高中数学必修1知识点总结：第二章_基本初等函数

高中数学必修1知识点总结

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果xn

a,a R,x R,n 1，且n N ，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符

的n次方根

n是偶数时，正数a的正的n

表示，负的n

次方根用符号0

是0；负数a没有n次方根．

这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a 0．

③根式的性质：（2）分数指数幂的概念

a (a 0)

． n a；当n

a；当n为偶数时，

|a|

a (a 0)

mn

①正数的正分数指数幂的意义是：a

a 0,m,n N ,且n 1)．0的正分数指数幂等于0．

mn

②正数的负分数指数幂的意义是：a

1m ()n a 0,m,n N ,且n 1)．0的负分数指数幂没

a有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质

①a

r

as ar s(a 0,r,s R) ②(ar)s ars(a 0,r,s R)

r

③(ab)

arbr(a 0,b 0,r R)

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义 ①若a

x

N(a 0,且a 1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x

logaN，其中a叫做底数，N

叫做真数．

②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：x（2）几个重要的对数恒等式

logaN ax N(a 0,a 1,N 0)．

loga1 0，logaa 1，logaab b．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10

N；自然对数：lnN，即logeN（其中e 2.71828…）．

0,N 0，那么

（4）对数的运算性质 如果a

0,a 1,M

①加法：loga

M logaN loga(MN) ②减法：logaM logaN loga

M logaMn(n R) ④alogaN N

M

N

③数乘：nloga

⑤log

ab

Mn

logbNn

(b 0,且b 1) logaM(b 0,n R) ⑥换底公式：logaN

logbab

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

(6)反函数的概念

设函数

y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x (y)．如果对于y在C中

的任何一个值，通过式子x函数x

(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x (y)表示x是y的函数，

(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f 1(y)，习惯上改写成y f 1(x)．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将x

y f(x)中反解出x f 1(y)；

f 1(y)改写成y f 1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质 ①原函数

②函数

y f(x)与反函数y f 1(x)的图象关于直线y x对称．

y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f 1(x)的值域、定义域．

y f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y f 1(x)的图象上．

③若P(a,b)在原函数

④一般地，函数

y f(x)要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义 一般地，函数

y x 叫做幂函数，其中x为自变量， 是常数．

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于

y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0, )都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果

0，则幂函数的图象过原点，并且在[0, )上为增函数．如果 0，则幂函数的图象在(0, )上

y轴．

为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与

④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当

q

p

qp

q

（其中p,q互质，p和q Z），p

p为偶数q为奇数时，

若则

p为奇数q为奇数时，则y x

是奇函数，若

p为奇数q为偶数时，则y x

是偶函数，若

y x

qp

是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数

y x ,x (0, )，当 1时，若0 x 1，其图象在直线y x下方，若x 1，其图象在

直线

y x上方，当 1时，若0 x 1，其图象在直线y x上方，若x 1，其图象在直线y x下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：

f(x) ax2 bx c(a 0)②顶点式：f(x) a(x h)2 k(a 0)③两根式：

f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求

（3）二次函数图象的性质 ①二次函数

f(x)更方便．

f(x) ax2 bx c(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x

b

,顶点坐标是2a

b4ac b2( ,)． 2a4a

②当a

0时，抛物线开口向上，函数在( ,

bbb

]上递减，在[ , )上递增，当x 2a2a2a

时，

4ac b2

fmin(x)

4a

时，

；当a 0时，抛物线开口向下，函数在( ,

bbb

]上递增，在[ , )上递减，当x 2a2a2a

4ac b2

fmax(x)

4a

．

③二次函数

f(x) ax2 bx c(a 0)当 b2 4ac 0时，图象与x

轴有两个交点

．

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2| |x1 x2|

（4）一元二次方程ax

2

bx c 0(a 0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程ax

2

bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1 x2．令f(x) ax2 bx c，从以下四个方

b2a

③判别式： ④端点函数值符号．

面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x①k＜x1≤x2

②x1≤x2＜k

③x

1＜k＜x2 af(k)＜0

④k1＜x1≤x2＜k2

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2) 0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数 设

f(x) ax2 bx c(a 0)在闭区间[p,q]上的最值

，最小值为m，令x0

f(x)在区间[p,q]上的最大值为M

（Ⅰ）当a

1

(p q)． 2

0时（开口向上）

①若

①

bbbb p，则m f(p) ②若p q，则m f( ) ③若 q，则m f(q) 2a2a2a2a

x

x

x

bb x0，则M f(q) ② x0，则M f(p)

2a2a

x

x

(Ⅱ)当a 0时(开口向下) ①若

bbbb p，则M f(p) ②若p q，则M f( )

③若 q，则M f(q) 2a2a2a2a

x

x

x

f

f

①

bb x0，则m f(q) ② x0，则m f(p)． 2a2a

f

x

x

相关练习题

1．若函数f(x) logax(0 a 1)在区间[a,2a]上的最大值

是最小值的3倍，则a的值为( ) A．

2211 B． C． D． 4242

2．若函数y loga(x b)(a 0,a 1)的图象过两点( 1,0)

和(0,1)，则( )

A．a 2,b 2 B

．a C．a 2,b 1 D

．a

6

b 2 b 3．已知f(x) log2x，那么f(8)等于（ ）

A．

41 B．8 C．18 D． 32

4．函数y lgx( )

一、是偶函数，在区间( ,0) 上单调递增 二、是偶函数，在区间( ,0)上单调递减 三、是奇函数，在区间(0, ) 上单调递增 D．是奇函数，在区间(0, )上单调递减 5．已知函数f(x) lg

1 x

.若f(a) b.则f( a) （ ） 1 x

11

A．b B． b C． D．

bb

6．函数f(x) logax 1在(0,1)上递减，那么f(x)在(1, )上（ ） A．递增且无最大值 B．递减且无最小值 C．递增且有最大值 D．递减且有最小值 1．若f(x) 2 2

x

x

lga是奇函数，则实数a=_________。

2

2．函数f(x) log1x 2x 5的值域是__________.

2

3．已知log147 a,log145 b,则用a,b表示log3528 。

4．设A 1,y,lg xy , B 0,x,y,且A B，则x ；y 。 5．计算：

3 2

2log

3 2

5

。

ex 1

6．函数y x的值域是__________.

e 1

三、解答题

2．解方程：（1）9

x

x

2 31 x 27 （2）6x 4x 9x

x

3．已知y 4 3 2 3,当其值域为[1,7]时，求x的取值范围。 4．已知函数f(x) loga(a a)(a 1)，求f(x)的定义域和值域；

x

参考答案

一、选择题

11132

1. A

logaa 3loga(2a),loga(2a) ,a3 2a,a 8a,a ,a

384

2. A loga(b 1) 0,且logab 1,a b 2

3. D

令x 8(x 0),x 8 f(8) f(x6) log2x log24. B 令f(x) lgx,f( x) lg x lgx f(x)，即为偶函数

令u x,x 0时，u是x的减函数，即y lgx在区间( ,0)上单调递减 5. B f( x) lg

6

1

6

1 x1 x

lg f(x).则f( a) f(a) b. 1 x1 x

6． A 令u x 1，(0,1)是u的递减区间，即a 1，(1, )是u的 递增区间，即f(x)递增且无最大值。

二、填空题 1．

1x x xx

f(x) f( x) 2 2lga 2 2lga 10

1 10

(lga 1)(2x 2 x) 0,lga 1 0,a

（另法）：x R，由f( x) f(x)得f(0) 0，即lga 1 0,a 2. , 2 x 2x 5 (x 1) 4 4,

2

2

1

10

而0

1

1,log1 x2 2x 5 log14 2 222

3.

log14282 a

log147 log145 log1435 a b,log3528

log1435a b

14

log14(2 14)1 log142 1 (1 log147) 2 a log1435log1435log1435log1435a b

1 log14

4. 1, 1 ∵0 A,y 0,∴lg(xy) 0,xy 1

又∵1 B,y 1∴，∴x 1,且y 1 ,x 1,而x 1

1

5.

5

2log

log

5

15

1 5

ex 1

6. ( 1,1) y x，ex 1 y 0, 1 y 1

e 11 y

三、解答题

2．解：（1）(3) 6 3

x2

x

27 0,(3 x 3)(3 x 9) 0,而3 x 3 0

3 x 9 0,3 x 32,

x 2 2x4x22x2x

（2）() () 1,() () 1 0

3933

22()x 0则,x )33 x log2

3

1

,2

x

3．解：由已知得1 4 3 2 3 7,

x

xxxx 4 3 2 3 7 (2 1)(2 4) 0

,得 x即 x xx

4 3 2 3 1 (2 1)(2 2) 0

即0 2 1，或2 2x 4 ∴x 0，或1 x 2。

4．解：a a 0,a a,x 1，即定义域为( ,1)；

x

x

x

ax 0,0 a ax a,loga(a ax) 1，

即值域为( ,1)。

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