??15????????33??x2???6? ?12?1????410????x3???15? （1）写出Gauss?Seidel迭代格式；

（2）分析该迭代格式的收敛性。 五．（8分）给定积分I?f??b?af?x?dx，记h?b?a，xi?a?ih，（i?0,1,2,?n） n （1）写出复化的梯形公式Tn?f?和复化的Simpson公式Sn?f?； （2）证明：Sn?f??41T2n?f??Tn?f?。 33sinxdx。 ?x01六．（6分）用Romberg算法求积分

七．（6分）应用四阶Runge?Kutta法求解初值问题

??y??x?y?1

?y?0??1 取步长h?0.1，计算出y?0.1?,y?0.2?,y?0.3?,y?0.4?。

（三）数理统计

一．（10分）设总体X的概率密度为

????1?x?0?x?1 f?x???

其它?0 其中???1是未知参数，x1,x2,?xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量。

二．（10分）设出生婴儿（男）的体重服从正态分布，对12名男性婴儿测得体重(克)数据为 3100，2520，3000，3000，3600，3160 3560，3320，2880，2600，3400，2540

试以置信度为1???0.95的情况下估计男性婴儿的平均体重的置信区间。 三．（10分）抽查10瓶罐头食品的净重，得如下数据（单位：克） 495，510，505，498，503，492，502，512，496，506 问能否认为该批罐头的净重为500克？ 四．（10分）测得某种物质在不同温度下吸附另一种物质的重量如下： xi/C 1.5，1.8，2.4，3.0，3.5，3.9， 4.4， 4.8， 5.0 yi/mg 4.8，5.7，7.0，8.3，10.9，12.4，13.1，13.6，15.3 有经验可知，吸附量y与温度x具有线性关系 y?a?bx?? ?~N0,?（1）求y对x的线性回归方程；

（2）用F检验法检验y对x的线性相关程度。（??0.05）

五．（10分）设X为任意总体，E?X???,D?X???，X1,X2,?Xn为X的样本，

20?2?

1nX??Xi，

ni?11nXi?X，求EX，DX，ES2。 S??n?1i?12??2??????

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