指数函数与对数函数知识点总结

关于 高中基本函数 的教学讲义

预计课时：2 学生姓名： 指导教师：

（一）指数函数

指数：

(1) 规定：

① a0＝ (a≠0)； ② a-p＝ ； ③ a? n a m ( a ? 0 , m . (2) 运算性质：

rsr?sa① a?a? a ( ? 0 , (a>0, r、s?Q) rsr?sa)?,② ( a ( a ? 0 (a>0, r、s?Q) rrra?b)?bb?0,r、s?Q) ③ ( a ? ( a ? 0 , (a>0, r

mn注：上述性质对r、s?R均适用.

2．指数函数：

① 定义：函数y=a（a>0,a≠0）称为指数函数 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ；

3) 当________时函数为x增大y减小，当_______时为x增大y增大函数.

② 函数图像：

a>1 0

4433221111-4-20-1246-4-2 0-1246 定义域 R 值域y＞0 在R上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）

19373定义域 R 值域y＞0 在R上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 3?3?8152a?a?a; （2）例1. 已知a=,b=9.求： （1）aa?1?b?1. (ab)?1解：（1）原式=a71?23.a31??23÷［a

(?81)?32·a151?32= a71?6245?(??)32=a.

?121

∵a=19，∴原式=3.

（2）方法一 化去负指数后解.

11a?b?1?1 a?ba?182(ab)?1?b1?ab1?a?b.∵a=9,b?9,∴a+b=9. abab方法二 利用运算性质解.

a?1?b?1?1?(ab)?1?aa?1b?1?b1a?1b?1?1b?1?1a?1?b?a. ∵a=1,b?9,∴a+b=

8299.

变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）: 2113?1?1223（1）

(a?b)?a?b6a?b5;

（2）511236a?b?2?(?3a?12b?1)?(4a3?b?3)2.

变式训练2：已知实数a、b满足等式(1)a2?(1)b3a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.

（ A.1个 B.2个 C.3个

例2.

f(x)=3

x2?5x?4;

解：（1）依题意x2

-5x+4≥0,x≥4或x≤1, ∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.

令u=x2?5x?4?(x?5)2?924,∵x∈（-∞，1］∪［4，+

∴u≥0，即2x2?5x?4≥0，而f(x)=3

x?5x?4≥30=1,

∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.

变式训练2：

（1）.y=(16?x?2x2x2?x?62) (2).y=2

0＜b＜a;②a＜b＜0;③0

D.4

2

＜）

2x变式训练3：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=x.

4?1（1）求f（x)在［-1，1

解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).

2?x2x∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-?x??x.

4?14?1由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),

?2x?4x?1?2x?f（x）=??x?4?1?0??x?(0,1)x?(?1,0) x???1,0,1?得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1

（二）、对数函数

1．对数：

(1) 定义：如果ab?N(a?0,且a?1)，那么称logaN（a>0且a≠0，N>0）为对数函数，其中a称为对数的底，N称为真数.

① 以10为底的对数称为常用对数，log10N记作___________．

(e?2.71828?)② 以无理数e为底的对数称为自然对数，logeN记作_________．

(2) 基本性质：

① 真数N为 (负数和零无对数)；② log ；③ log ； a1?0aa?1aN?④ 对数恒等式：alog ． N(3) 运算性质：

① loga(MN)＝___________________________；

3

② logaM＝____________________________；

N③ logaM＝ (n∈R).

④ 换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)

nab⑤ logab? .m

mnn2．对数函数：

a>1 32.521.50

① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为随着x增大y减小，当______时为随着x增大y增大；

例1 计算：（1）log2

2?3(2?3)

（2）2(lg2)+lg2·lg5+(lg2)?lg2?1;

2

解：（1）方法一

设log(2?3)=x,

2?3

(2+3)=2-3=

12?3x

12?3=（2+3）,∴x=-1.

-1

方法二

log(2?3)=log2?3 2?3=log2?3(2+3)=-1.

2-1

（2）原式=lg2（2lg2+lg5）+(lg2=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1| )?2lg2?1=lg2+(1-lg2)=1. 变式训练1：化简求值. （1）log2

7+log12-1log42-1;22

248 （2）(log32+log92)·(log43+log83).

解：

4

例2 比较下列各组数的大小.

（1）log32与log56;

（2）log

351.10.7与log1.20.7;解：

变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga1b,logab,log1b的大小关系是bA.loga1?logb?log1 B.log11babbab?logab?logbb

C.logb?log1?log1 D.log1?log1abbabbbab?logab

）5

（

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