数论之同余定理、个位律
更新时间:2023-05-19 21:24:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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数论之同余定理、个位律
第六讲 数论之同余定理、个位律
射雕英雄传第29回写到,黄蓉给瑛姑出了三道算题.其中第三题是想所谓的“鬼谷算题”:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七挑七数之剩二,问物几何?
战 这个其实是我国古代比较有名的一道题.你能答出黄蓉的这道题吗? 吗?回顾
【例1】 (北大附中入学测试题)有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,这三个余数的和是25。这三个余数中最大的一个是多少?
【例2】 (人大附中入学测试题)一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少?
数论之同余定理、个位律
专题
题型一、余数规律 余数定理:
a:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
实例:7÷3= 1,5÷3= 2,这样(7+5)÷3的余数就等于1+2=3,所以余0。
b: 两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
实例:8÷3= 2,4÷3= 1,这样(8-4)÷3的余数就等于2-1=1,所以余1。
如果是(7-5)÷3呢? 会出什么问题?
c: 两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
实例:7÷3= 1,5÷3= 2,这样(7×5)÷3的余数就等于1×2=2,所以余2。
性质:
带余除法:
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0 r<b,使得a=b×q+r
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商
(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q r, 0 r<b
12342005【例1】 1 2 3 4 2005除以10所得的余数为多少?
105【例2】 试求253×168的末两位数。
数论之同余定理、个位律
题型二、余数定理、性质的运用
【例3】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220
后所得的余数,则这个自然数是多少?
【例4】 甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余
数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少?
数论之同余定理、个位律
题型三、一个数除以多个数,得不同余数
一般解题步骤:
①凑“多”相同,即把余数处理成相同 条件:余数与除数的和相同 ②凑“缺”相同,即把余数处理成缺的数字相同 条件:除数与余数的差相同 ③先考虑上面两种,如果都不行,则用“中国剩余定理”
【例5】 一个大于10的数,除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自
然数是多少?
【例6】 一个大于2的数,除以3余1,除以5余3,除以7余5,问满足条件的最小自然
数是____.
【例7】 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数____.
数论之同余定理、个位律
【例8】 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5,求符合条件的最小的数:
题型四:余数和应用题相结合。
【例9】 在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。将表中同一行或同一列的3个数加
上相同的自然数称为一次操作。问:你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗?为什么?
【例10】 六张卡片上分别标上1193,1258,1842,1866,1912,2494六个数,甲取3
张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲手中卡片上的数之和是乙各自手中卡片上的数之和的2倍,则丙手中卡片上的数是几?
【例11】 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人,两代表团坐满若干辆车后,
甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念,那么拍完最后一张照片后,照相机里的胶卷还可拍____张照片(每个胶卷可拍36张照片)。
数论之同余定理、个位律
【例12】 (南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第11题)现有糖果254
粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是:1:3:2,这个大班有_____名小朋友,每人分得糖果_____粒,饼干_____块,桔子_____个。
练习
1、有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1。问这个数除以12余数是几?
2、五(3)班同学上体育课,排成3行少1人,排成4行多3人,排成5行少1人,排成6行多5人.问上体育课的同学最少多少名?
3、 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数
4、一个数去除70、103所得的余数为a、2a+2,求a的值,
数论之同余定理、个位律
5、 一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。
6、已知有10包相同数量的饼干,若将其中1包饼干平分给23名学生,最少剩3片。若将此10包饼干平分给23名学生,则最少剩多少片?
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