结构力学中的力矩分配法
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结构力学
结构力学STRUCTURE MECHANICS
结构力学
第6章 章
第6章 用渐进法计算超静定梁和刚架6.1 力矩分配法的基本概念 一、力矩分配法中使用的几个名词1、转动刚度(Si j) 转动刚度( 使等截面直杆某杆端旋转单位角度 =1时 使等截面直杆某杆端旋转单位角度 =1时,在该端所需 施加的力矩。 施加的力矩。SAB=4EI/l A EI 1 l B SAB=EI/l A EI 1 l B
S AB =
远端固定SAB=3EI/l A EI 1 l B
4 EI = 4i lSAB=0 A
远端滑动EI 1 l
S AB =
EI =i l
B
S AB
远端铰支
3 EI = = 3i l
S AB = 0
远端自由
固4 铰3 滑1 悬0
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2、传递系数(Cij) 传递系数( 杆件远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数。 杆件远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数。C ij = M ji M ij
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l
2iφA B l 0 B -iφA B
CAB=2i A/ 4i A=1/2 CAB=0/ 3i A=0
CAB=-i A/ i A=-1
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3、分配系数(µij) 分配系数(的转动刚度与汇交于i 杆ij 的转动刚度与汇交于 结点的所有杆件转动刚度之 和的比值。 和的比值。
Sij µ ij = ∑S(i )
(1)杆端力: (1)杆端力: 杆端力3 1 1 2 1 1 5 M 1 4
M 12 M 13 M 14 M 15
= 4 i12 φ1 = S 12 1 = 3 i13 φ1 = S 13 1 = i14 φ1 = S 14 1 = 4 i15 φ1 = S 15 1 (a)
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(2)由结点1的平衡条件: (2)由结点1的平衡条件: 由结点
∑即:
M
1
= 0M12
M M131
M M12 M13 M14 M15 = 0
M14
M = (S 12 + S 13 + S 14 + S 15 ) 1M M = (b) 得: 1 = S 12 + S 13 + S 14 + S 15 ∑ S
M15
(b)入 (3) 代(b)入(a) , 得: M 12 M 13 M 14 M 15 = 4 i12 φ1 = S 12 1 = 3 i13 φ1 = S 13 1 = i14 φ1 = S 14 1 = 4 i15 φ1 = S 15 1 (a)
M 12 M 13 M 14 M 15
=
S 12 M = µ12 M ∑S
S 13 = M = µ13 M ∑S = = S 14 M = µ14 M ∑S S 15 M = µ15 M ∑S
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二、用力矩分配法计算具有一个结点角位移的结构 1、解题思路P1 (a) A MAB MBA B MB P1 (b) A MfAB MfBA B MfBC MfCB P2 C MfBA MfBC MBC MCB P2 C
MB
f f M B = M BA + M BC
M' (c) A MABc MBAµ B MBCfµ MCBc C
M′ = MB
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2、解题步骤(1)在刚结点上加上刚臂(想象),使原结构 在刚结点上加上刚臂(想象),使原结构 ), 成为单跨超静定梁的组合体,计算分配系数。 成为单跨超静定梁的组合体,计算分配系数。 (2)计算各杆的固端弯矩,进而求出结点的不 计算各杆的固端弯矩, 平衡弯矩。 平衡弯矩。 (3)将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后, 将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后, 按分配系数、传递系数进行分配、传递。 按分配系数、传递系数进行分配、传递。 (4)将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩 将各杆的固端弯矩
、分配弯矩、 相加,即得各杆的最后弯矩。 相加,即得各杆的最后弯矩。
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3、例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁,绘弯矩图。 例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁,绘弯矩图。40kN A 2m 分配系数 固端弯矩 20 2m 4/7 20 11.43 B 4m 3/7 40 8.57 0 0 0 20kN/m C
µBA =
SBA 4i 4 = = SBA + SBC 4i + 3i 7
µ BC
S BC 3i 3 = = = S BA + S BC 4i + 3i 7Pl 40 × 4 = = 20kN m 8 8
分配和传递 5.71 最后弯矩 14.29
f M AB =
31.43 31.43
M
f BA
Pl 40 × 4 = = = 20kN m 8 8
31.43 14.29 A 40 B 40 C
ql 2 f M BC = = 40 kN m, 8 f M CB = 0
M图(kN.m) 图
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3、例题: 试用弯矩分配法计算图示刚架,绘弯矩图。 例题: 试用弯矩分配法计算图示刚架,绘弯矩图。120kN B i=2 Aµ AB =
20kN/m i=1.5 i=2 C D 4mµ AC = µ AB =f BA
S AB S AB S AB
S AB 4×2 = = 0.39 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5 S AC 4×2 = = 0.39 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5 S AD 3 × 1 .5 = = 0.22 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5
2m结 点 杆 端 分配系数 固端弯矩 分配传递 最后弯矩 B
3m
4mA AB 0.39 AC 0.39 0.0 -6.86 -6.86 AD 0.22 -40.0 -3.83 -43.88 0.0 0.0 0.0 -3.43 -3.43 D DA C CA
120 × 2 × 3 2 pab 2 M = 2 = = 86 .4 kn .m l 52 pa 2 b 120 × 2 2 × 3 f M dB = = = 57 .6 kn .m l2 52 ql 2 20 × 4 2 f M AD = = = 40 kn .m 8 8
BA
89.83 144 B
50.74 A
43.88 6.86
40 D
-86.4 -3.43 -89.83
+57.6 -6.86 +50.7
M图(kN.m) 图 3.43 C
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6.2 用力矩分配法计算连续梁和 无结点线位移刚架一、基本概念1、力矩分配法是一种渐近法。 力矩分配法是一种渐近法。 2、每次只放松一个结点。 每次只放松一个结点。 一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。 3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
二、计算步骤1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点,以使结点弯矩平衡,直至结点 逐次循环放松各结点,以使结点弯矩平衡, 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加, 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加, 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
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三、例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁,绘弯矩图。 例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁,绘弯矩图。300kN A EI=26m 分配系数 固端弯矩 0.0 B点一次分、传 45.0 点一次分、 点一次分 C点一次分、传 点一次分、 点一次分 B点二次分、传 7.9 点二次分、 点二次分 C点二次分、传 点二次分、 点二次分 B
点三次分、传 0.6 点三次分、 点三次分 C点第三次分配 点第三次分配 最后弯矩 53.5 3m
B EI=33m
30kN/m C EI=46m
D
0.4 0.0
0.6 -225.0
0.5
0.5
+225.0 -135.0 +67.5 -78.8 -78.7 +11.8 -5.9 -5.9 +0.9 -0.5 -0.4 +220.0 -220.0 220 135
0.0 0.0 0.0 0.0
+90.0 +135.0 -39.4 +15.8 +23.6 -3.0 +1.2 +1.8 +107.0 -107.0 107 135
0.0
A53.5
BM图(kN.m) 图
C
D
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四、练习题: 试用弯矩分配法计算图示连续梁,绘弯矩图。 练习题: 试用弯矩分配法计算图示连续梁,绘弯矩图。80kN
30kN/m B3m 0.6 0.4 +90.0 -250.0 +96.0 +64.0 -23.7 +14.2 +9.5 -1.2 +0.7 +0.5
160kN C3m 0.5 0.5 +112.5 -23.7 -1.2
A i=23m 分配系数 固端弯矩 0.0 B点一次分、传 0.0 点一次分、 点一次分 C点一次分、传 点一次分、 点一次分 B点二次分、传 0.0 点二次分、 点二次分 C点二次分、传 点二次分、 点二次分 B点三次分、传 0.0 点三次分、 点三次分 C点第三次分配 点第三次分配 最后弯矩 0.0
D i=15m
i=110m
+250.0 -187.5 +32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4 237.4 375 300
+200.9 -200.9 200.9
+87.6 87.6
A
120
BM图(kn.m) 图
C
D
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例6 4 用力矩分配法计算图9 8(a)所示的刚架,并绘M图。 用力矩分配法计算图 ( )所示的刚架,并绘 图80kN A EI B EI EI C EI EI 30kN/m D
52.04 120 A
91.84 75.92 135 15.92 B B
62.33 26.72 D C C 35.63
6m
E 3m 3m 6m
F 6m
E CB CF CD
7.96
17.76
F
BA BE BC 分配系数 A 固端弯矩 60 60 B 90 16.36 分配、 分配、传递弯矩 7.73 15.45 15.45 15.45 1.40 0.23 最后弯矩 52.04 0.47 75.92 E 0.47 15.92 0.47 91.84 1/3 1/3 1/3
4/11 4/11 3/11 90 32.73 7.73 2.81 0.23 0.09 62.33 0.09 35.63 0.06 26.72 0 2.81 2.11 0 C 32.73 24.55 0
D
7.73 0.23 7.96
F 16.36 1.40 17.76
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6.3 无剪力分配法一、无剪力分配法的应用条件P P P P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2P/2 F P/2 D P/2 B A GF P/2
E C
D P B 3P/2 A
刚架中除两端无相对线位移的杆件外,其余杆件都是剪力静定杆件。
二、无剪力分配法的解题步骤1、固定结点,加附加刚臂以阻止结点的转动,但不阻止线 固定结点,加附加刚臂以阻止结点的转动, 位移,计算各杆分配系数及各杆在荷载作用下的固端弯矩; 位移,计算各杆分配系数及各杆在荷载作用下的固端弯矩; 放松结点,使结点产生角位移和线位移, 2、放松结点,使结点产生角位移和线位移,求各杆的分配 弯矩和传递弯矩。 弯矩和传递弯矩。 将以上两步的杆端弯矩叠加,即得原刚架的杆端弯矩。 3、将以上两步的杆端弯矩叠加,即得原刚架的杆端弯矩。
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三、例题 试用无剪力分配法计算图示刚架,绘M图。40kN C C’ 2i 20kN 20kN 20kN 20kN
20kN
C
i40kN B
i 4mB’ 20kN 20kN 20kN
2i
2iA 8m
2i 4mA’
20kN 4i C i 20kN 20kN 4i B 2i A
DB
E
40kN
B
A
µCD
SCD 12 i = = = 0.923 SCD + SCB 12 i + i
µCB
S CB i = = = 0.077 S CD + S CB 12 i + i
CB
C
CD0.923 0 44.31 0.23 44.54
µ BE =µBC
S BE 12 i = = 0.8 S BE + S BC + S BA 12 i + i + 2 i
44.54 S BC i = = = 0.067 S BE + S BC + S BA 12 i + i + 2 i 44.54
44.54 98.95
BC
0.077 –40 –8.0 3.69 –0.25 0.02 –44.54
D
BA
BE
µ BA =
S BA 2i = = 0.133 S BE + S BC + S BA 12 i + i + 2 i
63.51 35.44 98.95 96.49 96.49 M(kN.m)
1 M CB = M BC = × 20 × 4 = 40 kN m 2 1 M BA = M AB = × 40 × 4 = 80 kN m 2
0.067 0.133 0.8 B –40 0 –80 8.00 96 16 63.51 –3.69 0.49 2.95 0.25 –35.44 –63.51 98.95 –80 –16 –0.49 –96.49
E
A
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6.4 剪力分配法一、柱顶有水平荷载作用的铰结排架P EI1 h1 EI2 h2 EI3 h3EI
侧移刚度(di)及柱顶发生 水平位移 时,各柱顶的剪力:Q1 = 3 EI 1 = d1 h13 3 EI 2 Q2 = = d 2 (1) 3 h2 3 EI 3 Q3 = = d3 3 h3
=1d =3EI/h3
(a) P Q1=d1 Q1=µ1P Q2=d2 (d) Q2=µ2P
3 EI 1 h12
3 EI 2 2 h2
h3 EI 3 h32
(b) Q3=d3 Q3=µ3P
由图( ): 由图(d):
∑X =0:
(c)
d 1 + d 1 + d 1 = P
∴ =代(2)入(1): ) ): 式中µ称 式中 称剪力分配 系数
1 P= d1 + d2 + d 3Q1 =
1 P dj ∑
(2)
Q1h 1
Q2h 2 (e)
Q3h 3
d1 P = µ1 P ∑d j d2 Q2 = P = µ2 P (3) ∑d j d3 Q3 = P = µ3 P ∑d j
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二、横梁刚度无限大时刚架的剪力分配图示刚架,横梁刚度无限大,无结点角位移,只有水平线位移Δ 图示刚架,横梁刚度无限大,无结点角位移,只有水平线位移Δ。 P 侧移刚度(di)及柱顶侧移为Δ时,各柱的剪力:EI1 h1 EI2 h2 EI3 h3 =1
P
(a) )
P Q1 Q2(c)
12 EI 1 = d1 3 h1 d =12EI/h3 12 EI 2 EI Q2 = = d 2 (1) 3 h h2 12 EI 3 Q3 = = d3 3 h3 (b) ) d 1 + d 1 + d 1 = P 由图( ): 由图(c): ∑ X = 0 : Q1 =
Q3
∴ =代(2)入(1): ) ): 式中µ称 式中 称剪力分配系数
1 P= d1 + d2 + d 3
1 P dj ∑
(2)
P
Q1h 1/2
Q2h 2/2
Q3h 3/2
Q1=µ1P
Q2=µ2P
Q3=µ3P
Q1h 1/2(d) )
d1 P = µ1 P ∑d j d2 柱上端无转角, 柱上端无转角,柱中点的弯矩 Q2 = P = µ2 P (3) ∑d j 为零,柱上下端的弯矩等值反向。 为零,柱上下端的弯矩等值反向。 由剪力求得各柱两端弯矩为 d3 Q3 = P = µ3 P M=Qh/2;由结点的平衡,可求出 /2;由结点的平衡, dj ∑ Q1 =
梁端弯矩。 梁端弯矩。
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