精选-高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用练习新人教A版

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第2课时 基本不等式的应用

课后篇巩固探究

A组

1.函数f(x)=x+-1的值域是()

A.(-∞,-3]∪[5,+∞)

B.[3,+∞)

C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞)

解析当x>0时,x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x<0

时,x+-1=--1≤-5,当且仅当x=-2时,取等号.所以函数的值域为(-∞,-5]

∪[3,+∞). 答案C 2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=()

A.1+B.1+ C.3D.4

解析f(x)=x+=x-2+

+2.∵x>2,∴x-2>0. ∴f(x)=x-2++2≥2+2=4,

当且仅当x-2=,

即x=3时,等号成立. 又f(x)在x=a处取最小值,

∴a=3. 答案C3.周长为4+2的直角三角形的面积的最大值是()

A.2B.1C.4D.

,于是依题意有a+b+解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为基本不等式知a+b+=4+2.由

=4+2≥2,即≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,取等

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号.故三角形的面积S=ab≤2.1

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答案A4.若x,y>0,且xy-(x+y)=1,则有()

A.x+y≥2(+1)

B.xy≤+1 C.x+y≤(+1)2 D.xy≥2(+1)

解析由xy-(x+y)=1,得xy=1+(x+y)≤,即(x+y)-4(x+y)-4≥0.因为x>0,y>0,所以解

2

得x+y≥2+2=2(+1),当且仅当x=y时,取等号. 答案A2

5.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m、形状为直角三角形的框架,在下面四种长度的

铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()

A.6.5 mB.6.8 m C.7 mD.7.2 m

解析设两条直角边长分别为a m,b m,直角三角形框架的周长为l m,则斜边长为m,ab=2,即ab=4.所以l=a+b+≥2

=4+2≈6.828,当且仅当a=b=2时,取等

号. 由于要求够用且浪费最少,故选C. 答案C6.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.

解析由基本不等式可得x+4y≥2

=4,于是4≤4,xy≤1,当且仅当x=4y时,取等号.故xy的

最大值为1. 答案13

7.要建造一个容积为18 m,深为2 m的长方形无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分

别为200元和150元,那么水池的最低造价为元. 解析设水池底的长为x m,宽为y m,则有2xy=18,即xy=9. 这时水池的造价p=200xy+150×2×(2x+2y),即p=1 800+600(x+y),

于是p≥1 800+600×2=1 800+600×2=5 400,当且仅当x=y=3时,等号成立. 故水池的最低造价为5 400元. 答案5 400 8.已知不等式≤k对所有正数x,y都成立,则k的最小值是. )?

2

解析因为x>0,y>0,所以x+y≥2?2(x+y)≥(,即

,要使≤k对所有正数x,y都成立,即k≥,故k≥,即

k的最小值为. 答案最新中小学教案试题试卷习题资料 2

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9.求函数y=(x>1)的最大值. 解函数y==2+

.令x-1=t(t>0),则x=1+t. 所以y=2+=2+≤2+=2+,

当且仅当t=2,即x=3时,函数取得最大值.10.导学号04994089为了夏季降温和减少能源消耗,某体育馆外墙需要建造可使用30年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造成本为2万元,设每年的能源消耗费用为

C(单位:万元),隔热层的厚度为x(单位:cm),二者满足函数关系式:C(x)=(0≤x≤15,k为常数).已知隔热层的厚度为10 cm时,每年的能源消耗费用是1万元.设f(x)为隔热层建造

费用与30年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式;

(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求出最小值. 解(1)∵当x=10时,C(x)=1,∴k=15,

即C(x)=,

∴f(x)=30×+2x=+2x(0≤x≤15). (2)∵f(x)=+2x=+2(x+5)-10≥2-10=50,

当且仅当=2(x+5),即x=10时,取等号.故当隔热层修建10 cm厚时,总费用达到最小值50万元.B组

1.若a<1,则a+的最大值是()

A.3B.a最新中小学教案试题试卷习题资料 3

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