高等代数作业 第一章 多项式答案

高等代数第一次作业

第一章 多项式 §1—§3

一、填空题

1. 如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则 。f(x)|h(x) 2. 若f(x)|g(x)?h(x),f(x)|g(x)，则 。f(x)|h(x) 3. 若f(x)|g(x),f(x)/|h(x)，则 。f(x)/|g(x)?h(x) 二、判断题

1. 数集?a?bi|a,b是有理数,i2??1?是数域（ ）√ 2. 数集? a?bi|a,b是整数,i2??1?是数域 （ ）×3. 若f(x)|g(x)h(x),f(x)/ |g(x),则f(x)|h(x) ( ) ×4. 若f(x)|g(x)?h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ）√

?6. 数集?n5. 数集a?b2|a,b是有理数?是数域 （ ）√

除法不封闭 2|n为整数?是数域 （ ）×

7. 若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) × 当f(x)是不可约时才成立 8. 若f(x)/ 如f(x)?x2，g(x)?h(x)?x时不成立 |g(x),f(x)/|h(x)，则f(x)/|g(x)h(x) ( ) ×

9. 若f(x)|g(x)?h(x),f(x)|g(x)?h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x) ( ) √ 三、选择题

1. 以下数集不是数域的是（ ）B A、?a?bi|a,b是有理数，i2??1? B、?a?bi|a,b是整数，i2??1?

? C、a?b2|a,b是有理数? D、?全体有理数2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C

A、若f(x)|g(x)h(x)且f(x)/|g(x),则f(x)|h(x) B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)

C、若f(x)|g(x)?h(x)，且f(x)|g(x)，则f(x)|h(x) D、若f(x)/|g(x),f(x)/|h(x)，则f(x)/|g(x)h(x)

四、计算题

数域P中的数m,p,q适合什么条件时, 多项式x2?mx?1|x3?px?q? 解：由假设，所得余式为0，即 (p?1?m2)x?(q?m)?0

?p?1?m2?0所以当?时有x2?mx?1|x3?px?q

?q?m?0?五、证明题

f（1）?f(?1)f(1)?f(?1)x?。

22证明：设余式为ax?b，则有f(x)?(x2?1)q(x)?ax?b

?a?b,f?(1?)?a? f(1) bf(1)?f(?1)f(1)?f(?1),b?求得a= 22试证用x2?1除f(x)所得余式为

高等代数第二次作业

第一章 多项式 §4—§6

一、填空题

1. 当p(x)是 多项式时，由p(x)|f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。不可约 2. 当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。互素

3. 设f(x)?x3?3x2?ax?b用x?1除余数为3，用x?1除余数为5，那么a? b? 。a=0,b=1 4. 如果(f(x),g(x))?1，(h(x),g(x))?1，则 。(f(x)h(x),g(x))?1 5. 设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则 。p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 6. 设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则 。p(x)|f(x)或(p(x),f(x))?1 7. 若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))?1，则 。g(x)h(x)|f(x) 8. 若p(x)|g(x)h(x),且 ，则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。p(x)是不可约多项式 二、判断题

1. 若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，则g(x)h(x)|f(x) （ ）×

2. 若(f(x)g(x),h(x))?1,则(f(x),h(x))?1，(g(x),h(x))?1 ( ) √ 3. 若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),则(f(x),h(x))?1 ( ) ×

4. 设p(x)是数域P上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f?(x)的k?1重因式。 （ ）√

5. 若有d(x)?f(x)u(x)?g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ）× 6. 若p(x)是f?(x)内的k重因式，则p(x)是f(x)的k?1重因式（ ）× 如f(x)?xk?1?1 三、选择题

1. 关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是 （ ）D A、若f(x)|g(x)h(x)且f(x)|g(x) ,则(f(x),h(x))?1

B、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式 C、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式 D、若(f(x)g(x),h(x))?1，则(f(x),h(x))?1且(g(x),h(x))?1 2. 关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ）C A、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)

B、若q(x)也是不可约多项式，则(p(x),q(x))?1或p(x)?cq(x),c?0 C、p(x)是任何数域上的不可约多项式 D、p(x)是有理数域上的不可约多项式

3. 关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）D A、若不可约多项式p(x)是f?(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的k?1重因式

B、若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)，f?(x)的最大公因式 C、若不可约多项式p(x)是f?(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式

f(x)D、若不可约多项式p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是的单因式

?(f(x),f(x))四、计算题

1．设f(x)?x4?x3?x2?2x?1,g(x)?x3?2x?1,求(f(x),g(x))以及u(x),v(x),使

u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x)).

解：利用辗转相除法得

f(x)?g(x)q1(x)?r1(x)?g(x)(x?1)?x2?x,g(x)?r1(x)q2(x)?r2(x)?(x2?x)(x?1)?x?1, r1(x)?r2(x)q3(x)?(?x?1)(?x).因此(f(x),g(x))?x?1.又

r2(x)?g(x)?r1(x)q2(x)?g(x)?(f(x)?g(x)q1(x))q2(x)??q2(x)f(x)?(1?q1(x)q2(x)).

(f(x),g(x))??r2(x)?q2(x)f(x)?(1?q1(x)q2(x))g(x).

所以u(x)?q2(x)?x?1,v(x)??1?q1(x)q2(x)??1?(x?1)(x?1)??x2. 2．设f(x)?x5?x3?4x2?3x?2

(1)判断f(x)在R上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数; (2)求f(x)在R上的标准分解式.

解:（1）f?(x)?5x4?3x2?8x?3.运用辗转相除法可得：(f(x),f?(x))?x2?x?1.

x2?x?1为f(x)在R上二重因式.

(2)由(1)可得f(x)在R上的标准分解式为

f(x)?(x2?x?1)2(x?2).

解法2: f(x)的可能有理根为?1,?2,经检验?2为f(x)的有理根,由综合除法可得

?210?2?1434?6?2?3412?2 01?2因此有f(x)?(x4?2x3?3x2?2x?1)(x?2)?(x2?x?1)2(x?2).x2?x?1为f(x)在R上二重因式.

f(x)在R上的标准分解式为

f(x)?(x2?x?1)2(x?2).

五、证明题

1．设k?2为正整数,证明:f(x)|g(x)?fk(x)|gk(x).

证明:当f(x)|g(x)时，有g(x)?f(x)q(x),因此gk(x)?fk(x)qk(x),即有fk(x)|gk(x). 反之设

f(x)?p1r1(x)p2r2(x)g(x)?p1m1(x)p2m2(x)其中p1(x),p2(x),psrs(x) psms(x)

,ps(x)是互不相同的不可约多项式,ri?0,mi?0(i?1,2,,s).由fk(x)|gk(x)可得

kri?kmi(i?1,2,,s),即ri?mi(i?1,2,,s).因此有f(x)|g(x).

2. 已知f(x),g(x),h(x)是数域P上的多项式，a,b,c?P,a?b,a?0,c?0，且

?(x?a)f(x)?(x?b)g(x)?(x2?c)h(x) ?2?(x?a)f(x)?(x?b)g(x)?(x?c)h(x)则x2?cf(x),x2?cg(x).

证明:两式相加得:2x(f(x)?g(x))?2(x2?c)g(x).由c?0得(x,x2?c)?1.因此有

x2?cf(x)?g(x).

两式相减有2af(x)?2bg(x)?0,,因此有x2?c2a(f?)x2b(.g由)xx2?cf(x)?g(x)及

x2?c2af(x)?2bg(x)可得x2?c(2a?2b)f(x).又a?b,因此有x2?cf(x).类似有x2?cg(x).

高等代数第三次作业

第一章 多项式 §7—§9

一、填空题

1. 设用x?1除f(x)余数为5，用x?1除f(x)余数为7，则用x2?1除f(x)余数是 。?x?6 2. 设f(x)?x4?2x2?kx?2用x?1除余数为3，则k? 。k?2

3. 如果(x2?1)|x4?3x3?6x2?ax?b，则a? ，b? 。a?3, b??7 4. 如果f(x)?x3?3x?k有重根，那么k? 。k?±2

5. 以l为二重根，2，1?i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。x5?6x4?15x3?20x2?14x?4

6. 已知1?i是f(x)?x4?4x3?5x2?2x?2的一个根，则f(x)的全部根是 。1?i,1?i,1?2,1?2 7. ?是f(x)的根的充分必要条件是 。x??|f(x)

8. f(x)没有重根的充分必要条件是 。(f(x),f?(x))?1

二、判断题

1. 如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约。（ ）× 2. 奇次数的实系数多项式必有实根。（ ）√ 虚根成对 3. f(x)?x6?x3?1在有理数域上可约。（ ）× x?y?1变形后用判别法知 不可约 4. 如果f(x)在有理数域上是可约的，则f(x)必有有理根。（ ）× 5. f(x)?x4?2x3?8x?10在有理数域上不可约。（ ）√ 三、选择题

1. 关于多项式的根，以下结论正确的是 （ ）D A、如果f(x)在有理数域上可约，则它必有理根。

B、如果f(x)在实数域上可约，则它必有实根。

C、如果f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约。 D、一个三次实系数多项式必有实根。

2. 关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）B A、?是f(x)的根的充分必要条件是x??|f(x)

B、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约 C、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根 D、一个三次的实系数多项式必有实根

3. 设f(x)?x3?3x2?tx?1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。D A、1 B、0 C、?1 D、3或-5

4. 设f(x)?x3?tx2?5x?1是整系数多项式，当t=（ ）时，f(x)在有理数域上可约。A A、7或-5 B、1 C、?1 D、0

5. 设f(x)?x3?tx2?3x?1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。D A、1 B、?1 C、0 D、5或?3

6. 设f(x)?x5?5x?1，以下结论不正确的是（ ）B A、f(x)在有理数域上不可约 B、f(x)在有理数域上可约

C、f(x)有一实根 D、f(x)没有有理根 7. 设f(x)?xp?px?1,p为奇素数，以下结论正确的是 （ ）A A、f(x)在有理数域上不可约 B、f(x)在有理数域上可约

C、f(x)在实数域上不可约 D、f(x)在复数域上不可约 四、计算题

1.已知f(x)?x3?6x2?3px?8，试确定p的值，使f(x)有重根，并求其根. 解:若f(x)有重根,则f(x)?(x?a)2(x?b)?x3?(2a?b)x2?(a2?2ab)x?a2b. 因此有

?2a?b??6,?a??2,?a?1,?2???a?2ab?3p,解得?b??2,或?b??8, ?a2b??8.?p?4.?p??5.???当p?4时?2为f(x)的3重根;当p??5时1为f(x)的2重根,-8为单根. 解法2:若f(x)有重根,则(f(x),f'(x))?1.

f'(x)?3x2?12x?3p?3(x2?4x?p).

f(x)?1f'(x)(x?2)?(2p?8)x?(8?2p) 3?(x2?4x?p)(x?2)?(2p?8)(x?1),1f'(x)?(x?1)(x?5)?(p?5). 3当p?4时,f(x)?(x?2)3, ?2为f(x)的3重根; 当p??5时, (f(x),f'(x))

?x?1,1为f(x)的2重根,此时f(x)?(x?1)2(x?8),-8为单根.

2.已知1?i是多项式x4?4x3?5x2?2x?2的一个根，求其所有的根. 解:由实系数多项式虚根成对性, 1?i也是x4?4x3?5x2?2x?2的根.

f(x)?x4?4x3?5x2?2x?2?(x2?2x?2)(x2?2x?1).

因此f(x)的所有根为1?i,1?i,1?2,1?2. 3.当a,b满足什么条件时，多项式f(x)?x4?4ax?b有重根？ 解:显然当a?b?0时,0为f(x)的四重根.当a?0时,

f'(x)?4x3?4a?4(x3?a).

f(x)?xf'(x)?(3ax?b) 4424b4b24b3f'(x)?(3ax?b)(x?2x?)?4a?.

3a9a27a327a3当b3?27a4时,(f(x),f'(x))?x?b3?27a4时f(x)有重根.

bb,?为f(x)的二重根.显然a?b?0也满足b3?27a4.因此当3a3a五、证明题

1. 设f(x)是整系数多项式,a为整数,证明:(5?a)|f(5)?(5?a)|f(a).

?)，r其中q(x)为整系数多项式，r为整数.证明:若(5?a)|f(5)，令f(x)?(x?a)q(xf(5)?(5?a)q(5)?r.由(5?a)|f(5)可得r?0.因此有

f(x)?(x?a)q(x).f(a)?0,(5?a)|f(a).

类似可证当(5?a)|f(a)?(5?a)|f(5).

2. 设c?0，证明：若f(x)?f(x?c)，则f(x)只能是常数.

证明:反证法证明.假设f(x)不是常数. ?(f(x))?n?0.在复数域上考虑, f(x)至少有一个复根?.由f(x)?f(x?c)可得

0?f(?)?f(??c)?f((??c)?c)??f(??kc)?,k?N.

即?,??c,??2c,,??kc,都是f(x)的根,与f(x)至多有n个根相矛盾.因此f(x)为常数.

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