2018年高考数学二轮复习 第二部分 专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量课时规范练 理

第3讲 平面向量

一、选择题

→→

3??1?31?

1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )

?22??22?A．30° B．45° C．60° D．120° →→

→→

BA·BC3

解析：|BA|＝1，|BC|＝1，cos ∠ABC＝＝.

→→2|BA|·|BC|因为∠ABC∈[0°，180°]， 所以∠ABC＝30°. 答案：A

2．(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|＜0，因而是充分条件，反之m·n＜0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件．

答案：A 3．已知单位向量a，b，满足a⊥(a＋2b)，则a与b夹角的余弦值为( )(导学号 54850109) A.3311 B．－ C. D．－ 22222

解析：单位向量a，b满足a⊥(a＋2b)， 所以a·(a＋2b)＝0，且|a|＝|b|＝1，

1a·b1因此a·b＝－，则cos 〈a，b〉＝＝－. 2|a||b|2答案：D

4．(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的→→

中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( )

51111A．－ B. C. D.

8848→→→解析：如图所示，AF＝AD＋DF.

又D，E分别为AB，BC的中点，

→→→→→→

1113

且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，

2244→→→

13

所以AF＝AB＋AC.

24→→→

又BC＝AC－AB，

→→?→→?→→→→→→→→→→→→

1123233212113则AF·BC＝?AB＋AC?·(AC－AB)＝AB·AC－AB＋AC－AC·AB＝AC－AB－AC·AB. 22444244??2→→

又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°， →→

31111故AF·BC＝－－×1×1×＝. 42428答案：B 5．(2017·安徽江淮十校第二次联考)已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)满足|a|＝3，且

b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为( )

A．2 B．4 C．6 D．8 →→→→→

解析：令OA＝a，OB＝b，则b－a＝OB－OA＝AB，如图，

因为b与b－a的夹角为30°， 所以∠OBA＝30°， →

因为|a|＝|OA|＝3，

2

→|OA|

所以由正弦定理＝

sin ∠OBA→

→

|OB|

得，|b|＝|OB|＝6·sin ∠OAB≤6.

sin ∠OAB答案：C 二、填空题

6．(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

（3e1－e2）·（e1＋λe2）3－λ13

解析：cos 60°＝＝＝.解之得λ＝. 2

23|3e1－e2||e1＋λe2|3＋1 1＋λ答案：

3

3

→→

7．(2017·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，向量AB，AC→

的夹角为60°，则|OA|＝________．

→→→→→→

13

解析：向量AB，AC的夹角为60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，

22→→→→→→→→→→11122222

又AO＝(AB＋AC)，所以AO＝(AB＋AC)＝(AB＋2AB·AC＋AC)，即AO244→

答案：

13

2

→→→

8．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比值为________．

解析：设AB的中点为D，

→→→→→→→由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM， →→即3CM＝2MD.

如图所示，故C，M，D三点共线，

3

→→

3

且MD＝CD，

5

也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5， 3

则△ABM与△ABC的面积比值为.

53答案： 5三、解答题

?π?9．设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈?0，?.

2??(导学号 54850110) (1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

解：(1)由题意，得|a|＝(3sin x)＋(sin x)＝4sinx， |b|＝cos x＋sinx＝1， 因为|a|＝|b|，所以4sinx＝1. 1?π?由x∈?0，?，从而sin x＝， 2?2?π所以x＝. 6(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sinx＝

2

2

2

2

2

2

2

22

π?1311?sin 2x－cos 2x＋＝sin?2x－?＋， 6?2222?

π?π?π??当x＝∈?0，?时，sin?2x－?取最大值1.

2?6?3??3所以f(x)的最大值为. 210．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.

(1)求B的大小；

(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c. 解：(1)因为p⊥q，

所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)(1＋sin B)＝0， 则sinB－cosB＋2sinB－2＝0，

4

222

32

即sinB＝，

4

又角B是锐角三角形ABC的内角， 所以sin B＝3

，所以B＝60°. 2

(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为3， 1

所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.①

2由余弦定理得b＝a＋c－2accos B， 又b＝2，所以a＋c＝8，② 取立①②，解得a＝c＝2.

12

11．(2017·淄博诊断)已知函数f(x)＝3sin ωxcos ωx－cosωx＋(ω＞0)，与

2

2

2

2

2

2

f(x)图象的对称轴x＝相邻的f(x)的零点为x＝.(导学号 54850111)

π3π12

?π5π?(1)讨论函数f(x)在区间?－，?上的单调性； ?1212?

(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝1，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．

解：(1)f(x)＝π??sin?2ωx－?， 6??

由于f(x)图象的对称轴x＝12ππππ

得·＝－＝， 42ω3124

π??所以ω＝1，则f(x)＝sin?2x－?. 6??

ππ?π?令z＝2x－，函数y＝sin z单调增区间是?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z，

26?2?πππ

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

262ππ

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

63

ππ

相邻的零点为x＝， 312

31＋cos 2ωx131

sin 2ωx－＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝22222

?π5π?设A＝?－，?，

?1212?

5

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