同济大一高数期中复习题

高数复习题高数复习高数考试高数题目同济高数

一、常数项无穷级数

1. lim un = 0 是级数 ∑ un 收敛的 .n →∞n =1

∞

条件. 条件.

解：必要非充分. 必要非充分.

ln n 3 2. ∑ n = . n=0 2

∞

.

解：公比 q =

ln 3 1 < 1 的等比级数收敛且和 s = . 2 1 ln 3 2∞

1 3.对于无穷级数 ∑ 2 p ,下面中正确的是 [ ]. . . n =1 n (A) 仅当 p > 1 时收敛； 时收敛； (B) 仅当 p < 1 时收敛； 时收敛；(C) 仅当 p = 1 时收敛； 时收敛； (D) 仅当 p > 1 2 时收敛. 时收敛. ∞ 1 时级数收敛. 解： p 级数 ∑ 2 p 仅在 2 p > 1 ,即 p > 1 2 时级数收敛. n =1 n

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4.若 ∑ | un | 收敛，则下面命题中不正确的是 . 收敛，

∞

[

]. .

(A) ∑ un 必收敛； 必收敛；n =1

∞ n =1

(B) | un | 必单调减少； 必单调减少；

(C) lim un = 0 ;n →∞

(D) ∑ ( 1) un 必收敛. 必收敛.n n =1

∞

是不正确的. 解：(B)是不正确的. 是不正确的5.判定下列常数项级数的敛散性： .判定下列常数项级数的敛散性： n ∞ 3 ① ∑ ; n=1 4 解： q =∞

3 34 等比级数收敛 级数和 收敛. < 1 ,等比级数收敛.级数和 s = = 3. 4 1 3 4n

1 ② ∑ 1 + ; n n =1 n 1 n→∞ 级数发散 发散. 解： un = 1 + → e ≠ 0 ,级数发散. n

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③∑n =1

∞

(

n +1 n ;n →∞

)

级数发散 发散. 解： S n = n + 1 1 → ∞ ,级数发散. ∞ 1 1 ④ ∑ n + . 5n n =1 2 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 收敛， 发散， 发散. 解： ∑ n 收敛， ∑ 发散，故 ∑ n + 发散. 5n n =1 2 n =1 5 n n =1 26.判定下列级数的敛散性： .判定下列级数的敛散性：

1 ; n =1 2n 1 ∞ n →∞ 1 1 1 1 1 ,而 ∑ 发散，故原级数发散. 发散，故原级数发散 发散. 解： un = 2n 2 n n =1 n ∞ 5n ( n + 1)! ②∑ ; ( 2n )! n =1 n +1 n →∞ 5 ( n + 2) un +1 5 ( n + 2 ) ! ( 2n ) ! = n = → 0 < 1, 级数收敛 收敛. 解： 级数收敛. un ( 2n + 2 )! 5 ( n + 1)! ( 2n + 1)( 2n + 2 )

①∑

∞

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3n n! ③∑ n ; n =1 n n +1 n →∞ 3 un +1 3 ( n + 1) ! n n 3 = n = → > 1 ,级数发散. 级数发散 发散. 解： n +1 n un 3 n ! (1 + 1/ n ) e ( n + 1) ∞ 5n ④∑ . n n =1 n 2 un +1 5n +1 n 2n 5n n→∞ 5 = n = → > 1 ,级数发散. 级数发散 发散. 解： n +1 un 5 2 ( n + 1) 2 ( n + 1) 28.判断下列级数收敛性，若收敛，问是条件收敛还是绝对收敛？ .判断下列级数收敛性，若收敛，问是条件收敛还是绝对收敛？ ∞ n n 1 ① ∑ ( 1) ; 3n 1 n =1 n n →∞ 1 → ≠ 0 ,收敛必要条件不满足，原级数发散. 收敛必要条件不满足，原级数发散 发散. 解： u n = 3n 1 3 n ∞ n ② ∑ ( 1) n 1 ; 1+ n n =1

n n n →∞ 1 收敛必要条件不满足，原级数发散 发散. 解： u n = → ≠ 0 ,收敛必要条件不满足，原级数发散. e 1+ n

∞

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n ③ ∑ ( 1) ; n 1 3 n =1 un +1 1 n + 1 n→∞ 1 = → < 1 ,绝对值级数收敛，原级数绝对收敛. 绝对值级数收敛，原级数绝对收敛 绝对收敛. 解： un 3 n 3 ∞ n 1 1 ④ ∑ ( 1) ln 1 + ; n n =1 ∞ 1 1 n →∞ 1 发散， 级数非绝对收敛 收敛. 解： un = ln 1 + ,且 ∑ 发散，原级数非绝对收敛. n n n= n =1 n ∞ n →∞ ∞ 1 1 un = ln 1 + → 0 ,且 { an }1 = ln 1 + 单调减少， n n 1n 1

∞

原级数收敛，即条件收敛. 级数收敛， 条件收敛.

2 n +1 ⑤ ∑ ( 1) 2 ; n ( n + 1) n =1 ∞ 2n + 1 n →∞ 2 1 收敛，原级数绝对收敛 绝对收敛. 解： u n = 2 ,且 ∑ 2 收敛，原级数绝对收敛. 2 n ( n + 1) n n =1 n∞ n

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sin (π n ) ⑥ ∑ ( 1) . n n=2 ∞ sin (π n ) n→∞ π π 收敛，原级数绝对收敛 绝对收敛. 解： u n = ,且 ∑ 2 收敛，原级数绝对收敛. 2 n n n =1 n∞ n +1

二、幂级数1.若 ∑ an x 的收敛半径为 1,则 ∑ nan x n 的收敛半径为 . ,n ∞ ∞

, .

an n ∑ n + 1 x 的收敛半径为为 n =1∞

∞

n =1

的收敛区间为 ， ∑ an ( x 1) 的收敛区间为n n =1

n =1 ∞

逐项求导或逐项积分后的幂级数收敛半径不变， 前两答案都为 1. 解： 逐项求导或逐项积分后的幂级数收敛半径不变， .令 y = x 1 ,∵ ∑ an y n 的收敛半径 1,∴ 1 < y < 1 , 0 < x < 2 ,级数 ，n =1

∑ an ( x 1) 的收敛区间 ( 0, 2 ) .n n =1

∞

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2.若 ∑ an ( x 1) 在 x = 1 处收敛，则在 x = 2 处该级数 . 处收敛，n n =1

∞

[

]. .

(A)绝对收敛； 绝对收敛； 绝对收敛 (C)发散； 发散； 发散正确. 解：(A)正确. 正确

(B)条件收敛； 条件收敛； 条件收敛 (D)收敛性不能确定. 收敛性不能确定. 收敛性不能确定

3.求下列幂级数的收敛半径与收敛区间： .求下列幂级数的收敛半径与收敛区间： ∞ x n +1 n ① ∑ ( 1) ; ( n + 1)! n =0 →∞ an ( n + 2 )! = n + 2 n→ + ∞ R = +∞ ∞, +∞ 1 = 解： , ,( ). an +1 ( n + 1) ! 1 ∞ xn n ② ∑ ( 1) n ; 3 +n n =1 3n +1 + ( n + 1) n →∞ an = → 3 , R = 3 , ( 3,3) . 解： n an +1 3 +n

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x2n ③∑ ; n n =1 n 2

∞

解：令 y = x 2 成 ∑n =1

∞

an ( n + 1) 2 y = .∵ n an +1 n 2n n 2n

n +1 n →∞

→ 2 = Ry .

y < 2 x < 2 ,收敛半径 R = 2 ,收敛区间 2, 2 .④∑n =1 ∞

( x 1)n 52 n

(

)

n

.∞ n→∞ ( n + 1) 5n+1 n→ 5 = R = y . 2 n n 5 2

an y 解：令 y = x 1 成 ∑ 2 n .∵ an +1 n

=1 n 5

y < 5 x 1 < 5 ,收敛半径 R = 5 .收敛区间 ( 4, 6 ) .

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4.将 f ( x ) = .数∑n =1 ∞

( 1)3n +1

1 的幂级数，指出其收敛区间，并求级 展开成 ( x 1) 的幂级数，指出其收敛区间，并求级 4 x

n

的和. 的和.∞

解： f ( x ) = ∑n =0

( x 1)3n +1

n

,收敛区间 ( 2, 4 ) . ∑n =1

∞

( 1)3n +1

n

1 = . 12

5.使用间接展开方法将函数 f ( x ) = 2sin 2 x 展开成幂级数. . 展开成幂级数.

( 1) 4n x 2 n ∞, +∞ cos 解： f ( x ) = 2sin 2 x = 1 cos 2 x = 1 ∑ ,( ). n = 0 ( 2n ) !∞ n

6. . 求下列两个幂级数的收敛半径与收敛区间， 并求出它们的和函数： 求下列两个幂级数的收敛半径与收敛区间， 并求出它们的和函数： 2 n +1 ∞ n x ① ∑ ( 1) ; 2n + 1 n =0解： R = 1 .收敛区间 ( 1,1) .和函数 S ( x ) = arctan x , x ∈ ( 1,1) .

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② ∑ nx n 1 .n =1

∞

解： R = 1 .收敛区间 ( 1,1) .和函数 S ( x) = 三、傅里叶级数

1

(1 x )

2

, x ∈ ( 1,1) .

1.若 x = ∑ bn sin nx ( π < x < π ) ,则 b2 = .解： b2 = 1 .n =1

∞

.

π < x ≤ 0, 1, 2.设 f ( x ) 是以 2π 为周期的周期函数，且 f ( x ) = 为周期的周期函数， . x + 1, 0 < x ≤ π ,.

则 f ( x ) 的傅里叶级数在 x = π 处收敛于

解： x = π 是 f ( x ) 的跳跃间断点，故傅里叶级数在 x = π 收敛到 的跳跃间断点，1 1 π f (π ) + f (π + ) = (π + 1) + ( 1) = . 2 2 2

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3.设 f ( x ) 是以 2π 周期的周期函数，且在 [ π , π ) 上的表达式 . 周期的周期函数， 0, π ≤ x < 0 , f ( x) = 可展开成下列的傅里叶级数： 若 f ( x ) 可展开成下列的傅里叶级数： x, 0 ≤ x < π , a0 ∞ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx ) . 2 n =1① 写出各系数 a0 , an , bn 的计算表达式； 的计算表达式；解：① a0 =② a3 =

② 计算 a3 , b5 之值. 之值.

π∫

1

π

0

xdx ; an =

π∫

1

π

0

x cos nxdx ; bn =

π∫

1

π

0

x sin nxdx .

2 1 ; b5 = . 9π 5

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4.将函数 f ( x ) = 1 x 在区间 [ 0, π ] 上展开成正弦级数和余弦级数. . 上展开成正弦级数和余弦级数.解： bn =2

π

∫

π

0

2 (1 x ) cos nx sin nx 2 (1 x ) sin nxdx = n n 0 π

π

(1 π )( 1) n 1 + 1 2 . = nπ n 1 ∞ 2 (1 π )( 1) + 1 sin nx , x ∈ 0, π . 正弦级数： 正弦级数： f ( x ) = 1 x = ∑ ( ) nπ n =1a0 = 2

π

∫

π

0

2 x (1 x ) dx = x = 2 π ; π 2 02

π

( 1)n 1 + 1 2 2 π 2 (1 x ) sin nx cos nx ; an = ∫ (1 x ) cos nxdx = = 2 π 0 π n n2 0 nπ n 1 ∞ 2 ( 1)

+ 1 2 π cos nx , x ∈ 0, π . 余弦级数： +∑ 2 余弦级数： f ( x ) = 1 x = ( ) 2 nπ n =1π

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四、向量代数： 向量代数： r r r r 1.已知 a = 2,1, 1 .①求模 | a | ,②求与 a 同向的单位向量 ea , .

(

)

r ③求 a 的方向余弦和方向角. 的方向余弦和方向角.r 解：① a =

r a r ② ea = r = a

(

( )2

2

+ 12 + ( 1) = 2 .2

2,1, 1 2

) =

2 1 1 2 , 2 , 2 .

2 1 1 ③ 方向余弦 cos α = , cos β = , cos γ = ; 2 2 2 π π 2π 方向角 α = , β = , γ = . 4 3 3

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r 2π r r r 2.已知 | a |= 5 , | b |= 4 , a 与 b 的夹角 θ = . . r r r 3 r r r 试求： 试求：① a b ; ② 3a + 2b 2a b . r r r r 解：① a b = a b cos θ = 5 × 4 × ( 1 2 ) = 10 . r r2 r r r r2 r r ② 3a + 2b 2a b = 6 a + a b 2 b = 108 . r r 3.已知 a = ( 3, 2, 1) , b = (1, 1, 2 ) , . r r r r r r 试求： 试求：① a × b ; ② 4a + 5b × a b . r r r i j k r r 解：① a × b = ( 3, 2, 1) × (1, 1, 2 ) = 3 2 1 = ( 3, 7, 5 ) . 1 1 2 r r ② ∵ 4a + 5b = 4 ( 3, 2, 1) + 5 (1, 1, 2 ) = (17,3, 6 ) , r r a b = ( 3, 2, 1) (1, 1, 2 ) = ( 2,3, 3) . r r r i j k r r r r ∴ 4a + 5b × a b = 17 3 6 = ( 27, 63, 45 ) . 2 3 3

(

)(

)

(

)(

)

(

) (

)

(

) (

)

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r r r 4.如果 a = (1,1,1) , b = ( 2, 2, 7 ) , c = (1,3,5 ) ,则有 则有[ ]. . . r r r r r r (A) 2a + b // c ; (B) 3a + b ⊥ c ; r r r r r r (C) a + b c = 0 ; (D) a × b = 0 . r r r 不对. 解： 2a + b = 2 (1,1,1) + ( 2, 2, 7 ) = ( 4, 4, 5 ) ≠ λ (1, 2,3) = λ c ,(A)不对. 不对 r r 3a + b = 3 (1,1,1) + ( 2, 2, 7 ) = ( 5,5, 4 ) , r r r 3a + b c = 5 ×1 + 5 × 3 + ( 4 ) × 5 = 0 ,(B)对. 对 r r r 不对. a + b c = ( 3,3, 6 ) (1,3,5 ) = 18 ≠ 0 ,(C)不对. 不对 r r r i j k r r r r r a × b = 1 1 1 = 9i 9 j ≠ 0 ,(D)不对. 不对. 不对 2 2 7

( (

)

)

(

)

( (

)

)

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r r r r 5.已知向量 a = (1,1,1) , b = ( 2, 1, 2 ) .①求 a 与 b 的夹角 θ ; . r r r ②求同时垂直于 a 和 b 的单位向量 s . r r 1× 2 + 1× ( 1) + 1× 2 a b 3 3 = = 解：① cos θ = r r = , 2 3 3 3 a b 12 + 12 + 12 × 22 + ( 1) + 22 3 θ = arccos . 3 r r r i j k r r r ② s = a × b = 1 1 1 = ( 3, 0, 3) , 2 1 2 r ( 3, 0, 3) = ± 2 , 0, 2 r s r ±es = ± r = ± 2 . 2 2 2 s 2 3 + 0 + ( 3) 6.已知 A (1, 2,3) , B ( 2,3, 4 ) , C ( 4, 7,9 ) ,则 ABC 的面积等于 的面积等于[ . 14 (A) 7 ; (B) 2 7 ; (C) (D) 14 . ; 2 r 1 uuu uuur 14 解： S ABC = AB × AC = . 2 2

]. .

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r r 7.已知 a = ( 3, 2, 1) , b = ( 1, m, 5 ) ,试在下列三种情况下分别 .

的值. 求出 m 的值. r r r r ①

a ⊥ b ; ② b 在 a 上的投影为 4; ; r r ③以 a , b 为邻边的平行四边形的面积为 362 . r r 解：① a b = 0 2m + 2 = 0 m = 1 . r r r a b 2m + 2 r = 4 m + 1 = 2 14 m = 2 14 1 . ② Prja b = r = a 14 14 r r r i j k r r ③ a × b = 3 2 1 = ( 10 + m,16,3m + 2 ) , 1 m 5 r r 2 2 S = a × b = ( m 10 ) + 162 + ( 3m + 2 ) = 362 , 5m 2 4m 1 = 0 m1 = 1 5 , m2 = 1 .

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8.已知三棱锥顶点在 A ( 0, 0, 0 ) , B ( 3, 4, 1) , C ( 2,3,5 ) , D ( 6, 0,3) . .

试求： 的距离； 求该三棱锥的体积. 试求：① 顶点 D 到底面 ABC 的距离； ② 求该三棱锥的体积. r r r i j k uuu uuur r r 解：①记 n = AB × AC = 3 4 1 = ( 23, 17,1) .则 2 3 5 uuur r AD n uuur 47 r AD = D 到底面的距离 h = Pr jn . r = n 91 r 1 uuu uuur 3 91 . ② 底面 ABC 的面积 S = AB × AC = 2 2 1 47 棱锥体积 V = S h = . 3 2

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五、空间解析几何： 空间解析几何： 解： 1× ( x ( 1) ) + 2 × ( y 1) + 5 × ( z 3) = 0 x + 2 y + 5 z 14 = 0 . r r 2.求平行于向量 a = ( 0,1, 2 ) 及向量 b = (1, 2, 1) 且过点 P0 (1, 2,3) 的 .平面的方程. 平面的方程.r r r i j k r r r 解：取 n = a × b = 0 1 2 = ( 5, 2, 1) . 1 2 5

r 1.求过点 P0 ( 1, 0,3) 且垂直于向量 n = (1, 2,5 ) 的平面的方程. 平面的方程. .

所求平面为 5 ( x 1) + 2 ( y 1) ( x 1) = 0 ,即 5 x 2 y + 1 4 = 0 . 平面为

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r 3.求过两点 P (1,3, 0 ) , P2 ( 2,1,3) 且平行于向量 a = ( 1, 0, 2 ) 的平面的 平面的 . 1

方程. 方程. uuuu r r r r r uuuu 解： P P2 = (1, 2,3) .则 n ⊥ a ,又 n ⊥ P P2 ,可取 1 1r r r i j k r r r uuuu n = a × P P2 = 1 0 2 = ( 4,5, 2 ) . 1 1 2 3所求平面为 4 ( x 1) + 5 ( y 3) + 2 ( z 0 ) = 0 4 x + 5 y + 2 z 19 = 0 .4.求平行于 xOy 坐标面且过点 P0 ( 3, 4, 7 ) 的平面的方程. . 平面的方程. 解： z = 7 .

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5.已知某平面与三个坐标面在第一卦限内围成的四面体的体积为 4, .已知某平面与三个坐标面在第一卦限内围成的四面体的体积为 ， 平面与 在第一卦限内

上的截距分别 分别为 且在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 2 和 3, 此平面的方程为 [ , 则(A) 2 x + 3 y + 4 z = 6 ; (B) 2 x + 3 y + 4 z = 12 ;

]. .

(C) 6 x + 4 y + 3 z = 12 ;正确. 解：(C)正确. 正确

(D) 3 x + 4 y + 6 z = 12 .

x 2 y + z 3 = 0, 6.求过点 M 0 (1, 2,1) 且垂直于直线 L : 的平面方程. . 的平面方程. x + y z + 2 = 0 r r r r 解：设直线 L 的方向向量为 s ,则 s 垂直于已知平面的法向量 n1 和 n2 . r r 所求平面的法向量 n ∥ s ,故可取 r r r i j k r r r n = n1 × n2 = 1 2 1 = (1, 2,3) . 1 1 1所求的平面的方程为 ( x 1) + 2 ( y

2 ) + 3 ( z 1) = 0 ,即x + 2 y + 3z 8 = 0 .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6hwe.html