《卫生统计学》第五章 常用概率分布(6版)

概率分布

第五章 常用概率分布分布桂立辉 新乡医学院公共卫生学系 流行病与卫生统计学教研室

概率分布

第五章

常用概率分布分布

二项分布 Poisson分布 分布 正态分布

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第一节 二项分布 一、二项分布的概念和特征 (一)二项分布的概念在生命科学研究中，经常会遇到一些事物， 在生命科学研究中 ， 经常会遇到一些事物 ， 其结果可分为两个彼此对立的类型， 其结果可分为两个彼此对立的类型 ， 如一个病 人的死亡与存活、 动物的雌与雄、 人的死亡与存活 、 动物的雌与雄 、 微生物培养 的阳性与阴性等， 的阳性与阴性等 ， 这些都可以根据某种性状的 出现与否而分为非此即彼的对立事件。 出现与否而分为非此即彼的对立事件 。 这种非 此即彼事件构成的总体，就称为二项总体 population) (binomial population)。

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第一节 二项分布二项分布(binomial distribution)就 二项分布 (binomial distribution) 就 是 对这种只具有两种互斥结果的离散型随机 变量的规律性进行描述的一种概率分布。 变量的规律性进行描述的一种概率分布。 由于这一种分布规律是由瑞士学者贝努里 (Bernoulli)首先发现的，又称贝努里分布。 )首先发现的，又称贝努里分布。

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第一节 二项分布二项分布有两个基本假设： 二项分布有两个基本假设： 各事件是相互独立的， 1.各事件是相互独立的，即任一事件 的发生与否， 的发生与否，不影响其它事件的发生 概率； 概率； 2.各个随机事件只能产生相互排斥的 各个随机事件只能产生相互排斥的 两种结果。 两种结果。

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抓中三个黑球的概率： 抓中三个黑球的概率： P(3)=0.5×0.5×0.5=0.125 × × 定理： 抓中两黑一白的概率： 定理：几个相互独立事件同时发生的概率 ： 抓中两黑一白的概率 等于各独立事件的概率之积。 等于各独立事件的概率之积。 0.125=0.375 P(2)=3× ×

定理：在几个互不相容的事件中， 定理：在几个互不相容的事件中， 任一事件发生的概率等于这几个事 件的概率之和。 件的概率之和。

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第一节 二项分布各种可能发生的结果对应的概率相当 于展开后的各项数值， 于展开后的各项数值，即： [π + (1 π )] n = π n + nπ n 1 (1 π ) +LL + n! /[ x!(n x)!]π LL + nπ (1 π )n 1 n x

(1 π ) +x n

+ (1 π )

前例： 前例：π=0.8,1-π=0.2,n=3 , ,[0.8 + 0.2]3 = (0.8) 3 + 3(0.8) 2 (0.2)1 + 3(0.8)1 (0.2) 2 + (0.2) 3

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二项分布的概率函数如果一个事件A, 次独立试验中， 如果一个事件 ， 在 n次独立试验中 ， 次独立试验中 每次试验都具有概率π 那么， 每次试验都具有概率 ，那么，这一事件 A将在 次试验中出现 次的概率为： 将在n次试验中出现 次的

概率为： 将在 次试验中出现x次的概率为

P ( X ) = C π (1 π ) , ( X = 1,2,3......n) n! X C 式中： 称二项系数。 式中： n = 称二项系数。 X !(n X )!X n X n X

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二项分布的应用条件1. 各观察单位只能具有互相对立的一种结 属于二项分类资料； 果，属于二项分类资料； 2. 已知发生某一结果的概率为π,其对立结 果的概率则为1果的概率则为 π 。实际工作中要求π是从 大量观察中获得的比较稳定的数值； 大量观察中获得的比较稳定的数值； 3. n个观察单位的观察结果互相独立，即每 个观察单位的观察结果互相独立， 个观察单位的观察结果互相独立 个观察单位的观察结果不会影响到其它观 察单位的结果。 察单位的结果。

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(二)二项分布的特征1.二项分布的图形 二项分布的图形二项分布的图形，取决于两个方面， 二项分布的图形 ， 取决于两个方面 ， 其一为 事件发生的概率π 其二为样本含量n。 事件发生的概率 ，其二为样本含量 。 当π =1-π =1/2时，二项分布的图形是对称的； 时 二项分布的图形是对称的； 当π <1/2时，二项分布的图形呈左偏态； 时 二项分布的图形呈左偏态； 当π >1/2时，二项分布的图形呈右偏态； 时 二项分布的图形呈右偏态； 不变时， 但随着n的增大 的增大， 当π与1- π不变时，即使 ≠1-π ,但随着 的增大， 与 不变时 即使π 二项分布的的偏态程度会逐渐降低而趋于对称。 二项分布的的偏态程度会逐渐降低而趋于对称。

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450 400 350 300

350 300 250

频率

250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 其他

频率

200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 其他

n=5250 200 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 其他

n=10250 200 150 100 50 0

频率

频率

n=20

0

3

6

9

12

其他

n=30

二项分布总体不同样本例数时的抽样分布

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(二)二项分布的特征2.二项分布的均数和标准差 二项分布的均数和标准差二项分布的平均数： 二项分布的平均数：

µ=nπ上式的意义：做n次独立试验，某事件平均 次独立试验， 上式的意义： 次独立试验 出现的次数为nπ次 出现的次数为 次 ， 这一结果较为符合人们的 直观想法。如果，生男孩这一事件的概率是1/2, 直观想法 。如果， 生男孩这一事件的概率是 ， 个新生儿中可期望有nπ =100×1/2=50个 则 100个新生儿中可期望有 个新生儿中可期望有 × 个 是男孩。 是男孩。 当用率表示时， = 当用率表示时，µ=π

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(二)二项分布的特征二项分布的标准差： 二项分布的标准差：

σ = nπ (1 π )标准差表示x取值的离散度或变异的大小。 标准差表示 取值的离散度或变异的大小。 取值的离散度或变异的大小 如n=5,π=5/6,1-π=1-5/6,则： , , ,

σ = nπ (1 π ) =

5 × 5 6 × 1 6 = 0.8333

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(二)二项分布的特征二项分布的标准差若以比值或百分数表示， 若以比值或百分数表示，则标准差为 :

σ p = π (1 π ) / nσp被称为率的标准误(standard error of rate), 被称为率的标准误( ), 用来反映随机抽样获得的样本率p与总体 与总体π之间 用来反映随机抽样获得的样本率 与总体 之间 的抽样误差大小。 的抽样误差大小。 实际工作中常用p作为 的估计值， 作为π 实际工作中常用 作为 的估计值，得：

sp =

p(1 p) / n

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二、 二项分布的应用1. 概率估计2. 累计概率计算常用的有左侧累计和右侧累计2种方法。 常用的有左侧累计和右侧累计 种方法。 种方法 从阳性率为π 的总体中随机抽取n个个体 个个体， 从阳性率为 的总体中随机抽取 个个体，则 (1)最多有 例阳性的概率 最多有k例阳性的概率 最多有

P(X≤k)=P(0) + P(1) +……+ P(k)(2)最少有 例阳性的概率 最少有k例阳性的概率 最少有

P(X≥k)=P(k) + P(k+1) +……+ P(n) =1- P(X≤k-1)

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二、二项分布的应用总体率的估计(查表法): 查表法)较小， 很接近于0或 当n较小，如n≤50时，特别是p很接近于 或 较小 时 1时，可由附表 百分率的置信区间表直 时 可由附表6.1百分率的置信区间表直 接查出。 接查出。 例 ： 某地调查50名儿童蛔虫感染情况 ， 发 某地调查 名儿童蛔虫感染情况， 名儿童蛔虫感染情况 现有10人大便中有蛔虫卵 人大便中有蛔虫卵， 现有 人大便中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感 染率的95%置信区间是多少？ 置信区间是多少？ 染率的 置信区间是多少 此例： 此例：n=50,X=10 , 查表得95%CI为：10%~34%。 查表得 为 ~ 。

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二、二项分布的应用总体率的估计(正态近似法) 正态近似法)应用条件： 及 应用条件：np及n(1 p)均≥5 均

p±uαsp ±检验， 例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性 在某地随机抽取 人 检验 率为8.81%,求阳性率 置信区间。 率为 ，求阳性率95%置信区间。 置信区间 已知： 已知：p=8.81%,n=329,故： , ,sp = p (1 p) / n = 0.0881(1 0.0881) / 329 = 0.0156 = 1.56%

95%CI:8.81±1.96×1.56;即5.75%~11.87%。 : × ; ~ 。

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二、二项分布的应用假设检验某医院用甲药治疗某病，其治愈率为70%, 例 某医院用甲药治疗某病，其治愈率为 ， 今用乙药治疗该病10人 治愈9人 今用乙药治疗该病 人，治愈 人，问甲乙两药 疗效有无差别？ 疗效有无差别？ 已知： 已知： π =0.7,1- π =0.3,假设两药疗效无差别， , ,假设两药疗效无差别， 则治愈与非治愈的概率应符合二项分布， 则治愈与非治愈的概率应符合二项分布，即：

[π + (1 π )] = [0.7 + 0.3]n

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