清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)

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同样适合 第三版黄皮版

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运筹学教程(第二版) 运筹学教程(第二版) 习题解答安徽大学管理学院

洪 文

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第一章习题解答1.1 用图解法求解下列线性规划问题。 用图解法求解下列线性规划问题。 并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、 并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、 无界解还是无可行解。 无界解还是无可行解。(1) min Z = 2 x1 + 3 x 2 4 x1 + 6 x 2 ≥ 6 st . 2 x1 + 2 x 2 ≥ 4 x ,x ≥ 0 1 2

( 2)

max Z = 3 x1 + 2 x 2 2 x1 + x 2 ≤ 2 st . 3 x1 + 4 x 2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2 max Z = 5 x1 + 6 x 2 2 x1 x 2 ≥ 2 st . 2 x1 + 3 x 2 ≤ 2 x ,x ≥ 0 1 2 3

( 3)

max Z = x1 + x 2 6 x1 + 10 x 2 ≤ 120 st . 5 ≤ x1 ≤ 10 5≤ x ≤8 2

( 4)

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第一章习题解答(1) min Z = 2 x1 + 3 x 2 4 x1 + 6 x 2 ≥ 6 st . 2 x1 + 2 x 2 ≥ 4 x ,x ≥ 0 1 2 1 , Z = 3是一个最优解 3

无穷多最优解， x1 = 1, x 2 =

(2)

max Z = 3 x 1 + 2 x 2 2 x1 + x 2 ≤ 2 st . 3 x 1 + 4 x 2 ≥ 12 x , x ≥ 0 1 2

该问题无解page 4 4 September 2011 4

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第一章习题解答( 3) max Z = x1 + x 2 6 x1 + 10 x 2 ≤ 120 st . 5 ≤ x1 ≤ 10 5≤ x ≤8 2

唯一最优解， x1 = 10 , x 2 = 6, Z = 16max Z = 5 x1 + 6 x 2 2 x1 x 2 ≥ 2 ( 4) st . 2 x1 + 3 x 2 ≤ 2 x ,x ≥ 0 1 2 该问题有无界解

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第一章习题解答1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。 将下述线性规划问题化成标准形式。min Z = 3 x1 + 4 x 2 2 x3 + 5 x 4 4 x1 x 2 + 2 x3 x 4 = 2 x + x x + 2 x ≤ 14 2 3 4 st 1 . 2 x1 + 3 x 2 + x3 x 4 ≥ 2 x1 , x 2 , x3 ≥ 0, x 4 无约束 min st x 1 Z = 2 x1 2 x 2 + 3 x 3 x1 + x 2 + x 3 = 4 2 x1 + x 2 x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束6

(1)

(2)

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第一章习题解答minZ = 3x1 + 4x2 2x3 + 5x4 4x1 x2 + 2x3 x4 = 2 x + x x + 2x ≤ 14 (1) 4 st 1 2 3 . 2x1 + 3x2 + x3 x4 ≥ 2 x1, x2 , x3 ≥ 0, x4无约束 max Z = 3 x1 4 x 2 + 2 x3 5 x 41 + 5 x 42 4 x1 + x 2 2 x3 + x 41 x 42 = 2 x + x x + 2 x 2 x + x = 14 2 3 41 42 5 st 1 2 x1 + 3 x 2 + x3 x 41 + x 42 x6 = 2 x1 , x 2 , x3 , x 41 , x 42 , x 6 ≥ 0 page 7 4 September 2011 7

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第一章习题解答(2) min st x 1 Z = 2 x1 2 x 2 +

3 x 3 x1 + x 2 + x 3 = 4 2 x1 + x 2 x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束

max Z = 2 x1 + 2 x 2 3 x 31 + 3 x 32 x1 + x 2 + x 31 x 32 = 4 st 2 x1 + x 2 x 31 + x 32 + x 4 = 6 x1 , x 2 , x 31 , x 32 , x 4 ≥ 0

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第一章习题解答对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解， 指出哪些是基可行解，并确定最优解。 指出哪些是基可行解，并确定最优解。max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 x 6 = 0 x j ≥ 0( j = 1, L , 6) , min Z = 5 x1 2 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 7 st 2 x1 + 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3 x ≥ 0 , ( j = 1, L 4 ) j 9

(1)

(2)

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第一章习题解答(1) max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 x 6 = 0 x j ≥ 0( j = 1, L , 6) ,

x1 0 0 0 0.7 page 10 4 September 2011 5

x2 3 0 0 0

基可行解 x3 x4 x5 0 0 3.5 1.5 0 8 0 3 5 0 0 2

x6 Z 0 3 0 3 0 0 2.2 2.2 10 School Management 5 of5

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第一章习题解答(2) min Z = 5 x1 2 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 7 st 2 x1 + 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3 x ≥ 0 , ( j = 1, L 4 ) j

x1 0 0 2/5page 11 4 September 2011

基可行解 x2 x3 x4 0.5 2 0 0 1 1 0 11/5 0

Z 5 5 43/511

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第一章习题解答1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述 线性规划问题， 线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。 可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。(1) max Z = 10 x1 + 5 x 2 3 x1 + 4 x 2 ≤ 9 st . 5 x1 + 2 x 2 ≤ 8 x ,x ≥ 0 1 2

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第一章习题解答(2) max Z = 2 x1 + x 2 3 x1 + 5 x 2 ≤ 15 st . 6 x1 + 2 x 2 ≤ 24 x ,x ≥ 0 1 2

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第一章习题解答l.5 上题 中，若目标函数变为 上题(1)中 若目标函数变为max Z = cx1 + dx2,讨论 的值如何变化，使该问题 讨论c,d的值如何变化 的值如何变化， 可行域的每个顶点依次使目标函数达到最优。 可行域的每个顶点依次使目标函数达到最优。 得到最终单纯形表如下： 解：得到最终单纯形表如下： Cj→ c d 0 0 CB 基 b x1 x2 x3 x4 d c x2 x1 σj 3/ 2 1 0 1 0 1 0 0 5/14 -2/14 5/14d+2/1 -3/4 10/35 3/14d- 14 School of Management 10/14c

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第一章习题解答当 c/d在 3/10到 5/2之间时最优解为图中 在 到 之间时最优解为图中 大于5/2且 大于

等于 大于等于0时最优解 的 A点 ； 当 c/d大于 且 c大于等于 时最优解 点 大于 为图中的B点 小于3/10且d大于 时最优 大于0时最优 为图中的 点；当c/d小于 小于 且 大于 解为图中的C点 ； 当 c/d大于 且 c小于等于 解为图中的 点 大于5/2且 小于等于0 大于 小于等于 时或当c/d小于 小于3/10且 d小于 时最优解为图中 小于0时最优解为图中 时或当 小于 且 小于 的原点。 的原点。

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第一章习题解答l.6 考虑下述线性规划问题： 考虑下述线性规划问题：

max Z = c1 x1 + c 2 x 2 a11 x1 + a12 x 2 ≤ b1 st . a 21 x1 + a 22 x 2 ≤ b2 x1 , x 2 ≥ 0

式中， ≤ 式中，1≤c1≤3, 4≤c2≤6, -1≤a11≤3, ≤ ≤ 2≤a12≤5, 8≤b1≤12, 2≤a21≤5, 4≤a22≤6, ≤ ≤ ≤ ≤ 10≤b2≤14,试确定目标函数最优值的下界和 ≤ 试确定目标函数最优值的下界和 上界。 上界。page 16 4 September 2011 16

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第一章习题解答取大， 取小 取小) 解：上界对应的模型如下(c,b取大，a取小) 上界对应的模型如下( 取大

max Z = 3 x1 + 6 x 2 1 x1 + 2 x 2 ≤ 12 st . 2 x1 + 4 x 2 ≤ 14 x1 , x 2 ≥ 0

最优值(上界) 最优值(上界)为：21

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第一章习题解答取小， 取大 取大) 解：下界对应的模型如下( c,b取小，a取大) 下界对应的模型如下( 取小

max Z = x1 + 4 x 2 3 x1 + 5 x 2 ≤ 8 st . 4 x1 + 6 x 2 ≤ 10 x ,x ≥ 0 1 2

最优值(下界) 最优值(下界)为：6.4

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第一章习题解答分别用单纯形法中的大M l.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶 段法求解下列线性规划问题，并指出属哪—类 段法求解下列线性规划问题，并指出属哪 类 解。 max Z = 3x x + 2x x1 + x2 + x3 ≥ 6 2 x + x ≥ 2 (1) 1 3 st 2x2 x3 = 0 x j ≥ 0, j = 1,L,3) ( 该题是无界解。1 2 3

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第一章习题解答min Z = 2 x1 + 3x2 + x3 x1 + 4 x2 + 2x3 ≥ 8 (2) st. 3x1 + 2x2 ≥ 6 x , x ≥ 0 1 2 该题是无穷多最优解。 9 4 最优解之一： 1 = , x2 = , x3 = 0, Z = 6 x 5 5

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第一章习题解答max Z = 4 x1 + x2 3x1 + x2 = 3 4x + 3x x = 6 (3) 1 2 3 st x1 + 2 x2 + x4 = 4 x j ≥ 0, j = 1,L,4) ( 该题是唯一最优解： 2 9 17 x1 = , x2 = , x3 = 1, x4 = 0, Z = 5 5 5

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