大一高数期末考试复习题及答案

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

1

1．

2．

lim(e x)

x 0

x

x

.

1 1

x 1 x2005 ex e x dx

x y

2

.

3．设函数y y(x)由方程 1

x

e tdt x

dy

确定，则dx

x 0

.

tf(t)dt f(x)f(0) 1 fx1

4. 设可导，且，，则f x 5．微分方程y 4y 4y 0的通解为 .

二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．设常数k 0，则函数

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y 4y 3cos2x的特解形式为（ ）.

（A）y Acos2x; （B）y Axcos2x;

f(x) lnx

x ke在(0, )内零点的个数为（ ）.

（C）y Axcos2x Bxsin2x; （D）y Asin2x. 3．下列结论不一定成立的是（ ）.

*

f x dx f x dx c,d a,bca

（A）若,则必有;

f x dx 0 a,bf(x) 0a

（B）若在上可积,则;

（C）若f x 是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有

x

db

b

a Ta

f x dx f x dx

T

;

tf t dt fx0（D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.

f x

4. 设

1 e

1

x1x

2 3e, 则x 0是f(x)的（ ）.

(A) 连续点; (B) 可去间断点;

(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1

．计算定积分

x3e xdx

2

.

2．计算不定积分

xsinx

cos5x.

x

x a(t sint), t

2处的切线的方程. 3．求摆线 y a(1 cost),在

4. 设

F(x) cos(x2 t)dt

，求F (x).

5．设

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线y

xn

n

(n 1)(n 2)(n 3) (2n)

limxn

n，求n .

x 2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

22

2．设平面图形D由x y 2x与y x所确定，试求D绕直线x 2 旋转一周所生成的旋转体的体积.

t

a 1,f(t) a at在( , )内的驻点为 t(a). 问a为何值时t(a)最小? 并求3. 设

最小值.

五．证明题（7分）

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且

1

f(0)f= (1 0，,(

2

)1

试证明至少存在一点 (0,1), 使得f ( )=1. 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：

1

1． 2．

lim(ex x)x

x 0

e.

4

e.

dy

确定，则dx

x 0

12

1 1

x 1 x2005 ex e x dx

x y

2

3．设函数y y(x)由方程 1

e tdt x

e 1.

12x2

4. 设f x 可导，且

x1

tf(t)dt f(x)

，f(0) 1，则f x e

2x

.

5．微分方程y 4y 4y 0的通解为y (C1 C2x)e二．选择题（每小题4分，4题共16分）：

.

1．设常数k 0，则函数

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y 4y 3cos2x的特解形式为 （ C ）

y Acos2xy（A）； （B） Axcos2x；

（C）y Axcos2x Bxsin2x； （D）y Asin2x 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）

f(x) lnx

x k

(0, )内零点的个数为（ B ）. e 在

*

(A) (A) 若 c,d a,b ,则必有

d

c

f x dx f x dx

a

b

b

;

f x dx 0 a,bf(x) 0a

(B) (B) 若在上可积,则;

(C) (C) 若f x 是周期为T的连续函数,则对任意常数

a都有

a Ta

f x dx f x dx

T

;

x

tf t dt fx0(D) (D) 若可积函数为奇函数,则也为奇函数.

f x

1 e

1

x1x

2 3e, 则x 0是f(x)的（ C ）. 4. 设

(A) 连续点; (B) 可去间断点;

(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分 0 解：

2

x3e xdx

20

2

.

2

设x2 t,则 x3e xdx

1 t12

tedt tde t0220 -------2

2

1 t22 t

te edt

002 -------2

2131

e 2 e t e 2

0222 --------2

2．计算不定积分解：

xsinx5

cosx.

xsinx111 xdx

dx xd() 4 cos5x cos4x 4 cos4x4 cosx --------3

x1

(tan2x 1)dtanx4 4cosx4x113

tanx tanx C4cos4x124 -----------3

x a(t sint), t

2处的切线的方程. 3．求摆线 y a(1 cost),在

(a( 1),a)2解：切点为 -------2

k

dyasint

s)t dxt a(1 cot

2

2

1 -------2

切线方程为

x

y a x a(

2

1)

即

y x (2

2

)a

. -------2

4. 设 5．设

F(x) cos(x2 t)dt

22

F(x) 2xcosx (2x 1)cos(x x). ，则

xn

n

n 1)(n 2)(n 3) (2n)

limxn

n，求n .

1ni

lnxn ln1( )

ni 1n ---------2 解：

n1i1

limlnxn lim ln(1 ) ln(1 x)dx

0n n nni 1 --------------2 1

2ln2 1

01 x = ------------2 42ln2 1

e limxn

e 故 n =

xln(1 x)10 x

1

四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线y

x 2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

解：

（x0,y0)，则过原点的切线方程为设切点为

y

1

x

2x0 2， x

（x0,y0)在切线上，带入切线方程，解得切点为x0 4,y0 2.-----3 由于点

过原点和点(4,2)的切线方程为

面积

y

22-----------------------------3

s

2

22

(y 2 22y)dy

=3-------------------3

2

或

s

20

122

xdx (

2

4

122

x x 2)dx

223

22

2．设平面图形D由x y 2x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积

.

解： 法一：V V1 V2

10

2 (1 y)dy (2 y)2dy 2

10

2

2

1

y

1

2

(y 1)2dy

-------6

11 1 2 (y 1)3 2 ( )

0 43 --------3 43

法二：V=

10

2 (2 x)(2x x2 x)dx

2

10

------------------ 5

2 (2 x)2x xdx 2 (2x x2)dx

14

(2 2x)2x x2 22x x2dx

03

3

2 41221 (2x x) 2 1

04 3 3

21412 2 2 32323 ------------- 4

3. 设a 1,f(t) a at在( , )内的驻点为 t(a). 问a为何值时t(a)最小? 并求最

小值.

t

解:

由f (t) atlna a 0得t(a) 1

lnlna

.

lna --------------- 3

又由t (a)

lnlna 1e

0得唯一驻点a e 2

a(lna)------------3

当a ee时,t (a) 0;当a ee时,t (a) 0,于是a ee为t(a)的极小值点.-----2

故

a ee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee) 1

lne1

1 .ee--------------1

五．证明题（7分）

1

f(0)=f(1) 0,f() 1，

2设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且

试证明至少存在一点 (0,1), 使得f ( )=1.

证明：设F(x) f(x) x，F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,

有F(0) f(0) 0 0,F(1) f(1) 1 1,--------------- 2

1111111f()=11]F()=f()-=1-=，[，

2222在2上F(x)用零点定理， 又由2，知2

11F(1)F()=- 0

22根据，--------------- 2

11(，1)F( )=0， (,1) (0,1)

2可知在2内至少存在一点 ，使得,

F(0)=F( )=0由ROLLE中值定理得 至少存在一点 (0, ) (0,1)使得

F ( )=0即f ( ) 1=0，证毕. --------------3

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