高中数学苏教版必修(5)数列复习学案

数列 、等差数列、等比数列的知识点定义、公式、主要性质及拓展本章内容是中学数学的重点之一,它既具有相对的独立性,又具有一定的综合性和灵活性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点。

《数列》全章复习学案本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数 学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点。

小试牛刀(热身练习) :1、数列

6 6 6 6 , , , , , 的前 n 项和= 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 n n 1,则前 n 项和为

.

2、已知数列 an 的通项公式为 an

。

3、在等差数列 an 中，已知 a4 8, d 3 ,则 an = 4、在等比数列 an 中，已知 a1 2 , q 3 ,则 an =

, Sn = , Sn =

。 。

5、在等比数列 an 中，已知 a1 an 66, a2 an 1 128 S n 126 求n, q 。 , ,

6、设 S n 是等比数列的前 n 项和 ， S3 , S9 , S 6 成等差数列，求证： a2 , a8 , a5 也成等差数列。

一、知识网络和要点： 知识网络数列基础知识 数列表示法 数列分类 数列 等差数列 等比数列 特殊数列 定义 通项公式 前n项和公式 性质 其他特殊数列求和 定义 项，通项

数列 、等差数列、等比数列的知识点定义、公式、主要性质及拓展本章内容是中学数学的重点之一,它既具有相对的独立性,又具有一定的综合性和灵活性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点。

等差数列与等比数列的比较：

数列 定义 公差 与公比 递推 公式

等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与 前一项的差等于同一个常数。这个常数称 为公差，用 d 表示。

等比数列如果一个数列从第二项起，每一项与前一 项的比等于同一个常数。这个常数称为公比， 用 q 表示。

公差 d

an a1 an am an 1 an n 1 n m

公比

q

a n 1 。 an

an 1 an d

an 1 q an

an a1 (n 1)d am (n m)d通项 公式

(m, n N ) 当 d 0 时 an 为n 的一次函 通项公式： an a1q n 1 am q n m数，即 an dn a1 d ; 反之， an 是 若

关于 n 的一次函数， 则此数列是等差 数列， 其公差就是一次函数中的斜率 k。 等差中项：若 a, b, c 成等差数列，b 中项 叫做 a 与 b 的等差中项，那么 2b a cSn n(a1 an ) n(a2 an ) 2 2

当 q 1 时， an 是关于 n 的指数函数。

等比中项： 如果 a, b, c 成等比数列，b 叫做

a

与

b

的 等 比 中 项 那 么

b 2 ac, 且b acna1 q 1 n S n a1 (1 q ) a1 a n q q 1 1 q 1 q m n p q , 则 am an a p aq , 特 别 是

前n项 和公式

na1

n(n 1) d d d n2 a1 n 2 2 2

主要 性质

m n p q ,则 am an a p aq ,特别是 a1 an a2 an 1 …。 下 列 为 等 差 数 列 的 项 ( ak , ak m , ak 2 m … ) 仍 组 成 成 等 差 数

a1an a2 an 1 …。下列为等比数列的项( ak , ak m , ak 2m … ) 仍组成成等比数列，其公比为 q 。m

数列 、等差数列、等比数列的知识点定义、公式、主要性质及拓展本章内容是中学数学的重点之一,它既具有相对的独立性,又具有一定的综合性和灵活性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点。

列，其公差为 md 。

an 和 bn 均为

等差数列，则 man kbn 仍为等差数列，其公差为。 mda kdb ( m, k 为常数) 依次 k 项的和仍组成等差数列，即 ， S 2 k S k , S 3k S 2 k ,…仍为等 Sk 差数列， 公差为 k d 。 等差数列的单调性： d > 0 an 为递增数列；2

则 an 和 bn 均为等比数列， manbn 仍为等 比数列。

依次 k 项的和仍组成等比数列，即 S k ,

S 2k S k , S 3k S 2 k ,…仍为等比数列，公比为 q k 。 等比数列的单调性： q > 1 an 为递增数列； 则 0 q <

则

d < 0 an 为递减数列； 0 an 为常数列。

则d =

1 an 为递减数列； 则 q = 1 an 为 常数列； q 0 为摆动数列。

项 数 为 奇 数 2n 1 的 等 差 数 列 an ,有 S 2n 1 (2n 1)an ( an 为中间 项)

S奇 S偶 anS奇 S偶 n n 1

,

An , Bn分别是等差数列an 和 bn A nan an 前 n 项的和，则 2 n 1 或 B2n 1 nbn bn 1 n(a1 a n ) An 2 a an 1 1 Bn b1 bn n(b1 bn ) 2两个数列的通项公式、前 n 项和公式中各含五个变量，只要已知其中的部分量，可用方 程的数学方法解出其余的未知量。 等差数列的几个重要的结论：等差数列 an 中， (1)若 an m, am n(m n),则am n 0 ; (2)若 S n m, S m n(m n),则S m n (m n) ;(3)若 S n S m (m n),则S m n 0 。 二、习题指导及运算能力提高： 1、 利用等比数列的前 n 项和公式证明a n a n 1b a n 2 b 2 … b n

a n 1 b n 1 (其中 n N , a, b是不为0的常数， 且a b ) a b

数列 、等差数列、等比数列的知识点定义、公式、主要性质及拓展本章内容是中学数学的重点之一,它既具有相对的独立性,又具有一定的综合性和灵活性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点。

2、 在等差数列 an 中，已知 S p q, S q p( p q),求S p q的值 。

3、等差数列 an 中，前 m 项( m 为奇数)和为 77,其中偶数项之和为 33,且 a1 am 18,求通项公式。

4、求和： S n 1 2 x 3x 2 … nx

n 1

(错位相减)

5.若等比数列的各项均为正数，前 n 项之和为 S ,前 n 项之积为 P ,前 n 项倒数之和为 M ,下列关系成立的 是 .(填序号) ①P=

S M

②P>

S M

S ③ P2 M

n

S ④ P2 > M

n

6、已知 an 2 n ,把数列 an 的各项排成如右侧三角形状，记 A(i, j ) 表示第 i 行中第 j 个数，则结论 ① A(2,3) 16 ; ② A(i,3) 2 A(i,2) , (i 2) ;2

a1 a5 a10 a11 a2 a6 a12 a3 a7 a13 a4 a8 a14 a9 a15 a16

③ A(i, i) A(i,1) A(i,2i 1) , (i 1) ; ④ A(i 1,1) A(i,1) 2 其中正确的是2i 1

, (i 1) ; .

三、典型例题解析与发散性思维的能力培养：例 1、已知数列 an 中 a1 3, an 1 2a n 3, 求an = 。(构造法) 。 (构造

法) 。(构造法) 例 2、 已知数列 an 中 a1 a, an 1 ca n 1 c, 其中a, c为实数,且c 0 , an = 求 例 3、已知数列 an 中，前 n 项和 Sn ,满足 Sn 2an 3n(n N ) ,求 an = 例 4、已知数列 an 中 a1 1,

例 5、已知数列 an 中 a1 1, an 1 an 2 n n, 求an (累差法)

an 1 n 2 , 求 an = an n

。(累商法)

数列 、等差数列、等比数列的知识点定义、公式、主要性质及拓展本章内容是中学数学的重点之一,它既具有相对的独立性,又具有一定的综合性和灵活性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点。

4x 1 2 2001 例 6、设 f x x ,求和 S f f … f 。(倒序相加法) 4 2 2002 2002 2002

例 7、求数列 1,1 a,1 a a 2 , … ,1 a a 2 … a

n 1

,…的前 n 项和 S n 。(分组求和法)

例 8、已知数列{an}中相邻两项 an、an+1 是方程 x2+3nx+bn=0 的两根，a10=-10,求 b50=_______.

解法一：解：根据题意得： an an 1 3n , an an 1 bn

an 1 an 2 3(n 1) ,则有 an 2 an 3 an 奇数项、偶数项分别成等差数列，公差为-3

a50 a10 (50 10) / 2 d 70 , a11 a10 3 10 20 , a51 a11 (51 11) / 2 d 80 b50 a50 a51 5600解法二： 分析：由数列{an}中相邻两项 an 、an+1 是方程 x2 + 3nx + bn =0 的两根，根据韦达定理得 an an 1 3n ;由此求得数列{an}的通项公式，再根据 an an 1 bn 可求得 b50 的值。

数列 、等差数列、等比数列的知识点定义、公式、主要性质及拓展本章内容是中学数学的重点之一,它既具有相对的独立性,又具有一定的综合性和灵活性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点。

解：根据题意得： an an 1 3n , an an 1 bn 则有： an 1

3 3 3 3 (n 1) an n 2 4 2 4

3 3 a n n 是以公比为 1 的等比数列 2 4 3 17 3 an n ( 1 n ) a5 0 7 0 a 5 8 0 b50 a50 a51 ( 70) ( 80) 5600 , 1 2 4 4点评：考查构造法求数列通项公式，题干的呈现形式体现了方程的思想，难度较大，属难题.

3 3 3 3 (n 1 ) ) an ( n / ) 2 4 2 4 3 3 17 an n ( 1) n 2 4 4 (an 1

1

四、回顾小结：(1) 、数列的基本概念和公式 (2) 、求数列通项公式常用的方法： 1、 观察归纳法；2、公式法；3、利用 a n 与S n 的关系法；4、累差法；5、累商法；6、构造法； 数列求和的方法： 1、利用公式；2、错位相减；3、并项法；4、分组求和法；5、裂(拆)项法；6、倒序相加法

(思考题) 设 M 为部分正整数组成的集合，数列 {an } 的首项 a1 1 ,前 n 项和为 S n ,已知对任意 整数 k 属于 M,当 n>k 时， S n k S n k 2(S n S k ) 都成立 (1)设 M={1} a2 2 ,求 a5 的值； , (2)设 M={3,4} ,求数列 {an } 的通项公式

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