高考数学大题训练32

高 考 数 学 大 题 训 练32

1、（14分）数列{an}中，

a1 a

an 1 can 1 c

(n N )

a、c R c 0

（1）求证：a（2）设a 的和Sn。

1时，{an 1}是等比数列，并求{an}通项公式。

1

2

c

1

2 bn n(1 an) (n N )求：数列{bn}的前

n项

4 、

（3）设

a c

4 、

cn

3 an

2 an。记dn

c2n c2n 1 ，数

列{dn}的前n项和Tn。证明：Tn

(n N)。 3

1、（14分）（1）证明：{an-1}等比数列。an 1 can 1 can 1 1 c(an 1) a 1时，

a1 1 a 1 an 1 (a 1)cn 1 an (a 1)cn 1 1

(1)（2）由（1）的an 122

由错位相减法得Sn

n 1

n1

b n() 1 (1） 1 n22

n

2 2n

C 4 （3）n( 4)n 1

dn

n

(16n 1)(16n 4)

n2(16n） 3 16n 4

n

(16n)2

16n

11n

25 16(1 (16))

1

1 16

1

Tn d1 d2 dn 25(16 1612 1613 161n) 51

5(1 ) 3316n

2．(本小题满分15分)

已知圆A过点P(直线x y 2 0对称.

(1)求圆A和圆B方程； (2)求两圆的公共弦长;

(3)过平面上一点Q(x0,y0)向圆A和圆B各引一条切线,切点分别为C、D，设求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值.

解：（1）设圆A的圆心A（a，b），由题意得：

2,2)，且与圆B：(x 2)2 (y 2)2 r2(r 0)关于

QD

2，QC

b 2

1 a 0 a 2

解得 A(0,0)…………………………4分

a 2b 2b 0 2 0 2 2

设圆A的方程为x2 y2 r2，将点P(2,2)代入得r=2

∴圆A：x2 y2 4，圆B：(x 2)2 (y 2)2 4……………………6分 （2）由题意得两圆的公共弦所在直线方程为l：x-y+2=0，设(0,0)到l的距离为d, 则d=

0 0 2

2

2

2

2

∴公共弦长m=2 2 (2) 22 …………………………10分 （3）证明：由题设得：

(x0 2)2 (y0 2)2 4

2

2

x0 y0 4442022

0 ∴化简得：x0 y0 x0 y0

333222268

∴配方得：(x0 ) (y0 )

339222 ∴存在定点M(， )使得Q到M的距离为定值，且该定值为……15分

333

2. （本小题满分12分）

已知函数f(x) sin x ( 0)在区间[0,

2

2

]上单调递增,在区间[,]上单调递减;如333

图,四边形OACB中,a,b,c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足

4

cosB cosC

sinB sinC. sinAcosA（Ⅰ）证明：b c 2a；

（Ⅱ）若b c，设 AOB ，(0 ),OA 2OB 2， 求四边形OACB面积的最大值.

4 3

，解得： ， ……………………………2分

32

sinB sinC2-cosB-cosC

sinAcosA

解：（Ⅰ）由题意知：

2

sinBcosA sinCcosA 2sinA-cosBsinA-cosCsinA sinBcosA cosBsinA sinCcosA cosCsinA 2sinA

sin(A B) sin(A C) 2sinA………………………………………………………4分 sinC sinB 2sinA b c 2a…………………………………………………6分

（Ⅱ）因为b c 2a，b c，所以a b c，所以△ABC为等边三角形

1SOACB S OAB S ABC OA OBsin AB2 ……………………………8分

2 sin

(OA2 OB2-2OA OBcos ) ……………………………………………9分 4

53 ………………………………………10分 2sin( -)43 sin -3cos

(0， ), -当且仅当 -

2

(-)， 333

5 时取最大值,S

OACB的最大值为2 ………………12分 64

3

2

，即

3．（本小题满分12分）

3 ( 1)n

已知n N,数列 dn 满足dn ,数列 an 满足an d1 d2 d3 d2n；又

2

mn

知数列 bn 中，b1 2，且对任意正整数m,n，bn. bm

（Ⅰ）求数列 an 和数列 bn 的通项公式；

（Ⅱ）将数列 bn 中的第．a1项，第．a2项，第．a3项，……，第．an项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 cn ，求数列 cn 的前2013项和.

3．（本小题满分12分）

3 2n3 ( 1)n

3n …………………3分 解： dn , an d1 d2 d3 d2n 22

3

又由题知：令m 1 ，则b2 b12 22,b3 b1 23 bn b1n 2n ………………5分 mnmn若bn 2n，则bn恒成立 2nm，bm 2mn，所以bn bm

mn若bn 2n,当m 1,bn不成立,所以bn 2n ……………………………………6分 bm

（Ⅱ）由题知将数列 bn 中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列 cn 中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1 2，b2 4公比均是8, …………9分

T2013 (c1 c3 c5 c2013) (c2 c4 c6 c2012)

2 (1 81007)4 (1 81006)20 81006 6 …………………………………………12分

1 81 87

4．（本小题满分13分）

x

已知向量m (e,lnx k)，n (1,f(x))，m//n（k为常数， e是自然对数的底数），

曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x) xexf (x)． （Ⅰ）求k的值及F(x)的单调区间；

（Ⅱ）已知函数g(x) x 2ax(a为正实数),若对于任意x2 [0,1]，总存在x1 (0, )， 使得g(x2) F(x1)，求实数a的取值范围．

1

lnx k1nx k f (x) 4．（本小题满分13分）解：（I）由已知可得：f(x)=， x

exe

2

由已知，f (1)

1 k

0，∴k 1 …………………………………………………………2分 e

1

F(x) xexf (x) x( lnx 1) 1 xlnx x所以F (x) lnx 2 …………3分

x

由F (x) lnx 2 0 0 x 由F (x) lnx 2 0 x

1， 2e

1 2e

F(x)的增区间为(0,

11][, ) ………………………………………5分 ，减区间为22ee

（II） 对于任意x2 [0,1]，总存在x1 (0, )， 使得g(x2) F(x1)，

g(x)max F(x)max ……………………………………………………………………6分

由（I）知，当x

111

F(x)时，取得最大值.………………………………8分 F() 1

e2e2e2

对于g(x) x2 2ax，其对称轴为x a 当0 a 1时，g(x)max g(a) a2， a 1

2

1

，从而0 a 1………………10分 e2

11

1 a 1 ，从而……12分

e22e2

当a 1时，g(x)max g(1) 2a 1， 2a 1 1 综上可知： 0 a 1

1

………………………………………………………………13分 2e2

5．（本小题满分13分）

x2y2已知椭圆C:2 2 1(a b

0)的焦距为,

离心率为,其右焦点为F,过点

ab2B(0,b)作直线交椭圆于另一点A.

(Ⅰ)若AB BF 6,求 ABF外接圆的方程;

x2y21

(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆N:2 2 相交于两点G、H，设P为N上一点，

ab3

且满足OG OH tOP（O为坐标原点）

，当PG PH 时，求实数t的取值范围.

3

5．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)

由题意知：c

e

c222

，又a b c，

ax2y2

1 …………………………2分

解得：ab椭圆C的方程为：63

可得：B

，F,设A(x0,y

0)，则AB ( x0y0)，BF ，

AB BF 6，0y0)

6，即y0 x0

x02y02x 1 x0 0 03 3由 6

y x

y0 y 0 00

即A(0,

，或A …………………………………………………………4分

①当A

的坐标为(0,

时，OA OB OF ， ABF外接圆是以O

为圆心，

x2 y2 3……………………………………………………………5分

②当A

的坐标为(

时，kAF 1，kBF 1，所以 ABF为直角三角形，其外接33

1， ，半径为AB

2圆是以线段AB

为直径的圆，圆心坐标为

ABF外接圆的方程为(x225

(y 3

225

(y ……7分 333

综上可知： ABF外接圆方程是x2 y2

3，或(x (Ⅱ)由题意可知直线GH的斜率存在.

设GH:y k(x 2)，G(x1,y1)，H(x2,y2)，P(x,y)

y k(x 2)

2222由 x2得：(1 2k)x 8kx 8k 2 0 2

y 1 2

由 64k4 4(2k2 1)(8k2 2) 0得：k

2

1

（ ） ………………………9分 2

8k28k2 2

x1 x2 ,x1x2 22

1 2k1

2k

HG 1 x2

PG PH

64k48k2 220

(1 k)[ 4 ] 222

(1 2k)1 2k9

2

1112

，结合（ ）得： k ………………………………………………11分 442

OG OH tOP， (x1 x2,y1 y2) t(x,y) k2

y1 y21 4kx1 x28k2

y [k(x x) 4k] 从而x ， 1222

ttt(1 2k)tt(1 2k)

8k2 4k2

] 2[]2 2，整理得：16k2 t2(1 2k2) 点P在椭圆上， [22

t(1 2k)t(1 2k)

即t 8

2

8 2 t

，，或 t 2………………………………13分

1

2k233

6．（本小题满分12分）

已知点A(2,0),B(0, 2),F( 2,0)，设 AOC ， [0,2 ),其中O为坐标原点. （Ⅰ）设点C到线段AF所在直线的距离为,且 AFC

3

,求 和线段AC的大小；

（Ⅱ）设点D为线段OA的中点,

2，且点C在第二象限内,求

M OB BC OA)cos 的取值范围.

解：（Ⅰ）过C作AF的垂线,垂足为E,则CE 在直角三角形FCE中,FC 又OF 2， OFC 所以 FOC

CE

2 ，

sin CFE

3

,所以 OFC为正三角形

3

,从而 FOC

2 4 ，或 FOC ……………4分 33

在 AFC中

,AC

…………………………………………………………6分 （Ⅱ） A(2,0)，点D为线段OA的中点, D(1,0)……………………………………7分

OC 2且点C在第二象限内, C(2cos ,2sin )， (, )…………………8分

2

从而DC (2cos 1,2sin ),BC (2cos ,2sin 2)，OA (2,0)，OB (0, 2)

2

则M OB BC OA)cos cos

4cos

2 2(1 cos2 ) 4cos(2 ) 2……………………………………10分

3

4 7 1

,),从而 cos(2 ) 1 因为 (, ),所以2 (

233323

所以M的取值范围为(0,6] ……………………………………………………………12分

7．（本小题满分12分）如图，已知AB 平面ACD，

E A

DE 平面ACD， ACD为等边三角形，AD DE 2AB，F为CD的中点.

（Ⅰ）求证：AF//平面BCE；

F

（Ⅱ）求证：平面BCE 平面CDE； （Ⅲ）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.

(Ⅰ) 证明：取CE的中点G，连结BG，FG F为CD的中点，FG//

1

DE， 2

AB 平面ACD，DE 平面ACD， AB//DE

DE 2AB， FG//AB，且FG AB，

从而ABGF为平行四边形， AF//BG ………………………………………………3分

BG 平面BCE，AF 平面BCE，∴AF//平面BCE…………………………4分

(Ⅱ) 证明： ACD为等边三角形，F为CD的中点， AF CD，

DE 平面ACD，AF 平面ACD， AF DE，又CD DE D

AF 平面CDE…………………………………………………………………………6分

由 (Ⅰ)知：AF//BG， BG 平面CDE， BG 平面BCE，

平面BCE 平面CDE …………………………………………………………………8分

(Ⅲ) 解：设AD DE 2AB 2a，建立如图所示的坐标系A xyz，则A(0,0,0)，

C(2a,0,0)，B(0,0,a

)，D(a

,0)，E(a,2a)，

∵F为CD

的中点，∴F

(

3a，2

3a BF (,, a)，BE (a,a)，

22

BC (2a,0, a)

设平面BCE的法向量为n (x,y,z)，

由n BE 0,n BC 0可得：x z 0,2x z 0，令x

1，则z 2,y

取n (1,.

BF n 设BF和平面BCE所成的角为

，则sin

BF n

∴直线BF和平面BCE

所成角的正弦值为8．（本小题满分12分）

. ……………………………………12分 4

已知函数f(x)的图象经过点(1,5),且对任意的x R都有f(x 1) f(x) 3，数列 an 满足

3n,n 2k 1

（k为正整数）． a1 1，an 1

f(an),n 2k

（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；

（Ⅱ）求a1 3a3 5a5 (2n 1)a2n 1（n N）．

解：（Ⅰ）由题意知f(1) 5，又对任意的x R都有f(x 1) f(x) 3，所以有

*

f(n 1) f(n) 3，从而 f(n) 是以f(1) 5为首项，3为公差的等差数列，故f(n) 5 3(n 1) 3n 2………………………………………………………………2分

当n为偶数时，an 3n 1

当n为奇数且n 3时，an f(an 1) 3an 1 2 3 3n 2 2 3n 1 2

1,n 1

n 1

综上，an 3,n 2k（k为正整数）…………………………………………6分

3n 1 2,n 2k 1

（Ⅱ）a1 3a3 5a5 (2n 1)a2n 1

1 3 (32 2) 5 (34 2) (2n 1) (32n 2 2)

[1 3 32 5 34 (2n 1) 32n 2] 2[3 5 7 (2n 1)] [1 3 32 5 34 (2n 1) 32n 2] 2(n2 1)

令T 1 3 3 5 3 (2n 1)3

2

4

6

2

4

2n 2

则9T 3 3 3 5 3 (2n 1)3 两式相减： 8T 1 2(3 3 3

2

4

2n 2

2n

) (2n 1)32n

n55T ( ) 32n

43232

所以a1 3a3 5a5 (2n 1)a2n 1 ( 9．（本小题满分13分）

若任意直线l过点F(0,1),且与函数f(x) 点A,B作C的切线，两切线交于点M.

（Ⅰ）证明：点M的纵坐标是一个定值，并求出这个定值；

（Ⅱ）若不等式f(x) g(x)恒成立，g(x) alnx(a 0)，求实数a的取值范围； （Ⅲ）求证：

n559

) 32n 2n2 …………………12分 43232

12

x的图象C交于两个不同的点A,B，分别过4

2ln22ln32ln42lnnn 1

，（其中e是自然对数的底数，223242n2e

n 2,n N）.

证明：(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知AB的斜率必存在，设AB:y kx 1，

12

x得：x2 4kx 4 0， x1x2 4 …………………………2分 4

xx11

f(x) x2,f (x) x， kAM 1,kBM 2，

4222

将其代入y

x12x1x1x12

AM:y (x x1)， 化简得：AM:y x ……①

4224

2

x2x2

x 同理：BM:y ,……② 24

由①②消去x得：y

x2x1

1…………………………………………………………5分 4

12xax2 2a

(Ⅱ)令F(x) f(x) g(x) x alnx(a 0,x 0) ， F (x)

42x2x

令 F (x) 0 得x

，

当x (0,)时F(x) 0，F(x)在x (0,)上单调递减； 当x (, )时

F(x) 0，F(x)在x (2a, )上单调递增；

F(x)在x

2a时取得最小值， ………………………………………………………7分

要使f(x) g(x)恒成立，只需F) 0

aee

a 0，解得a ，又a 0， 0 a ……………………………9分 222

e12e2lnx1

(Ⅲ)根据（Ⅱ）：取a ，则有x lnx，化简得：2 ………………11分

242xe

2ln212ln312lnn1

分别令x 2,3,4, ,n得：2 ，2 ，……，2

2e3ene

2ln22ln32ln42lnnn 1

相加：2 2 ………………………………………13分 22

234ne

即

10．（本小题满分13分）

x2y2

设F1,F2分别是椭圆D：2 2 1(a b 0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直

3ab

线交椭圆D于A,B两点, F1到直线AB的距离为3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.

（Ⅰ）求椭圆D的方程；

（Ⅱ）作直线l与椭圆D交于不同的两点P,Q,其中P点的坐标为( a,0),若点N(0,t)是线

段PQ垂直平分线的一点,且满足NP NQ 4,求实数t的值. 解:（Ⅰ）设F1,F2的坐标分别为( c,0),(c,0),其中c 0 由题意得AB的方程为:y (x c)

因F1到直线AB的距离为3,所以有所以有a b c 3……①

2

2

2

c 3c

1

3,解得c ……………………2分

由题意知:

1

2a 2b 4,即ab 2……② 2

联立①②解得:a 2,b 1

x2

y2 1…………………………………………………………5分 所求椭圆D的方程为4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:P( 2,0), 设Q(x1,y1)

根据题意可知直线l的斜率存在，可设直线斜率为k,则直线l的方程为y k(x 2)

把它代入椭圆D的方程,消去y,整理得: (1 4k2)x2 16k2x (16k2 4) 0

4k16k22 8k2

由韦达定理得 2 x1 ,则, y k(x 2) x 111222

1 4k1 4k1 4k

2k8k2

所以线段PQ的中点坐标为( )……………………………………………8分 ,

1 4k21 4k2

(1)当k 0时, 则有Q(2,0),线段PQ垂直平分线为y轴 于是 ( 2, t), (2, t)

由 4 t2 4,解得:t 22………………………………………………10分

2

2k18k

(2) 当k 0时, 则线段PQ垂直平分线的方程为y (x )

1 4k2k1 4k2

因为点N(0,t)是线段PQ垂直平分线上的一点 令x 0,得:t

6k

1 4k2

于是 ( 2, t), (x1,y1 t)

4(16k4 15k2 1)

由 2x1 t(y1 t) ,解得: k 4

7(1 4k2)2

代入t

26k

,解得: t 1 4k25

2.………………………………13分 5

综上, 满足条件的实数t的值为t 2或t

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