北工大高数2008-2009学年第一学期期末考试_工1-A_参考答案

北京工业大学2008-2009学年第一学期 “高等数学(工)-1”课程期末试卷答案(A)

一．单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设f(x)是区间 a,b 上连续函数，则在开区间(a,b)内f(x)必有【B】 （A）导函数 （B）原函数 （C）驻点 （D）极值 (2) 设f(x)在x0处可导，则lim

x x0

x0f(x) xf(x0)

【C】

x x0

（A）2f (x0) （B）x0f (x0) （C）x0f (x0) f(x0) （D）f (x0) x0f(x0) (3)当x 0时，下列无穷小中与x2等价的是【D】

（A）tanx sinx （B）sinx2 （C）ln(1 x2) （D）1 2x2 (4) 下列广义积分收敛者是【C】 （A）

e

lnx11dx （B） dx （C） dx （D

） edx eexxlnxx(lnx)2n

1

xsindx，则limIn 【B】 nn x

（A） （B） （C） 1 （D） 1

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中的横线上。结果必须化简。

(5) 设In

x c

(6) 已知lim 4，则常数C ln2. x x c (7) lim

x 0

x

1cosx

e tdt

2

x2

1

2e2

(1)5

.

.

1 t22

(8)

2

1

d

x

x 2arctantdyd2y

t， (9) ，则22dxdx y 1 ln(1 t)

.

(10)设y y(x)是由ey xy ex确定，则y (0) 1.

三．简答题：本大题共4小题，每小题8分，共32分。解答应写出主要过程或

演算步骤。

(11) 设f(x)

21 3

1x

sinx

, x

1）求f(x)的间断点并判断类型，

2）能否使f(x)在间断点处连续.

解： 可能的间断点x 0. lim f(x) 0 1 1， lim f(x) 2 1 1，故x 0是函数

x 0

x 0

的第一类可去间断点，可补充定义令 f(0) 1使f(x)在可去间断点x 0点连续。

x2arctanx

dx. (12) 求不定积分

1 x2

x2arctanx(x2 1 1)arctanx

dx 解：

1 x21 x2

arctanxdx arctanxdarctanx

11

xarctanx ln(1 x2) (arctanx)2 C。

22

e2x b

(13) 设函数f(x)

sinax

x 0,x 0,

问：a,b为何值时，f(x）在x 0处可导并求f (0）.

解： 因f(x)在x 0点处可导，故f(x)在x 0点处连续，所以f (0) f (0)即有1 b 0 b 1 f(0) 0，又f(x)在x 0点处可导，故f (0) f (0)即：

f(x) f(0)e2x 1

f (0) lim lim 2

x 0 x 0x 0xf (0) lim

x 0

f(x) f(0)sinax 0

lim a 故有a 2， 所以 x 0 x 0x

f (0）=2

(14) 直线x 0,x 2,y 0与抛物线y x2 1围成的一平面图形D。

1）求平面图形D的面积；（要求画出平面图形D的草图）

2）求平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

解： 注意D有一部分是在x轴的下方 （简答）

46

。

00115

四．解答题：本大题共2小题，每小题9分，共18分。解答应写出完整过程或演算步骤。

D ( x 1)dx ( x 1)dx 2，V ( x 1)2dx

122

(15)

设函数f(x)

f(x)dx.求 f(x)dx．

11

解：因定积分是常数，可设 f(x)dx A，原等式两边取在[0,1]上的积分,且注意

1

到

1

是广义积分 f(x)dx

11

A

1

sin A limarcx0

04

A． 24

1 2 2

得等式： A A 解得A ，即 f(x)dx ．

0244 4

（16）设函数f(x)可导,且满足 xf (x)=f ( x) 1,f(0) 0.

1) 求f (x)； 2）求函数f(x)的极值.

1) 在方程xf (x)=f ( x) 1中令 t x，得 tf ( t)=f (t) 1，从而

xf (x)=f ( x) 1

有

xf ( x)=f (x) 1

，解得f (x)

x

x 1

。 2

1 x

2）由f(0) 0， 得f(x) f(0)

t 1

dt，即 01 t2

1x 1f(x）=ln(1 x2) arctanx。由f (x) 得f(x）的驻点

21 x2

x2 2x 1

1(nl4na 1tcra而f (x) 即f)x0 1。 f (1) 0，22

(1 x)是f(x）极小值。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6hv1.html