第七章-7.2一阶线性偏微分方程

第二节

一阶线性偏微分方程的解法

一、线性偏微分方程 1、线性算子 算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上便产 生了另外一个函数。 2 2 3 2 例如，L 3 及M 2 x 2 2 x x y y x y都是偏微分算子。 u 2u 3u 将其作用于函数u便有：L[u ] 3 x x y y2 2u u 2 M [u ] x 2015/10/13 x 2 y 2

u 2u 3u 于是偏微分方程 3 f ( x, y)便可简单 x x y y记为L[u ] f 或Lu f .

算子L若满足:L[au bv] aL[u] bL[v] 其中，a, b为常数；u, v为函数，则称L为线性算子。

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2.线性微分方程解的叠加原理

定理1:若u1 , u2 ,..., un是某个线性齐次微分方程L[u ]=0 的解，则 ci u i 也为此方程的解。(ci 为任意常数)i 1 n

定理2:若ui 是L[u ] fi (i 1, 2,...)的解，且 ciui收敛，i 1

则u ci ui 是L[u ] ci fi的解。i 1 i 1

定理3:一个给定的线性偏微分方程的解能够表示为它 的一个特解和它所对应的齐次方程的解的和。2015/10/13 3

例：验证x 2 y 2 , xy, c1 ( x 2 y 2 ) c2 xy都是u xx u yy 0的解。 (c1 , c2为任意常数。)

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二、 常微分方程组的首次积分法 首次积分法是将方程组

xi' fi ( t , x1 , x2 , , xn ) (i 1, 2, , n ).......(7.1)经适当组合化为一个可积分的微分方程. 这个方程的未知函数可能是方程组中 几个未知函数组合形式. 积分可以得到未知函数组合形式的解， 该方程为一个原方程组的首次积分.

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dx dy y, x 例 4 求解方程组 dt dt d ( x y) 解 将两个方程相加得 x y dt 以 x y 作为一个未知函数，对上式积分得

d ( x y) ( x y ) 再将两个方程相减得 dt x y c2 e t 原方程组的另一个首次积分.t t x c1e c2 e 解出未知 函数, 原方程组通解为 t t y c1e c2 e 这里 c1 , c2 是任意常数.6 2015/10/13

x y c1e 原方程组的一个首次积分.t

考虑一般的 n 阶微分方程组' xi

fi ( t , x1 , , xn ) i 1, 2, , n

D R n 1

其中 fi ( t , x1 , , xn ) 对 x1 , x2 , , xn 是连续可微的. 设 ( t , x1 , x2 , , xn ) 连续可微，且不是常数， 把方程组任一解 xi xi ( t ) 代入 使 ( t , x1 , x2 , , xn ) 成为与t 无关的常数, 此常数与所取解有关,

则称 ( t , x1 , x2 , , xn ) c 为方程组的 一个首次积分.

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xi' fi ( t , x1 , , xn ) i 1, 2, , n设微分方程组有 n 个首次积分

1 ( t , x1 , x2 , , xn ) c1 , , n ( t , x1 , x2 , , xn ) cn如果在某区域内它们的Jacobi行列式

1 x 1 2 D ( 1 , , n ) x1 D ( x1 , , xn ) n x1 1 x2 2 x2 n x2 1 xn 2 xn 0 n xn

则称它们在区域G内为互相独立.8 2015/10/13

' xi

fi ( t , x1 , , xn )

i 1, 2, , n

检验一个函数 是否为方程组的 首次积分?

定理1 设函数 ( t , x1 , x2 , , xn )在区域 D 内连续可微，且它不是常数，则 ( t , x1 , x2 , , xn ) c 是方程组的首次积分的充要条件为

f1 fn 0 t x1 x n

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i 1, 2, , n 定理2若方程组为对称形式：dxn dx1 dx2 = = ... = X1 X2 Xn

xi' fi ( t , x1 , , xn )

则 ( x1, x2 , , xn ) c 是方程组的首次积分的充要条件为： X1 X 2 Xn 0 x1 x2 xn

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定理7.1 设已知微分方程组(7.1)的

个独立的首次积分 n

i (t, x1, x2 , , xn ) Ci ,(i 1, 2, , n)

则它们构成方程组(7.1)的通积分(或隐式解),并由 它们可确定含 n 个任意常数的函数组

x1 φ1 ( x; C 1 ,C 2 , , Cn ) x φ ( x; C , C , , C ) 2 2 1 2 n xn φn ( x; C1 , C2 , , Cn )则该函数组就是微分方程组(7.1)的通解。2015/10/13 11

y dx 2 d t ( y x ) 例 6 利用首次积分求解方程组 dy x 2 d t ( y x ) dx y 解 两个方程相除得 dy x得到原方程组的一个首次积分 1 x 2 y 2 c1 再利用两个方程相减得

1 d( x y ) ( x y ) 2 2 t ( x y) c2 2 2 dt ( x y)

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1 1 x y c1 , 2 t ( x y ) 2 c2 2 1 1 D( 1 , 2 ) x y 2( x y ) 2 0 2 2 D( x , y ) x y 故首次积分 1 c1 , 2 c 2 是相互独立的，2 2

x 2 y 2 c1 所以原方程组通解为 1 2 ( x y ) t c2 2

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小结：寻找首次积分的方法(技巧性强) 为了求得首次积分，通常把如下方程组

xi' fi ( t , x1 , , xn )写成对称形式

i 1, 2, , n

dxn dx1 dx2 dt = = ... = = f1 f2 fn 1

方法1 (积分因子法)利用比例性质化分母为零，分子 为某一函数的全微分形式。(教材P350)y( z t ) dy dt t ( y z ) 例 1:求解 dz z (t y ) t ( y z) dt 2015/10/13

方法2:利用比例性质所得的分式与原来方程组中 某一分式联立导出易于积分的形式。

2tx dx dt t 2 x 2 y 2 例2:求解 2ty dy 2 2 2 dt t x y

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3.从方

程组直接求出一个首次积分，将它代入原方 程组，求出其它的首次积分。

dx dy dt 例3:求解 xt yt xy

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练习：

dx dy dz 1. 2 ( y z) z y dx dy dz 2. 2 2 2 2 2 2 x( y z ) y( z x ) z ( x y )

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作业：

xdx dy dz 1. 2 2 y z xz y dx dy dz 2. y z z x x y

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三、用首次积分法解一阶齐次线性偏微分方程 1.特征方程： 考虑一阶齐次线性偏微分方程 u X i ( x1 , x2 ,..., xn ) 0...............(1) xi i 1n

假设Xi ( x1 , x2 ,..., xn )在区域D内是所有变元的连续可微函数， 并且处处不为零，dxn dx1 dx2 构造(1)的特征方程： ... ........(2) X1 X 2 Xn2015/10/13 19

定理： 设 i ( x1 , x2 ,..., xn ) ci (i 1, 2,..., n 1) 是方程组(2)的n-1个彼此独立的首次积分，则方程(1) 的通解可表示为

u ( 1 , 2 ,..., n 1 ), 其中 是其变元的 任意连续可微函数。

例题：书P356

例1

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一阶线性齐次偏微分方程的解法 步骤1 :首先写出一阶线性齐次偏微分方程(1)的 特征方程组(2)。 步骤2 :求出常微分方程组(2)的 n 1个独立的首次积分φi ( x1 , x2 , , xn ) Ci (i 1,2, , n 1)

步骤3:写出通解

u (φ1 ( x1 , , xn ,), φ2 ( x1 , , xn ), , φn 1 ( x1 , , xn ))其中 是各变元的任意连续可微函数。2015/10/13 21

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