重庆市西南大学附属中学2012届高三数学第五次月考 理

西南大学附属中学校高2012级第五次月考

数 学 试 题（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题上．

3．填空题的答案和解答题的解答过程直接写在答题卡Ⅱ上． 4．考试结束，监考人将本试题和答题卡一并收回．

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．集合A {y|y lgx，x 1}，B { 2， 1，1，2}，则下列结论正确的是（ ）

A．A B { 2， 1} B．A B (0， )

C．(ðRA) B { 1， 2} D．(ðRA) B ( ，0)

2．tan15 cot15 的值为（ ）

A

B

． C

．D

．

3．已知直线，且

x y a与圆x2 y2 4交于两点A、BOA OB 0，其中O为坐标原点，则

实数a的值为（ ） A．2

B． 2

C． 2

D

．4．若k R，则“k > 3”是“方程

x

2

k 3

y

2

k 3

1表示双曲线”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5

．函数f(x)

(x 1)的反函数f 1

(x)的解析式为（ ）

A

．f 1

(x)

x 0)

B

．f 1

(x) (x 0)

C

．f 1(x)

x 0)

D

．f 1

(x) (x 0)

6．设曲线y xn 1(n N*)在点（2，2n 1）处的切线与x轴交点的横坐标为an，则数列{(n 1)an}

的前n项和为（ ） A．n2 1

B．n2 1

C．n2 n

D．n2 n

7．已知a b 2，现有下列不等式：①b2 3b a；②1

411ab

2(

a

b

)；③ab a b

；

④loga3 logb3，其中正确的是（ ） A．②④

B．①②

C．③④

D．①③

8．已知点P是边长为1的正三角形内一点，该点到三角形三边的距离分别是a，b，c

（a，b，c 0），则ab bc ca的取值范围是（ ） A．(0，1

]

B．1

C

．4(0，2

]

(0 D．2

[1

4

，1]

9．已知函数f(x)

13

1

2

3ax

2

bx cx(a 0)

，记g(x)为f(x)的导函数，若f(x)在R上存在反

函数，且b > 0，则g(2)

g'(0)

的最小值为（ ）

A．2

B．

3 C．4 D．

5

2

2

x

10．设函数

f x x 1

1，A 2

x 10为坐标原点，An为函数y f x 图象上横坐标为n（n∈N*）

n

n

的点，向量an

A

k 1Ak，向量i (1,0)，设 n

为向量

an与向量i

的夹角，满足 tan 5k

k 1

k 1

3

的最大整数n是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．各题答案必须填写在答题卡II上（只填

结果，不要过程）

11．将函数y x2

的图象F

按向量

a (3，

2)平移到F'，则F'的函数解析式为____________．

x y 5 0

12．已知实数x、y满足

x 3，则目标函数z x 2y的最小值为_____________．

x y 0213．已知抛物线y2

2px(p 0)的焦点F恰好是椭圆

xy2a

2

b

2

1的右焦点，且两条曲线交点的

连线过点F，则该椭圆的离心率为____________．

14． 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数y f(x)的图象恰好

经过k个格点，则称函数y f(x)为k阶格点函数.

已知下列函数：①f(x) x2

1)

；

②f(x) ex

1；③f(x)

12

x

；④f(x) 2cos(x

3

)

．则其中为一阶格点函数的序

号为 ．（写出所有正确命题的序号） 15．已知函数f(x) lnx ax2 4在x

12

处取得极值，若m，n [1

4

，1]，则f(m) f('n)

的最大

值是____________．

三、解答题：本题共6小题，共75分．各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字

说明、演算步骤或推理过程）． 16． (本小题满分13分)

已知向量

OP (2cosx 1，cos2x sinx 1)，OQ (cosx， 1)，定义f(x) OP OQ． (1) 求出f(x)的解析式．当x 0时，它可以表示一个振动量，请指出其振幅，相位及初相． (2) f(x)的图像可由y sinx的图像怎样变化得到？ (3)

若f( ) 2

且 为△ABC的一个内角，求 的取值范围．

17． (本小题满分13分)

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2a c)cosB

b

cosC

．

(1) 求角B的大小；

(2) 设

m (sinA，cos2A)，n (4k，1)(k 0)，且m n

的最大值是5，求k的值．

18． (本小题满分13分)

已知数列{b3n}前n项和S2

1n

2)

*

n

2n

2

n

．数列{an}满足a3

n

4 (b(n N)，数列{cn}满足

cn anbn．

(1) 求数列{an}和数列{bn}的通项公式； (2) 若c12

n 4

m m 1对一切正整数

n恒成立，求实数m的取值范围．

19． (本小题满分12分)

已知f(x) xlnx ax，g(x) x2 2． (1) 当a = – 1时，求f(x)的单调区间；

(2) 对一切x (0， )，f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3) 证明：对一切x (0， )，都有lnx 1

1e

x

2ex

成立．

20． (本小题满分12分)

已知点P是直角坐标平面内的动点，点P到直线l1：x 2的距离为d1，到点F（– 1，0）的距离为d2

，且d2

d

1

2

(1) 求动点P所在曲线C的方程；

(2) 直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点

作直线l1:x 2的垂线，对应的垂足分别为M、N，试判断点F与以线段MN为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；

(3) 记S1 S FAM，S2 S FMN，S3 S FBN(A、B、M、N是(2)中的点)，问是否存在实数 ，

使S22 S1S3成立．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．

21． (本小题满分12分)

已数列{an}满足a1 = 1，a2 = 3，an 2 (1 2|cos

n 2

|)an |sin

n 2|

，n N*．

(1) 证明：数列{a2k}(k N*)为等比数列； (2) 求数列{an}的通项公式；

(3) b1an 2n 1

a ( 1)

n 1

(

1，{bn}的前n项和为Sn，求证Sn

232n

4

)

30

．

西南大学附属中学高2012级第五次月考

数学试题参考答案（理）

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．D 7．D 8．A 9．C 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．各题答案必须填写在答题卡II上（只填

结果，不要过程）

11．y (x 3)2 2 12．– 3 13

1 14．②④ 15． ln2 32

三、解答题：本题共6小题，共75分．

16．

(1)

f(x) OP OQ 2cos2x cosx cos2x sinx 1 sinx cosx x

4)

其振幅为

x

4

，初相为

4

(2) 可由y sinx图象横坐标不变，

再把曲线上所有的点向左

平移

个单位，即可得 4

y x

4

)的图象．

(3) 4)

2

∴ sin(

14

)

2

∵ (0， ) ∴

4 (4，5

4

)

∴ (0，

7 12)

··························· 13分

17．(1) 由已知得 (2sinA sinC)cosB sinBcosC

∴ 2sinAcosB sinBcosC sinCcosB sin(B C) sinA ∵ sinA 0 ∴ cosB 12

∵ B (0， ) ∴ B

3

····················· 5分

(2)

m n 4ksinA cos2A 4ksinA 1 2sin2A，A (0，

2 3)

令sinA t，则

m n f(t) 2t2

4kt 1，t (0，1]

对称轴为t = k > 0

①当0 k 1时，f(t)max f(k) 2k2 4k2 1 5 ∴

k

②当k .> 1时，f(t)max f(1) 2 4k 1 5 ∴ k

32

综上，k 32

····························· 13分

18．(1) 当n 2时，b32

1

n Sn Sn 1

2n

2n [32(n 1)2

12

(n 1)] 3n 2

又b1 S1

32

12

1适合上式

∴ b*n 3n 2(n N)

由a3

(b 2)

n 4

n

(14)3n得a (1n

n4

) ···················· 6分

(2) c1nn anbn (3n 2) (4

)

∵ cn 1n 1 cn

34

n 1

3n 24

n

9(n 1)4

n 1

当n > 1时，cn 1 cn 0 当n = 1时，cn 1 cn ∴ {c1n}的最大项为c1 c2 4

∴ c12

12

n

4

m m 1

m 1

14

m2

4

m 4m 5 0

∴ m 5或m 1

∴ 实数m的取值范围为m 5或m 1 ················· 13分

19．(1) a 1时，f(x) xlnx x，f'(x) lnx x 1

x 1 lnx 2(x 0)

由f'(x) 0，得x e 2，∴ f(x)的单调增区间为(

1e

2

，+ )

同理可得减区间为(01

2)························ 4

分

e

(2) 即 xlnx ax x2 2 0对x (0， )恒成立

也即 a lnx x

2x

对x (0， )恒成立

令F(x) lnx x 2x

，x 0，则a F(x)min

F'(x)

1x 2)(x 1)

x 1

2x

2

(x

2

(x 0)

由F'(x) 0，得x 1

∴ F(x)在（0，1）递减，（1，+ ）递增 ∴ F(x)min F(1) 3

∴ a 3 ······························· 8分 (3) 即证xlnx x

xe

x

2e

对x (0， )成立

由(1)知，f(x) xlnx x的最小值为f(11e2

) e

2

令h(x)

xe

x

2e

，x 0，则h'(x)

1 xe

x

由h(x) 0得0 < x < 1

∴h(x)在（0，1）递增，（1，+ ）递减 ∴ h(x)1

max h(1) e

∵

11

e

2

e

∴ f(x)min h(x)max

结论得证 ······························ 12分

20．(1) 设动点为P(x，y)

2

|x 2|

2

，化简得

x

2

y2

1．

即为动点P所在曲线C的方程。 ····················· 3分 (2) 点F在以MN为直径的圆的外部．

理由：由题意可知，当过点F的直线l的斜率为0时，不合题意，故可设直线l：x my 1，

如图所示．联立方程组

x2 2

y2

1，可化为(2 m2)y2 2my 1 0，则点A(x1，y1)、

x my 1

B(x2，y2)的坐标满足 y1 y2m2

2 m2．

y1y2

12 m2又AM l1、BN l1，可得点M( 2，y1)、N( 2，y2)．

因

FM， FN

( 1，y1)

( 1，y2)，则 FM

FN ( 1，y1) ( 1，y1 m22) 1 y1y2

=

2 m

2

0．

于是， MFN为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部． ········ 10分 (3) 依据 (2) 可算出x2 2m2

1 x2 m(y1 y2) 2

42 m2

，x1x2 (my1 1)(my2 1)

2 m

2

，则 S1| 11 m

21S3

(x11 2)|y1|

2

(x2 2)|y24

112 m

2[x1x2 2(x1 x2) 4]

2(2 m2

)

2

，2

S2

1y2

12

1 m

22

(

2

|1 y2| 1) 4

[(y1 y2) 4y1y2] 2

(2 m2

)

2

．

所以，S22 4S1S3，即存在实数 4使得结论成立． ··········· 12分

21．(1) 令n 2k得a2k 2 3a2k

又 a2 3 0

∴ {a2k}为等比数列 ························· 3分 (2) a2k 3k

又 a2k 1 a2k 1 1 a2k 3 2 a1 k k 1

n 1

∴ a (n为奇数)n

2

······················· 7分

n 3

2

(n为偶数) 1

1(3) b1n

3

n

( 1)

n 1

(1 n

(n为奇数)n4) 3n4

1 3

n 14n 13n(n为偶数)

11

∴ S1123n

13

1

4

1

13

2

3

3

14

3

13

4

13

n

14

n

1

1

11

2

415

30

·· 12分

31

4

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6jem.html