概率课后习题解答

习题一

3．设A,B,C表示三个事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件：

（1）A发生,B与C不发生; （2）A与B都发生,而C不发生; （3）A,B,C都发生; （4）A,B,C都不发生; （5）A,B,C中至少有一个发生; （6）A,B,C中恰有一个发生; （7）A,B,C中至少有两个发生; （8）A,B,C中最多有一个发生.

解：（1）ABC； （2）ABC； （3）ABC； （4）ABC；

（5）A?B?C； （6）ABC?ABC?ABC； （7）AB?AC?BC； （8）AB?AC?BC或AB?AC?BC．

6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：

（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率.

解：设事件Ai表示“取出的3件产品中恰有i件废品”(i?0,1,2,3)，由概率的古典定义得

12C6C194（1）P(A1)??0.0855； 3C2003C194（2）P(A0)?3?0.9122；

C200213C6C194?C6（3）P(A2?A3)??0.0023． 3C2009．已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(BA)?0.8，求P(AB)和P(AB)．

解：P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4,

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]

?1?(0.5?0.6?0.4)?0.3.

1

10．已知P(B)?0.4,P(A?B)?0.6,求P(AB)．

解：P(AB)?P(AB)P(A?B)?P(B)0.6?0.41???.

1?P(B)1?0.43P(B)13．一盒里有10个电子元件,其中有7个正品,3个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率．

解：设事件Ai表示“第i次取得次品”（i?1,2,3,4），则所求的概率为

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

?32761????. 1098720111,,,问能将密码译出的概53419．三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是率是多少?

解：设事件A,B,C分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件A,B,C相互独立，且P(A)?111,P(B)?,P(C)?，则所求的概率为 5341113P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?(1?)(1?)(1?)?.

534520．加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是

0.02,0.03,0.05和0.03.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.

解：设事件Ai表示“第i道工序加工出次品”(i?1,2,3,4)，显然事件A1,A2,A3,A4相互独立，且P(A1)?0.02,P(A2)?0.03,P(A3)?0.05,P(A4)?0.03，则所求的概率为

P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

?1?(1?0.02)(1?0.03)(1?0.05)(1?0.03)?0.124

22．设一系统由三个元件联结而成（如图1?4）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为p(0?p?1).求系统能正常工作的概率.

1

2 图1?4

解：设事件Ai表示“第i个元件正常工作”(i?1,2,3)，事件B表示“该系统正常工

3 2

作”，显然，事件A1,A2,A3相互独立，且P(Ai)?p，则所求的概率为

P(B)?P[(A1?A2)A3]?P(A1A3?A2A3)?P(A1A3)?P(A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A3)?P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?2p2?p3.

习题二

2.离散型随机变量X的概率函数为： （1）P(X?i)?a2i,i?1,2,（2）P(X?i)?2ai,i?1,2,分别求（1）、（2）中a的值．

,100; ,

2a(1?2100)1解：（1）?P(X?i)??a2?； ?1，解得a?1001?22(2?1)i?1i?1100100i（2）

?P(X?i)??2ai?i?1i?1100?12a?1，解得a?．

31?a3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为p，求射击次数的概率分布．

解：设随机变量X表示“击中目标时的射击次数”，显然，X可取1,2,?，故X的概率分布为：P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,?

4.一大楼装有5个同类型的供水设备．调查表明在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的．求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻：

（1）恰有2个设备被使用的概率； （2）至少有3个设备被使用的概率； （3）最多有3个设备被使用的概率； （4）至少有1个设备被使用的概率．

解：设随机变量X表示“在同一时刻被使用的设备数”，显然，X~B(n,p)，其中

n?5,p?0.1，故X的概率分布为

kP5(k)?P(X?k)?C5(0.1)k(0.9)5?k,k?0,1,2,?,5.

（1）恰有2个设备被使用的概率为

2P5(2)?C5(0.1)2(0.9)3?0.0729.

（2）至少有3个设备被使用的概率为

3

55?Pk5(k)??C5(0.1)k(0.9)5?k?0.0086.

k?3k?3（3）最多有3个设备被使用的概率为

?33P(kk5)?5(0.1)k(0.9)5?k?0.9995.

k?0?Ck?0（4）至少有1个设备被使用的概率为

?5P(k)?551?P5(0)?1?(0.9)?0.4095.

k?19.设随机变量X的概率密度为

??1ex2,x?0,? f(x)???1,0?x?2,

?4??0,x?2.?求X的分布函数．

解：随机变量X的分布函数为

?x?1F(x)??x??f(t)dt?????????12etdt?1，x?0;?2ex，x?0;0??2etdt??x104dt，0?x?2;???1?x，0?x?2;

?1?????2etdt??21，2?x.?240?1，2?x.04dt??10.设X的分布函数为

?0,x?0,F(x)???Ax2,0?x?1,

??1,x?1.求：（1）系数A；（2）X的概率密度；（3）概率P(0.5?X?0.8).

解：（1）由于F(x)是连续函数，有limx?1F(x)?F(1)?1，而

F(1?0)?limx?1?Ax2?A，F(1?0)?limx?1?1?1，故A?1； （2）X~f(x)?F?(x)???2x，0?x?1;?0，其它.

（3）P(0.5?X?0.8)?P(0.5?X?0.8)?F(0.8)?F(0.5)?0.39．

4

x?0,?0,?2?x13.随机变量X的分布函数为F(x)??,0?x?5, 求(1)X的概率密度；

?25x?5,??1,(2)P(3?X?6).

解：(1)对于连续型随机变量，有f(x)?F?(x)，所以

?2?x,0?x?5; f(x)??25?其它.?0,3216?(2) P(3?X?6)?P(3?X?6)?F(6)?F(3)?1?. 252514.某种电子元件的使用寿命X（单位：h）的概率密度为

?100,? f(x)??x2??0,求在150h内：

x?100,x?100.

（1）3个电子元件中没有1个损坏的概率； （2）3个电子元件中只有1个损坏的概率； （3）3个电子元件全损坏的概率.

解：设随机变量Y表示“在150h内，3个电子元件中损坏的元件数”，显然，Y~B(n,p)，

1001001501dx??|100?， ???100x2x3801023（1）3个电子元件中没有1个损坏的概率为：P3(0)?C3()()?；

3327411123?1（2）3个电子元件中只有1个损坏的概率为：P3(1)?C3()()?；

339131320（3）3个电子元件全损坏的概率为：P3(3)?C3()()?．

33271357,,,16.已知随机变量X只能取－1，0，2，3四个值，相应的概率依次为，2C4C8C16C其中n?3,p?P(X?150)?150f(x)dx??150确定常数C.

解 由

317537+++=1，得C=. 4C2C16C8C1616.一个袋内装有5个白球，3个红球．第一次从袋内任意取一个球，不放回，第二次又从袋

5

内任意取两个球，Xi表示第i次取到的白球数（i?1,2）．求（1）(X1,X2)的联合概率分布；（2）P(X1?0,X2?0)，P(X1?X2)．

解：（1）依题可知，随机变量X1可取0,1，随机变量X2可取0,1,2，而

1?x2?yC5xC3C5y?xC2?x （x?0,1;y?0,1,2） p(x,y)??28C7则(X1,X2)的联合概率分布，X1与X2的边缘概率分布分别为

X1 0 X2 0 1 2 PX1(xi) 3 81 565 285 281 5 563 285 1415 285 285 145 81 PX2(yj) （2）P(X1?0,X2?0)?p(0,1)?p(0,2)?5, 143P(X1?X2)?p(0,0)?p(1,1)?.

817.袋中装有标上号码1，2，2的3 个球，从中任取一个并且不放回，然后再从袋中任取一球，以X,Y分别记为第一、二次取到球上的号码数，求(X,Y)的联合分布． 解：

X Y 1 2 1 2 0 1 31 31 318.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)???2k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,

其它.?0,求：（1）常数k；（2）P(X?1,Y?3)；（3）P(X?1.5)；（4）P(X?Y?4).

6

解：（1）由于

2??????????f(x,y)dxdy?1，有?2kdx?(6?x?y)dy

0224??2k[6y?xy?02112412y]2dx??4k(3?x)dx?4k(3x?x2)|0?16k?1，解得k?；

0162213311（2）P(X?1,Y?3)???f(x,y)dxdy??dx?(6?x?y)dy

????280111231171713??[6y?xy?y]2dx??(?x)dx?(x?x2)|1?； 080280282281.5??411.5（3）P(X?1.5)???f(x,y)dxdy??dx?(6?x?y)dy

????28011.5111.51121.527??[6y?xy?y2]4dx?(3?x)dx?(3x?x)|0?； 2?0082442324?x1212124?x（4）P(X?Y?4)??dx?(6?x?y)dy??[6y?xy?y]2dx

280802121122??(x2?8x?12)dx?(x3?4x2?12x)|0?． 160163322.投掷一枚硬币直至正面出现为止，引入随机变量Y???1若首次投掷得到正面?0若首次投掷得到反面

X表示投掷总数.

（1）求X与Y的联合概率分布及边缘概率分布.

解：（1）依题可知，X可取1,2,?，而

11p(0,1)?0,p(0,x)?()x,(x?2,3,?),p(1,1)?,p(1,x)?0,(x?2,3,?)

22则X与Y的联合概率分布及边缘概率分布分别为

Y 0 1 X 1 2 3 4 ? PY(yj) 1 21 21 0 1 40 1 80 1 160 ? ? ? PX(xi) 1 21 2-2 1 4-1 1 80 1 161 24.设随机变量X的概率分布为

X pX(xi) 3 1 51 61 51 1511 302求Y?X的概率分布.

7

解：列表

X Y?X2 ?2 4 1 5?1 1 1 60 0 1 51 1 1 153 9 11 30PX(xi) 2则Y?X的概率分布为

Y PY(yj) 0 1 51 7 30 习题三

4 1 51 11 301． 甲乙两台机器一天中出现次品的概率函数分别为

X pX(xi)

0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 Y pY(yi) 0 0.3 1 0.5 2 0.2 3 0 若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？

解：依题有，E(X)?0?0.4?1?0.3?2?0.2?3?0.1?1

E(Y)?0?0.3?1?0.5?2?0.2?3?0?0.9

显然，E(X)?E(Y)，即甲机器的平均次品数比乙机器的平均次品数大，故乙机器较好.

2． 某种电子元件的寿命X（单位：h）的概率密度为

?a2xe?ax,x?0, f(x)??

x?0.?0,其中a?0为常数.求这种电子元件的平均寿命.

解：E(X)??????xf(x)dx??x?axe0??2?axdx??ax2d(?e?ax)

0?? 8

??axe2?ax??0|??(?2axe0???ax)dx??2xd(?e?ax)

0????22??????2xe?ax|0??(?2e?ax)dx??e?ax|0?.

0aa3. 设随机变量X的概率密度为

?kxa,0?x?1; f(x)??

其它;?0,已知E(X)?0.75，求k及a的值.

解：依题可知，

k?ka?11?1kxadx?1???f(x)dx?1x|??10?a?1?k?3??????0a?1??1???????akka?21?a?2xf(x)dx?0.75??x?kxdx?0.75??x|??0.75?0????0a?2?a?24. 设10只同种电器元件中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只，若仍是废品，则再扔掉重新任取一只.试求在取到正品之前已取出的废品数X的概率分布与数学期望.

解：依题可知，随机变量X可取0,1,2，而

84288?,P(X?1)?p(1)???, 10510945211P(X?2)?p(2)???1?

10945P(X?0)?p(0)?故随机变量X的概率分布为

X p(xi) 0 1 2 4 58 451 45且E(X)?0?4812?1??2??. 5454598．设随机变量X的概率密度为

?1?x,?1?x?0;? f(x)??1?x,0?x?1;

?0,其它;?求D(X).

9

解：因E(X)??????xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx

?10011112131?(x2?x3)|0x?x)|0?0 ?1?(2323E(X2)??x2f(x)dx??x2(1?x)dx??x2(1?x)dx

???10??0111131411?(x3?x4)|0?(x?x)|0? ?134346122故 D(X)?E(X)?[E(X)]?.

69.设随机变量X的概率密度函数为

?2(1?x),0?x?1; f(x)??

0,其它;? 求E(X),D(X). 解：E(X)?11122E(X)?2x(1?x)dx?，， ?0?036111D(X)?E(X2)?[E(X)]2??()2?.

631812x(1?x)dx?11．设随机变量X的分布函数为

0,x??1;?? F(x)??a?barcsinx,?1?x?1;

?1,x?1;?试确定常数a,b，并求E(X)及D(X).

解：因F(x)为连续函数，则limF(x)?F(?1)?0，limF(x)?F(1)?1，即

x??1x?11?a??a?barcsin(?1)?0?2 ???11)?1?a?barcsin(?b????0，x??1;1?，?1?x?1;?11?则F(x)???arcsinx， ?1?x?1;，X~f(x)?F?(x)???1?x2，其它.??2?0，x?1.?1?E(X)??xf(x)dx????2??2??1x?1?1?x12dx?0

21E(X)??xf(x)dx????x2?1?1?x2dx???x21?x20dx

10

??????21(1?x2)?11?x20dx????2101?x2dx???2111?x20dx

2121???12?arcsinx|1?, 0?4?2122所以，D(X)?E(X)?[E(X)]?.

2

习题四

1.设X~N(5,22)，求下列概率：

（1）P(2?X?5);(2)P(X?2);(3)P(X?3);(4)P(?3?X?9).

解：（1）P(2?X?5)?P(2?5X?55?5X?5??)?P(?1.5??0) 2222??(0)??(?1.5)??(0)??(1.5)?1?0.5?0.9332?1?0.4332.

（2）P(X?2)?P(?2?X?2)?P(?2?5X?52?5??) 222?P(?3.5?X?5??1.5)??(?1.5)??(?3.5) 2??(3.5)??(1.5)?0.99977?0.9332?0.0666.

X?53?5X?5?)?P(??1)?1??(?1)??(1)?0.8413. 222?3?5X?59?5X?5??)?P(?4??2) （4）P(?3?X?9)?P(2222（3）P(X?3)?P(??(2)??(?4)??(2)??(4)?1?0.9772?0.999968?1?0.9772..

3．已知随机变量X~N(2,?)，且P(X?3?1)?0.44，求P(X?2?2).

解：因P(X?3?1)?P(2?X?4)?P(22?2??X?2??4?2?)

2??()??(0)?0.44，

?即?()?0.44??(0)?0.94，则

2?P(X?2?2)?P(X?2?2?2?2)?2?2?()?2?2?0.94?0.12.

?4. 已知随机变量X~N(?,?)，且P(X??1)?P(X?3)??(?1)，求?,?.

解：依题有

11

???X??3??3??3??P(X?3)?P(?)?1??()??(?)??(?1)，

?????1?????1由此可得，?，解得??1,??2.

3????1??6.设随机变量X~N(0,1)，求E(X2).

解：因E(X)?0,D(X)?1，则E(X2)?D(X)?[E(X)]2?1. 7.设随机变量X~N(0,4),Y~N(2,9),?XY?（1）E(Z)，D(Z).

解：依题可知，E(X)?0,E(Y)?2,D(X)?4,D(Y)?9， 由?XY?P(X??1)?P(X????1??)??(?1??)??(?1)，

XY1?.求 ，又设Z?232cov(X,Y)D(X)?D(Y)得，cov(X,Y)??XYD(X)?D(Y)?1?4?9?3. 2（1）E(Z)?E(XY112?)?E(X)?E(Y)?? 23233XY1111D(Z)?D(?)?()2D(X)?()2D(Y)?2??cov(X,Y)

232323111??4??9??3?1. 49311．一加法器同时收到48个噪声电压Xi(i?1,2,且都在区间[0,10]上服从均匀分布，记X?,48)，设它们是相互独立的随机变量，

，求P(X?180).

?Xi?148i0?10(10?0)2252?5,??D(Xi)??解：依题可知，??E(Xi)?，由独立同2123分布中心极限定理得

P(X?180)?P(?Xi?180)?P(i?1i?148?X48i?n??n?180?n?) n?180?48?5?1??()?1??(?3)??(3)?0.99865.

2548?3

12

12. 一部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm.规定总长度误差在0.1mm内算合格品，试求产品合格的概率.

解：设随机变量Xi表示“第i个部分的长度”，i?1,2,则X1,X2,,100.

100,X100相互独立，??E(Xi)?2,??D(Xi)?0.05且X??Xi表

i?1示“该部件的总长度”， 由独立同分布中心极限定理得

P(X?n??0.1)?P(X?n?0.10.1?)?2?()?1 n?n?100?0.05?2?(0.2)?1?2?0.5793?1?0.1586.

13. 掷硬币900次，试求： （1）至少出现正面480次的概率；

（2）出现正面在420次到480次之间的概率.

解：设随机变量X表示“掷900次硬币中出现正面的次数”，则

1X~B(900,),np?450,np(1?p)?15，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理得

2X?450480?450?)?1??(2)?1?0.9772?0.0228 （1）P(X?480)?P(1515（2）P(420?X?480)?P(X?45030?)?2?(2)?1?2?0.9772?1?0.9544

15151，若船3?14. 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3的概率p??舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角度大于3的概率是多少？

解：设随机变量X表示“在90000次波浪冲击中纵摇角大于3的次数”，则

?1X~B(90000,),np?30000,np(1?p)?1002，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

3得

P(29500?X?30500)?P(X?300001002?5001002)?2?(3.54)?1

?2?0.99977?1?0.99954.

15．用切比雪夫不等式确定当投掷一枚均匀硬币时，需投多少次，才能使出现正面的频率在

13

0.4至0.6之间的概率不小于90%.并用棣莫弗-拉普拉斯定理计算同一问题，然后进行比较.

解：设需投硬币的次数为n，随机变量X表示“投掷n次中硬币出现正面的次数”，显然，X~B(n,)，则E(X)?0.5n,D(X)?0.25n.

（1）由切比雪夫不等式得

12P(0.4?X?0.6)?P(X?0.5n?0.1n)?P(X?E(X)?0.1n) n?1?即n?250.

D(X)0.25n25?1??1??90%

n(0.1n)2(0.1n)2（2）由棣莫弗-拉普拉斯定理得

P(0.4?XX?0.5n0.1n0.1n?0.6)?P(?)?2?()?1 n0.25n0.25n0.25nn)?1?90% 5 ?2?(即?(nn)?0.95，查表得?1.65，即n?68.06，而n?Z?，故n?69. 5516.设有30个电子器件D1,D2,?,D30，它们的使用情况如下：D1损坏，D2接着使用；D2

?1损坏，D3接着使用等等.设器件Di的使用寿命服从参数??0.1（单位：h）的指数分布.

令T为30个器件使用的总时数，问T超过350h的概率是多少？

解：设随机变量Ti表示“第i个电子器件的使用寿命”，i?1,2,?,30.依题可知，

T1,T2,?,T30相互独立，Ti~e(0.1),??E(Ti)?T??Ti，由独立同分布中心极限定理得

i?1301??10,?2?D(Ti)?1?2?100，且

P(T?350)?P(?Ti?350)?P(i?1i?130?T30i?n??350?n?n?n?)?1??(350?30?101030)

?1??(0.91)?1?0.8186?0.1814.

17．某单位设置一电话总机，共有200架电话分机.设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机需要安装多少条外线才能

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以90%的概率保证每个分机都能即时使用.

解：设需要安装m条外线，随机变量X表示“200架电话分机中要使用外线通话的架数”，显然，X~B(200,0.05)，则E(X)?10,D(X)?9.5，由棣莫弗-拉普拉斯定理得

P(X?m)?P(m?109.5X?109.5?m?109.5)??(m?109.5)?90%,

查表得

?1.28，即m?13.95，而m?Z?，故m?14，即总机至少需要安装14

条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用．

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