高中数学同步辅导与检测：选修1-1全集第一章1.4全称量

第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词

A级 基础巩固

一、选择题

1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 1

D．存在一个负数x，使＞2

x

解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－1

3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以

xD是假命题．

答案：B

2．命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( ) A．?x?R，x2≠x C．?x?R，x2≠x

B．?x∈R，x2＝x D．?x∈R，x2＝x

解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈R，x2≠x”的否定是“?x∈R，x2＝x”．

答案：D

3．下列特称命题中假命题的个数是( ) ①有一条直线与两个平行平面垂直； ②有一条直线与两个相交平面平行； ③存在两条相交直线与同一个平面垂直． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：①②都是真命题，③是假命题． 答案：B

4．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是( ) A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数 B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数 C．任意m∈R，使x＝f(x)都是偶函数 D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数

解析：当m＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选D. 答案：D

?1?x－2ax5．若?3?＜33x＋a2恒成立，则实数a的取值范围是( )

??

2

A．0＜a＜1 3

C．0＜a＜

4

3

B．a＞ 43

D．a＜ 4

解析：由题意，得－x2＋2ax＜3x＋a2，即x2＋(3－2a)x＋a2＞03

恒成立，所以Δ＝(3－2a)2－4a2＜0，解得a＞.

4

答案：B 二、填空题

6．命题“?x0，y0∈Z，3x0－2y0＝10”的否定是______________．

解析：特称命题的否定是全称命题，则否定为?x，y∈Z，3x－2y≠10.

答案：?x，y∈Z，3x－2y≠10

7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．

①正方形的四条边相等；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．

解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．

答案：①②③ ④ 8．下面四个命题：

①?x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②?x0∈Q，x20＝2；③?x0

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∈R，x20＋1＝0；④?x∈R，4x＞2x－1＋3x.

其中真命题的个数为________．

解析：x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，所以①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题．对?x∈R，x2＋1≠0，所以③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2

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