高中数学选修2-3知识点整理复习资料（内含多套整理资料适用于高

第二章 概率 总结

一、知识结构

随机变量 条件概率 超几何分布 离散型随机变量 二项分布 数学期望 方差 正态分布 事件的独立性 连续性随机变量 离散型随机变量的数字特征 二、知识点

1.随机试验的特点:

①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

2.分类 随机变量

（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。）

离散型随机变量

连续型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间在上面的射击、产品检验等例子中，对于随

内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变

机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一

量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.

一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变

量．

1

3.离散型随机变量的分布列

一般的,设离散型随机变量X可能取的值为 x1,x2, ,xi , ,xn

X取每一个值 xi(i=1,2, ）的概率 P(ξ=xi）＝Pi，则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

性质：

① pi≥0, i =1，2， … ； ② p1 + p2 +…+pn= 1．

③ 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

4.求离散型随机变量分布列的解题步骤

例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.

解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值” ，依题可知，X可能的取值为：1,0 且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3 因此所求分布列为：

引出

二点分布 如果随机变量X的分布列为： 其中0

二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等. 2

超几何分布

一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

kn?kCMCN?M(k?0,1,2,则它取值为k时的概率为P(X?k)?nCN,m)，其中m?min?M,n?,

且n≤N,M≤N,n,M,N?N 则称随机变量X的分布列

*CCC0MnN?MnNCCC1Mn?1N?MnNCCCmMn?mN?MnN

为超几何分布列,且称随机变量X服从参数N、M、n的超几何分布

注意：

（1）超几何分布的模型是不放回抽样；

（2）超几何分布中的参数是N、M、n，其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量

解题步骤：

例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率

解：设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布,其中N?30,M?10,n?5 X可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少

摸

到

3

个

红

球

的

概

率

为

324150C10C20C10C20C10C20??P(X≥3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)? ≈0.191555C30C30C30

答：中奖概率为0.191.

3

条件概率

1.定义：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率

2.事件的交（积）:由事件A和事件B同时发生所构成的事件D，称为事件A与事件B的交（或积作D=A∩B或D=AB 3.条件概率计算公式: P(AB) P(B|A)?,P(A)?0.P(A)

P(B|A)相当于把A看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率: 在A发生的条件下B包含的样本点数 P(B|A)?公在A发生的条件下样本点数 式 推AB包含的样本点数AB包含的样本点数/总数 ??导A包含的样本点数/总数A包含的样本点数 过程 P(AB) ? P(A) 若P(A)?0，则P(AB)?P(B|A)?P(A)（乘法公式）；

0?P(B|A)?1.

解题步骤：

例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.

解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，

C321

?P(AB)?2?.

C 15 10

3P(A)?.10 所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9.

4

相互独立事件

1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立

说明（1）判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A（或B）发生与否对B（或A） 发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立. （2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另 一事件发生的概率没影响. （3）如果A、B是相互独立事件，则A的补集与B的补集、A与B的补集、A的补集与 也都相互独立.

说明（1）使用时，2.相互独立事件同时发生的概率公式

使用的前提条件； 两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有

（2）此公式可作为

事件是否相互独立

P(A?B)?P(A)?P(B)论依据，

P(A·B)=P(A) · P(B)是如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，

B相互独立的充要条等于每个事件发生的概率的积。即：

P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P(An)

3.两事件是否互为独立事件的判断与证明

则称A，B相互独立

4.解题步骤

例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？

答：不是，因为件A发生时（即第一个取到白球），事件B的概率P（B）=1/3，而当事件A不发 生时（即第一个取到的是黑球），事件B发生的概率P（B）=2/3，也就是说，事件A发生与否影响到事件B发生的概率，所以A与B不是相互独立事件。 证明：由题可知， P(B|A) =1/3，

P(B|A的补集)=2/3

因为 P(B|A)≠P(B|A的补集) 所以 A与B不是相互独立事件

P(AB)?P(A)P(B)

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独立重复试验

1.定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 2.说明：

①这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中的概率都是一样的

②每次试验是在同样条件下进行；

③每次试验间又是相互独立的，互不影响.

前提

二项分布

1.引入:一般地，如果在1次实验中某事件A发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 (k)?Ckpk(1?p)n?kPnn

P(A) Pn(k)是[(1-P)+P]n的通项公式，所以也把上式叫做二项分布公式.

2.二项分布定义：

设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

kkn?kpq（其中 k=0,1, ,n，q=1-p ） P(??k)?CnCpq

0n0n 11n?1Cnpq kkn?kCnpq nn0Cnpq 1n?11r n?rrnnnCpq 由于

knkn?k?????Cab???Cb恰好是二项展开式 (a?b)CaCab0nnnnn

中的第 k+1 项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中

n，p为参数， 并记：

kkn?kC?B(k;n,p) npq

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3.解题步骤

例题、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布． 解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)． ∴P(ξ

=0)= C 2(95%)2=0.9025，

01

P(ξ=1)= (5%)(95%)=0.095， C 22 P(ξ=2)= C 2(5%)2=0.0025．

因此，次品数ξ的概率分布是

ξ P

0

0.9025

1

0.095

2

0.0025

几何分布

1.定义：

在独立重复试验中，某事件A第一次发生时所作的试验次数ξ也是一个取值为正整数的随机变量。 “ξ =k”表示在第k次独立重复试验时事件A第一次发生。如果把第k次实验时事件A发生记为Ak， p( Ak)=p，事件A不发生记为 A k ，P( A k )=q(q=1-p)，那么

P(??k)?P(A1?A2?A3???AK?1?Ak)?P(A1)?P(A2)?P(A3)???P(AK?1)?P(Ak)k?1k?1?(1?p)?p?q?p

（k=0,1,2…,q=1-p.）

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ 1 2 3 … k …

pq2 … pqk-1 … P p pq

称ξ服从几何分布，并记g(k,p)=p·qk-1

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离散型随机变量的期望和方差

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量 说明：（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，则有p1=p2=…=pn = ，Eξ=(x1+x2+…+xn) ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

（3）随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽取；后者是一个随机变量.

Dξ=（x1-Eξ)2·P1+ （x2-Eξ)2·P2 + … + （xn-Eξ)2·Pn + … =E(ξ-Eξ)2=Eξ2—（Eξ叫随机变量ξ的均方差，简称方差。 说明：

①、D ξ的算术平方根√Dξ—— 随机变量ξ的标准差，记作σξ； ②、标准差与随机变量的单位相同；

③、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。

集中分布的期望与方差一览

两点分布 超几何分布

期望

方差

Dξ=pq，q=1-p

D（X）=np（1-p）* （N-n）/（N-1）

Eξ=p

ME??n?

N?服从参数为N,M,n的超几何分布

二项分布

ξ ～ B（n,p） 几何分布

p(ξ=k)=g(k，p)

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Eξ=np 1/p

不要求

Dξ=qEξ=npq，

q=1-p

D??q p2正态分布 连续型随机变量

若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线． 概率密度曲线 频率 组距 总体在区间 内取值的概 a b 概率密度曲线的形状特征:中间高，两头低 产品尺寸（mm）

(正态分布

若概率密度曲线就是或近似地是函数

f(x)?

1e2??(x??)2?2?2,x?(??,??)的图像，

其中解析式中的实数?、?(??0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 则其分布叫正态分布，记作

f( x )的图象称为正态曲线

N(?,?)2E???,D???2

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基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．

②曲线关于直线x=?对称，且在x=?时位于最高点.

③当时x??，曲线上升；当时x??，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当?一定时，曲线的形状由?确定．?越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． ⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于1.

3?原则

(???,???) (??2?,??2?) (??3?,??3?) 从上表看到,正态总体在 (??2?,??2?) 以外取值的概率 只有4.6%,在 (??3?,??3?)以外取

值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

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高中数学 选修2－3知识点

第一章 计数原理 知识点：

1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。

3、排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元．．．．．．素中取出m个元素的一个排列 4、排列数：

Am?n(n?1)?(n?m?1)?n!(m?n,n,m?N)

(n?m)!5、组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

mAm)1?(n(??1)1)mmn!n!An1?)?nm?m?nnn(n(?6、组合数：CC??mm??CC??nnm!m!(nAmm!m!(?nm?)!m )!Am

mmnn

m?1mmn?mCmn?Cn; Cn?Cn?Cn?1

n0n1n?12n?22rn?rrnn (a?b)?Ca?Cab?Cab?…?Cab?…?Cbnnnnn7、二项式定理：

rn?rr8、二项式通项公式 展开式的通项公式：T?Cab(r?0，1……n)r?1n

第二章 随机变量及其分布 知识点：

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn

X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

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4、分布列性质① pi≥0, i =1，2， … ；② p1 + p2 +…+pn= 1．

5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：

其中0

6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，

kn?kCMCN?M则它取值为k时的概率为P(X?k)?(k?0,1,2,nCN,m)，

nM(必记忆) N其中m?min?M,n?,且n≤N,M≤N,n,M,N?N*E(?)?2.条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率 3.公式：

P(AB)P(B|A)?,P(A)?0.P(A) 4.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做

相互独立事件。P(A?B)?P(A)?P(B)

5.n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立

kkn?k?Cpq（其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ） P(??k)n重复试验中

于是可得随机变量ξ的概率分布如下：

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数

12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。

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13、方差:D(ξ)=(x1-Eξ)2·P1+（x2-Eξ)2·P2 +......+（xn-Eξ)2·Pn 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览：

两点分布 二项分布，ξ ～ B（n,p） 15、正态分布：

若概率密度曲线就是或近似地是函数

期望 方差 Dξ=pq，q=1-p Dξ=qEξ=npq，（q=1-p） Eξ=p Eξ=np f(x)?

1e2??(x??)2?2?2,x?(??,??)

（??0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式中的实数?、?则其分布叫正态分布记作：N(?,?)，f( x )的图象称为正态曲线。 16、基本性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交． ②曲线关于直线x=?对称，且在x=

?时位于最高点.

③当时x??，曲线上升；当时x??，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．

④当?一定时，曲线的形状由?确定．?越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；?越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．

⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.

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⑥正态曲线下的总面积等于1. 17、 3?原则：

从上表看到,正态总体在 (??2?,??2?) 以外取值的概率 只有4.6%,在 (??3?,??3?)以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

1．某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可以继续参加科目B 的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合格的概率均为率均为

2，每次考科目B成绩合格的概31。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加2考试的次数为X。

(1)求X的分布列和均值；

(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。

2.济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设?表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。

（1）求?=0对应的事件的概率； （2）求?的分布列及数学期望。 3. 袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。

（1）随机从中取出2个球，?表示其中红球的个数，求?的分布列及均值。

（2）现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，第一个奖100元，第二个奖200元，…，第k个奖k?100元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球，按照这种规则，取球多少次比较适宜？说明理由。

第三章 统计案例 知识点：

1、独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2}，其样本频数列联表为： x1 x2 总计

y1 a c a+c

y2 b d b+d

总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K的平方） K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。

K2≤3.841时，X与Y无关； K2>3.841时，X与Y有95%可能性有关；K2>6.635时X与Y有99%可能性有关

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2、回归分析

??a?bx 回归直线方程y1x?y?n 其中b??1?x2?n(?x2)

?xy?SP?(x?x)(y?y),

a?y?bx ?SS?(x?x)2x

复习课(一) 计数原理对应学生用书P48

两个计数原理

(1)两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等．

(2)运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．

[考点精要] 计数原理

(1)分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋nm； (2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·nm．

[典例] 如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有( )

A．180种 C．360种

B．240种 D．420种

[解析] 由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色．

①当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A35种方案． ②当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A45种方案． ③当用五种颜色时有A55种方案．

45

因此所有栽种方案为A35＋2A5＋A5＝420(种)．

15

[答案] D [类题通法]

使用两个原理解决问题时应注意的问题

(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．

(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．

[题组训练]

1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )

A．24种 C．12种

B．18种 D．6种

解析：选B 法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．

法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．

2．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有________种．

解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．

答案：39

排列与组合应用问题

(1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查．

(2)解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则

①特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则．

②先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．

③正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则．

④先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．

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[考点精要]

1．排列与组合的概念

名称 排列 组合

2．排列数与组合数的概念

名称 排列数 组合数

3．排列数与组合数公式 (1)排列数公式

①Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)＝(2)组合数公式

n?n－1??n－2?…?n－m＋1?n！Amnm

Cn＝m＝＝．

Amm！m！?n－m?！4．组合数的性质

n

(1)Cmn＝Cn

－m

定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 合成一组 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同 排列的个数 组合的个数 n！

；②An． n＝n！?n－m?！

m1m

；(2)Cn＋Cm＝Cn＋1． n

－

[典例] (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! C．(3！)4

B．3×(3！)3 D．9!

(2)(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )

A．72 C．144

B．120 D．168

(3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )

A．9 C．12

B．14 D．15

[解析] (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．

3

(2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A4＝144，其中3个歌舞类节23

目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A2A3＝24，因此满足题意的排法种数为144

17

－24＝120，选B．

(3)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C44种选法；第二类张、王两同

1313

学中只有1人参加，有C2C4种选法．故共有C44＋C2C4＝9种选法．

4

法二：(间接法)C6－C24＝9种．

[答案] (1)C (2)B (3)A [类题通法]

排列与组合综合问题的常见类型及解题策略

(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．

(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．

(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．

[题组训练]

1．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( )

A．12 C．36

B．24 D．48

解析：选B 2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所

22

以这5盆花的不同摆放共有A22A2A3＝24种．

2．某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为( )

A．720 C．600

B．520 D．360

34

解析：选C 根据题意，分2种情况讨论．①只有甲乙其中一人参加，有C12C5A4＝480种情242232

况；②若甲乙两人都参加，有C22C5A4＝240种情况，其中甲乙相邻的有C2C5A3A2＝120种情况，

不同的排法种数为480＋240－120＝600种，故选C．

二项式定理及应用

(1)求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以选择题、填空题形式考查，难度中低档．

(2)解决此类问题常遵循“知四求一”的原则

在二项式的通项公式中共含有a, b，n，k，Tk＋1这五个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这5个元素中

18

的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素． 这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组)． 这里要注意n为正整数，k为自然数，且k≤n．

[考点精要]

1．二项式定理 二项式定理 二项式系数 二项式通项 2．二项式系数的性质

n1n1(a＋b)n＝C0b＋…＋ na＋Cna－nkkn*Ckb＋…＋Cnnanb(n∈N) －二项展开式中各项系数Crn(r＝0,1，…，n) nrrTr＋1＝Crb，它表示第r＋1项 na－

[典例] (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( ) A．－4 C．－2

B．－3 D．－1

＋1

(2)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m

数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )

A．5 C．7

B．6 D．8

展开式的二项式系

(3)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．

1

[解析] (1)展开式中含x2的系数为C25＋aC5＝5，解得a＝－1，故选D． m(2)由题意得：a＝Cm2m，b＝C2m＋1， mm所以13C2m＝7C2m＋1，

∴∴

13·?2m?！7·?2m＋1?！

＝，

m！·m！m！·?m＋1?！

7?2m＋1?

＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B．

m＋1

(3)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0． [答案] (1)D (2)B (3)0

19

[类题通法]

求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可． (2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．

(3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．

[题组训练]

1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( ) A．30 C．15

B．20 D．10

解析：选C 只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C26＝15，故选C．

2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( ) A．9 C．6

B．8 D．5

解析：选B 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，∴a0＋a2＋a4＝8．

?3?1．设二项式?3x＋?n的展开式各项系数的和为a，所有二项式系数的和为b，若a＋2b＝80，

x

?

?

则n的值为( )

A．8 C．3

B．4 D．2

解析：选C 由题意a＝4n，b＝2n，∵a＋2b＝80， ∴4n＋2×2n－80＝0，

即(2n)2＋2×2n－80＝0，解得n＝3．

2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有( ) A．63种 C．8种

B．31种 D．7种

23

解析：选D 由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C1 3＋C3＋C3＝7(种)．

3．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )

A．A34种

3C．C24A3种

1

B．A33A3种 13 D．C14C3A3种

20

解析：选C 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民

3

家，故有C24A3种．

4．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A．5 C．2

B．3 D．0

05

解析：选A 常数项为C222·C5＝4，x7系数为C0C5因此x7系数与常数项之差2·2·5(－1)＝－1，

的绝对值为5．

1

x2－?6的展开式中，常数项是( ) 5．?2x??5A．－

4C．－

15 16

5B． 415D．

16

1126－r?12－13r－?r＝?－?rCr解析：选D Tr＋1＝Crx，令12－3r＝0，解得r＝4． 6(x)6?2x??2?115－?4C4∴常数项为?＝．故选D． 6?2?16

6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )

A．10种 C．36种

B．20种 D．52种

1

解析：选A 分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C4＝4种放球方

法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C24＝6种放球方法．

2∴共有C14＋C4＝10种不同的放球方法．

7．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________．

解析：不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝

2

C25(－1)＝10．

答案：10

8．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)

1

解析：由已知条件可得第1块地有C2种种植方法，则第2～4块地共有A35种种植方法，由分3

步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C12A5＝120种．

答案：120

9．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相

21

邻，则不同的摆法有________种．

4

解析：将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A4种摆法，4

共有A22A4＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种

情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36种．

答案：36

10．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，求a0＋a1＋2a2＋3a3的值． 解：由(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3

30121203

＝C0(x＋2)]1(－1)2＋C33[2(x＋2)](－1)＋C3[2(x＋2)](－1)＋C3[2·3[2(x＋2)](－1)

＝8(x＋2)3－12(x＋2)2＋6(x＋2)－1 ＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3． 则a0＝－1，a1＝6，a2＝－12，a3＝8． 则a0＋a1＋2a2＋3a3＝5．

11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中． (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？

解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C3 6＝20种不同的放入方式．

(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个

3

位置中选3个位置安排隔板，故共有C10＝120种放入方式．

312．已知(x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992． (1)求展开式中二项式系数的最大项； (2)求展开式中系数最大的项．

解：(1)令x＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n＝4n， 展开式中各项的二项式系数之和为2n． 由题意，知4n－2n＝992．

∴(2n)2－2n－992＝0．∴(2n＋31)(2n－32)＝0． ∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5． 由于n＝5为奇数，

∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是 22223322

T3＝C5(x)(3x2)2＝90x6，T4＝C5(x)(3x2)3＝270x．

3332－104rr

(2)展开式通项公式为Tr＋1＝Cr(x)5r(x2)r＝Cr3r·x＋． 53·5·333

22

rrr1r1?3，?C53≥C5·?假设Tr＋1项系数最大，则有rr r＋1r＋1?C53≥C5·3，?

－

－

5！5！

×3≥???5－r?！r！?6－r?！?r－1?！，∴?5！5！

≥???5－r?！r！?4－r?！?r＋1?！×3.

?

∴?13

≥?5－rr＋1.

31≥r6－r，

79∴≤r≤． 22

∵r∈N*，∴r＝4．

104×426

∴展开式中系数最大项为T5＝C434·x＋＝405x． 5·333

复习课(二) 随机变量及其分布对应学生用书P50

条件概率

(1)在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现，一般以选择题或填空题形式考查，难度中低档．

(2)条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．

[考点精要] 条件概率的性质

(1)非负性：0≤P(B|A)≤1．

(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

[典例] 口袋中有2个白球和4个红球， 现从中随机地不放回连续抽取两次， 每次抽取1个， 则：

(1)第一次取出的是红球的概率是多少？

(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？

(3)在第一次取出红球的条件下， 第二次取出的是红球的概率是多少？ [解] 记事件A：第一次取出的是红球； 事件B：第二次取出的是红球．

(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个， 所有基本事件共6×5个； 第一次取出的是红球， 第二次是其余5个球中的任一个， 符合条件的有4×5个， 所以

23

4×52P(A)＝＝．

6×53

(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第4×3

二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P(AB)＝＝6×52． 5

2

P?AB?53

(3)利用条件概率的计算公式，可得P(B|A)＝＝＝．

P?A?25

3[类题通法]

条件概率的两个求解策略

P?AB?P?AB?

(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝或P(B|A)＝求解．

P?B?P?A?n?AB?

(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．

n?A?其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．

[题组训练]

1．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．

解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意

2

知n(A)＝C39＝84，n(AB)＝C4＝6，∴P(B|A)＝

n?AB?61

＝＝． n?A?8414

答案：

1 14

2．已知男人中有5%患色盲，女人中有0．25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．

(1)求此人患色盲的概率．

(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式)．

解：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C．

(1)此人患色盲的概率

P＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B) ＝

10051000.2521×＋×＝． 200100200100800

521，又因为P(C)＝， 200800

24

(2)由(1)得P(AC)＝

5

P?AC?20020

所以P(A|C)＝＝＝．

2121P?C?

800

相互独立事件的概率与二项分布

(1)相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，高考经常考查，各种题型均有可能出现，难度中低档． 而二项分布也是高考考查的重点，高考以大题为主，有时也以选择、填空题形式考查．

(2)解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．

[考点精要]

(1)若事件A与B相互独立， 则事件A与B，A与B，A与B分别相互独立， 且有P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)．

(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

(3)在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，

knk

那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ck，k＝0,1,2，…，np(1－p)

－

n．

(4)二项分布满足的条件

与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定： ①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．

③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．

43

[典例] 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选

557

的概率为．

10

(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．

[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C， 437

则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．

5510(1)∵A，B，C相互独立， ∴ 恰有一名同学当选的概率为

25

P(A·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·B·C)

＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C) 42313312747＝××＋××＋××＝． 551055105510250(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC) 43783

＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－××＝．

5510125[类题通法]

求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题

(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．

(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P(A＋B)＝1－P(AB) ”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．

[题组训练]

1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．

155

解析：用间接法考虑，事件A，B一个都不发生的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝，

2612则事件A，B中至少有一件发生的概率 P＝1－P(AB)＝答案：

7 12

7． 12

2．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命2中的概率都是．

3

(1)求油罐被引爆的概率；

(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．

解：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为：

2?1?4?1?5

P＝C1·＋， 5·3?3??3?所以所求的概率为

12?1?4?1?5?＝232． C5··＋1－P＝1－??3?3??3??243

26

(2)当ξ＝4时记事件A， 2?1?224则P(A)＝C1． 3··3·＝3??327

当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B． 2?1?3?1?41则P(B)＝C14··3＋3＝， 3????9所以所求概率为： P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝

417＋＝． 27927

离散型随机变量的期望与方差

(1)离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，是高考的一个热点问题，多与概率统计结合考查，难度中高档．

(2)期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题数学化，然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质，如E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．

[考点精要]

(1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算． (2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布)． (3)注意期望与方差的性质．

(4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达．

[典例] (全国乙卷)某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0．5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪

27

个？

[解] (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0．2,0．4,0．2,0．2．

从而P(X＝16)＝0．2×0．2＝0．04； P(X＝17)＝2×0．2×0．4＝0．16；

P(X＝18)＝2×0．2×0．2＋0．4×0．4＝0．24； P(X＝19)＝2×0．2×0．2＋2×0．4×0．2＝0．24； P(X＝20)＝2×0．2×0．4＋0．2×0．2＝0．2； P(X＝21)＝2×0．2×0．2＝0．08； P(X＝22)＝0．2×0．2＝0．04． 所以X的分布列为

X P

(2)由(1)知P(X≤18)＝0．44，P(X≤19)＝0．68， 故n的最小值为19．

(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n＝19时，

E(Y)＝19×200×0．68＋(19×200＋500)×0．2＋(19×200＋2×500)×0．08＋(19×200＋3×500)×0．04＝4 040；

当n＝20时，

E(Y)＝20×200×0．88＋(20×200＋500)×0．08＋(20×200＋2×500)×0．04＝4 080． 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19． [类题通法]

求离散型随机变量X的期望与方差的步骤

(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列；

(4)由分布列和期望的定义求出E(X)；

(5)由方差的定义， 求D(X), 若X～B(n，p), 则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

[题组训练]

1．一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数

28

16 17 18 19 20 21 22 0．04 0．16 0．24 0．24 0．2 0．08 0．04 字与最大的数字分别为X，Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝________．

解析：由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X＝Y，ξ＝1表示X＝1，Y＝2或X＝2，Y＝3；2×2×3431

ξ＝2表示X＝1，Y＝3． ∴P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝＝，

39339

2×3＋A3414443

P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝． 33999934

答案：

3

2．一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)．

(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列．

(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ)． 解：(1)由已知，随机变量η的取值为：2,3,4,5,6． 投掷一次正方体骰子所得点数为X，则 111

P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，

632111

即P(η＝2)＝×＝，

6636111

P(η＝3)＝2××＝，

63911115P(η＝4)＝2××＋×＝，

623318111

P(η＝5)＝2××＝，

323111P(η＝6)＝×＝．

224故η的分布列为

P η 2 1 363 1 94 5 185 1 36 1 41

(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p＝，

4110，?， 因为随机变量ξ～B?4??

151315

所以E(ξ)＝np＝10×＝，D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝．

42448

正态分布

(1)高考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，在大题中主要以条件或一

29

问呈现，难度中档．

(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．

[考点精要]

正态变量在三个特殊区间内取值的概率

(1)P(μ－σ

[典例] 已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0．023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A．0．447 C．0．954

B．0．628 D．0．977

[解析] ∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0，σ2)， ∴正态曲线关于x＝0对称．又P(ξ＞2)＝0．023，

∴P(ξ＜－2)＝0．023．∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0．023＝0．954． [答案] C [类题通法]

根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点

(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；

(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0．5；

(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．

[题组训练]

1．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于( ) 1A．p

2

1

C．1－2p D．－p

2

解析：选D 由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由标准正态分布图象可得P(－1<ξ<1)＝111

－2P(ξ>1)＝1－2p． 故P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝－p．

22

2．已知X～N(μ，σ2)，且P(X＞0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________．

解析：∵P(X＞0)＋P(X≥－4)＝1，又∵P(X＜－4)＋P(X≥－4)＝1，∴P(X＞0)＝P(X＜－4)，又0与－4关于x＝－2对称，∴曲线关于x＝－2对称，即μ＝－2．

答案：－2

30

B．1－p

1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则 “ξ＝5” 表示的试验结果是( )

A．第5次击中目标 C．前4次未击中目标

B．第5次未击中目标 D．第4次击中目标

解析：选C 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C．

1

2．甲击中目标的概率是，如果击中赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的

2均值为( )

A．0．5分 C．1分

B．－0．5分 D．5分

111

解析：选B E(X)＝10×＋(－11)×＝－．

222

3．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列，则有结论( )

工人 废品数 概率

A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B．乙的产品质量比甲的质量好一些 C．两人的产品质量一样好 D．无法判断谁的质量好一些

解析：选B ∵E(X甲)＝0×0．4＋1×0．3＋2×0．2＋3×0．1＝1，E(X乙)＝0×0．3＋1×0．5＋2×0．2＋3×0＝0．9．∵E(X甲)＞E(X乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．

4．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为( )

11A． B． 3255C． D．

3612

解析：选D 记事件A为“ 蓝骰子的点数为3或6”，A发生时红骰子的点数可以为1到6中任意一个，n(A)＝12，记B：“两颗骰子点数之和大于8”，则AB包含(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，n?AB?5

(6,6)5种情况，所以P(B|A)＝＝．

n?A?12

31

甲 0 1 2 3 0 1 乙 2 3 0 0．4 0．3 0．2 0．1 0．3 0．5 0．2 5．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为( )

X P

11A． B． 3411C． D． 68

91

解析：选A 由Y＝12X＋7，得E(Y)＝12E(X)＋7＝34，从而E(X)＝．∴E(X)＝1×＋2m

44＋3n＋4×

1951121

＝，即2m＋3n＝，m＋n＝1－－＝，解得m＝． 124341233

1 1 42 m 3 n 4 1 126．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0．6,0．5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )

A．0．45 C．0．65

B．0．6 D．0．75

解析：选D 令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0．6，P(B)＝0．5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P(A)P(B)＝1－0．4×0．5＝0．8，所以P(A|C)＝

P?AC?0.6

＝＝0．75． P?C?0.8

7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________．

31

C4134＋C4C3

解析：P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝． 4C735

13

答案：

35

8．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p．若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________．

解析：因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，2

所以E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝．

3

2

答案：

3

1

9．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概

51

率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相

4

32

互之间没有影响)________．

1

解析：设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝，P(B)

51433

＝．又A，B相互独立，则A，B也相互独立，则P(A B)＝P(A)P(B)＝×＝，故至45452少有一项合格的概率为P＝1－P(A B)＝．

5

2

答案：

5

10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0．5，0．6,0．9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．

(1)求该应聘者用方案一通过的概率； (2)求该应聘者用方案二通过的概率．

解：记“应聘者对三门考试及格的事件”分别为A，B，C．P(A)＝0．5，P(B)＝0．6，P(C)＝0．9．

(1)该应聘者用方案一通过的概率是P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC) ＝0．5×0．6×0．1＋0．5×0．6×0．9＋0．5×0．4×0．9＋0．5×0．6×0．9 ＝0．03＋0．27＋0．18＋0．27＝0．75． (2)应聘者用方案二通过的概率 111

P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)

333

11＝(0．5×0．6＋0．6×0．9＋0．5×0．9)＝×1．29＝0．43． 33

11．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开1112

的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超4623过3小时．

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)． 解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元， 111

两人都付0元的概率为P1＝×＝，

4624

33

121

两人都付40元的概率为P2＝×＝，

233

11121111－－?×?1－－?＝×＝， 两人都付80元的概率为P3＝??42??63?4624则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝

1115

＋＋＝． 2432412

(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160． 111

P(ξ＝0)＝×＝，

462412111

P(ξ＝40)＝×＋×＝，

432641112115

P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，

4623461211121

P(ξ＝120)＝×＋×＝，

26434111

P(ξ＝160)＝×＝，

4624ξ的分布列为

ξ P

11511

E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80．

24412424

12．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

0 1 2440 1 480 5 12120 1 4160 1 24

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．

①利用该正态分布，求P(187．8

34

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187．8,212．2)的产品件数．利用①的结果，求EX．

附：150≈12．2．

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

s2＝(－30)2×0．02＋(－20)2×0．09＋(－10)2×0．22＋0×0．33＋102×0．24＋202×0．08＋302×0．02＝150．

(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187．8

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187．8，212．2)的概率为0．682 6，依题意知X～B(100,0．682 6)，所以EX＝100×0．682 6＝68．26．

复习课(三) 统计案例

回归分析 (1)变量间的相关关系是高考解答题命题的一个，主要考查变量间相关关系的判断，求解回归方程并进行预报估计，题型多为解答题，有时也有小题出现．

(2)掌握回归分析的步骤的是解答此类问题的关键，另外要掌握将两种非线性回归模型转化为线性回归分析求解问题．

[考点精要]

1．一个重要方程

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其线性回归直线方程为^^^y＝bx＋a．

^其中b＝

i＝1

? ?xi－x??yi－y?

? ?xi－x?2

n

n

^^

，a＝y－bx．

i＝1

2．重要参数

相关指数R2是用来刻画回归模型的回归效果的，其值越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好．

3．两种重要图形 (1)散点图：

35

散点图是进行线性回归分析的主要手段，其作用如下：

一是判断两个变量是否具有线性相关关系，如果样本点呈条状分布，则可以断定两个变量有较好的线性相关关系；

二是判断样本中是否存在异常． (2)残差图：

残差图可以用来判断模型的拟合效果，其作用如下：

一是判断模型的精度，残差点所分布的带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．

二是确认样本点在采集中是否有人为的错误．

[典例] (全国卷Ⅲ)如图是我国2008年到2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0．01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：

参考数据：?yi＝9．32，?tiyi＝40．17,

i＝1

i＝1

7

7

i＝1

? ?yi－y?2＝0．55，7≈2．646．

7

i＝1

? ?ti－t??yi－y?

，

n

参考公式：相关系数r＝

n

n

i＝1

i＝1

? ?ti－t?2? ?yi－y?2

n

^^^^

回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝

i＝1

? ?ti－t??yi－y?

^

，a＝y

i＝1

? ?ti－t?2

n

^

－bt．

[解] (1)由折线图中数据和附注中参考数据得

36

t＝4，? (ti－t)＝28,

i＝1

7

2

i＝1

? ?yi－y?2＝0．55，

7

7

i＝1

? (ti－t)(yi－y)＝?tiyi－t?yi＝40．17－4×9．32＝2．89，

i＝1

i＝1

77

r≈

2.89

≈0．99．

2×2.646×0.55

因为y与t的相关系数近似为0．99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

9.32

(2)由y＝≈1．331及(1)得

7

^b＝

i＝1

? ?ti－t??yi－y?

＝i＝1

7

? ?ti－t?2

7

2.89

≈0．103， 28

^^

a＝y－bt≈1．331－0．103×4≈0．92． ^

所以y关于t的回归方程为y＝0．92＋0．10t． 将2016年对应的t＝9代入回归方程得 ^

y＝0．92＋0．10×9＝1．82．

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1．82亿吨． [类题通法]

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并且用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关指数R2来检查模型的拟合效果，从而得到最佳模型．

[题组训练]

1．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11．3,2)，(11．8,3)，(12．5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11．3,4)，(11．8,3)，(12．5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )

A．r2

B．0

解析：选C 画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1>0，U与V是负相关，相关系数r2<0，故选C．

2．寒假中， 某同学为组织一次爱心捐款， 在网上给网友发了张帖子， 并号召网友转发，

37

下表是发帖后一段时间收到帖子的人数统计：

天数x 人数y

(1)作出散点图，并猜测x与y之间的关系． (2)建立x与y的关系， 预报回归模型．

(3)如果此人打算在帖子传播10天时进行募捐活动， 根据上述回归模型， 估计可去多少人． 解：(1)画出散点图如图所示．

1 7 2 11 3 21 4 24 5 66 6 115 7 325

从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系， 同时可发现样本点分布在某一个函数曲线y＝kemx的周围， 其中k, m是参数．

(2)对y＝kemx两边取对数，把指数关系变成线性关系． 令z＝ln y，则变换后的样本点分布在直线z＝bx＋a(a＝ln k, b＝m)的周围， 这样就可以利用线性回归模型来建立x与y之间的非线性回归方程了， 数据可以转化为：

天数x 人数的 对数z ^

求得回归直线方程为z＝0．620x＋1．133， ^＋

所以y＝e0．620x1．133．

^×＋

(3)当x＝10, 此时y＝e0．620101．133≈1 530(人)． 所以估计可去1 530人．

独立性检验

(1)近几年高考中对独立性检验的考查频率有所降低，题目多以解答题形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．

(2)独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系” 成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过概率P(K2≥6．635)≈0．01来评

38

1 2 3 4 5 6 7 1．946 2．398 3．045 3．178 4．190 4．745 5．784 价该假设不合理的程度，由实际计算出的k>6．635，说明该假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度约为99%．

[考点精要]

在实际问题中常用的几个数值

(1)K2≥6．635表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0．01． (2)K2≥3．841表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0．05． (3)K2≥2．706表示认为“X与Y有关系”犯错误的概率不超过0．1．

[典例] 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食为肉类为主．)

(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯． (2)根据以上数据完成如表所示的2×2列联表．

50岁以下 50岁以上 总计

(3)在犯错误的概率不超过0．01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？ [解] (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主． (2)2×2列联表如表所示：

50岁以下 50岁以上 总计 2

主食蔬菜 主食肉类 总计 主食蔬菜 4 16 20 主食肉类 8 2 10 总计 12 18 30 30×?8－128?230×120×120(3)随机变量K的观测值k＝＝＝10>6．635，

12×18×20×1012×18×20×10故在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．

39

[类题通法]

独立性检验问题的求解策略

(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．

(2)K2统计量法：通过公式 n?ad－bc?2

K＝ ?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

2

先计算观测值k，再与临界值表作比较，最后得出结论．

[题组训练]

1．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：

干净水 不干净水 总计

(1)能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关，请说明理由．

(2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析能否在犯错误概率不超过0．025的前提下认为这种疾病与饮用水有关．

解：(1)把表中的数据代入公式得

830×?52×218－466×94?2

K的观测值k＝≈54．21．

146×684×518×312

2

得病 52 94 146 不得病 466 218 684 总计 518 312 830 ∵54．21＞6．635，

所以在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为该地区这种传染病与饮用水不干净有关． (2)依题意得2×2列联表：

干净水 不干净水 总计

86×?5×22－50×9?2

此时，K的观测值k＝≈5．785．

14×72×55×31

2

得病 5 9 14 不得病 50 22 72 总计 55 31 86 因为5．785＞5．024，

所以能在犯错误概率不超过0．025的前提下认为该种疾病与饮用水不干净有关．

40

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